轻松玩转任意角(公开课 课件,定稿)
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任意角完整公开课PPT课件
任意角的度量
度量单位
角度的度量单位是度（°），弧度（rad）和密位（mil）。
度量工具
量角器、圆规、直尺等。
度量方法
通过量角器或使用三角函数值进行计算。
象限角与轴线角
象限角
在平面直角坐标系中，按逆时针方向，第一象限角为0°~90° ，第二象限角为90°~180°，第三象限角为180°~270°，第四 象限角为270°~360°。
、航向和航速。
04
THANKS
感谢观看
和差公式的应用
在解决涉及两角和与差的三角函数问题时，和差公式是必不可少的工 具。
04
三角函数的图像与性质
正弦函数的图像与性质
其图像是周期函数，呈现波浪
形。
正弦函数的性质包括：在每个 周期内，函数值从0增加到最 大值，然后又减小到0，如此
往复。
正弦函数的图像在y轴两侧对 称，其周期为360度。
01 02
任意角三角函数的定义
三角函数是描述三角形边与角之间关系的数学工具。对于任意角α，其 正弦函数sinα定义为“对边长度除以斜边长度”，余弦函数cosα定义 为“邻边长度除以斜边长度”，正切函数tanα定义为“对边长度除以 邻边长度”。
单位圆定义法
通过单位圆上点的坐标来表示三角函数值，其中正弦值等于y坐标，余 弦值等于x坐标，正切值等于y坐标除以x坐标。
正弦函数在每个周期内的变化 率是不同的，变化率最大的点
是函数的极值点。
余弦函数的图像与性质
余弦函数是三角函数的另一种形式， 其图像也是周期函数，呈现波浪形。
余弦函数的图像在y轴两侧对称，其 周期也为360度。
余弦函数的性质包括：在每个周期内 ，函数值从最大值减小到0，然后再 增加到最小值，如此往复。
任意角完整公开课PPT课件
正弦函数的图像
正弦函数的图像是一个周期函数，图像呈 现波浪形。
余弦函数
01
02
03
余弦函数的定义
余弦函数是三角函数的另 一种形式，定义为直角三 角形中锐角的邻边与斜边 的比值。
余弦函数的周期性
余弦函数同样具有周期性 ，其周期为$360^circ$或 $2pi$弧度。
余弦函数的图像
余弦函数的图像也是一个 周期函数，图像呈现起伏 的波形。
正切函数
正切函数的定义
正切函数是另一种三角函数，定义为直角 三角形中锐角的对边与邻边的比值。
正切函数的性质
正切函数具有连续性和单调性，其值域为 全体实数。
正切函数的图像
正切函数的图像是一个连续的单调递增函 数。
三角函数的性质
三角函数的周期性
正弦、余弦、正切函数都 具有周期性，其周期为 $360^circ$或$2pi$弧度 。
在几何学中，角度是两条 射线、线段或平面之间的 夹角，通常用度（°）、弧 度（rad）或密位（m）等 单位来度量。
角度的取值范围是闭区间 [0°,360°]，其中0°表示同 方向，180°表示反方向， 其余角度表示两方向之间 的中间状态。
角度的度量单位
度（°）
是最常用的角度度量单位 ，1°等于60分，1分等于
与几何知识的联系
圆和周期性
三角函数与圆有密切联系，描述了圆 上点的运动和位置，体现了周期性和 对称性。
三角形和三角不等式
三角函数在三角形中具有广泛应用， 如求三角形边长、角度等，涉及三角 不等式等几何知识。
与微积分知识的联系
导数和微分
三角函数在微积分中用于描述周期性变化和解决相关问题， 如求导数、微分等。
正切函数不是周期函数，但其值域为 全体实数。
正弦函数的图像是一个周期函数，图像呈 现波浪形。
余弦函数
01
02
03
余弦函数的定义
余弦函数是三角函数的另 一种形式，定义为直角三 角形中锐角的邻边与斜边 的比值。
余弦函数的周期性
余弦函数同样具有周期性 ，其周期为$360^circ$或 $2pi$弧度。
余弦函数的图像
余弦函数的图像也是一个 周期函数，图像呈现起伏 的波形。
正切函数
正切函数的定义
正切函数是另一种三角函数，定义为直角 三角形中锐角的对边与邻边的比值。
正切函数的性质
正切函数具有连续性和单调性，其值域为 全体实数。
正切函数的图像
正切函数的图像是一个连续的单调递增函 数。
三角函数的性质
三角函数的周期性
正弦、余弦、正切函数都 具有周期性，其周期为 $360^circ$或$2pi$弧度 。
在几何学中，角度是两条 射线、线段或平面之间的 夹角，通常用度（°）、弧 度（rad）或密位（m）等 单位来度量。
角度的取值范围是闭区间 [0°,360°]，其中0°表示同 方向，180°表示反方向， 其余角度表示两方向之间 的中间状态。
角度的度量单位
度（°）
是最常用的角度度量单位 ，1°等于60分，1分等于
与几何知识的联系
圆和周期性
三角函数与圆有密切联系，描述了圆 上点的运动和位置，体现了周期性和 对称性。
三角形和三角不等式
三角函数在三角形中具有广泛应用， 如求三角形边长、角度等，涉及三角 不等式等几何知识。
与微积分知识的联系
导数和微分
三角函数在微积分中用于描述周期性变化和解决相关问题， 如求导数、微分等。
正切函数不是周期函数，但其值域为 全体实数。
任意角 -完整公开课PPT课件
n 360 240 n 360 270 ，k Z ，
故
3 是第三象限的角 .
综上3 可知： 是第一或第二或第三象限的角 .
3
0°
360° x
如图
几何法
如图
故
2
是第三象限的角 .
综上2 可知： 是第一或第三象限的角 .
例3.若角的终边与角的终边关于x轴对称，则 + =______
例3. 已知角 是第一象限的角，
试问 2 、 、 各是第几象限的角？
23
180°
y
90°
0°
O
360° x
270°
又 k 120 k 120 30 ，k Z .
225° 45°
o
x
故S中适合不等式－360°≤ ＜720°的元素是：
45 2180 315, 45 1180 225, 45 1180 135, 45 2180 405, 45 0180 45, 45 3180 585.
练习3：
（1）终边在x轴上的角的集合：
y
{ | n 180 ，n Z }.
角的概念推广的必要性:
0º到360º范围内的角在生 产、生活和科学实验的实践 中已不适用。
如体操、花样滑冰、跳台跳 水中“转体三周半”,
又如车轮、钟表、罗盘的 运动规律的研究等.
1、角的概念
任意角的概念:
平面内一条射线OA绕着端点O(顶点)从一个位置
OA(始边)旋转到另一个位置OB(终边)所成的图形
3
y
90°
当 k 3n(n Z ) 时 ，
n 360 n 360 30 ，k Z ， 180°
Hale Waihona Puke 故3 是第一象限的角
任意角公开课PPT课件
（5）-450°
x 轴线角
o -450°
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10
四、轴线角
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这 个角不属于任何象限，也称非象限角.
你能举例说出其它的轴线角吗？
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11
五、终边相同的角
思考： -30°，330°，-390°是第几象限
的角？这些角有什么内在联系？
33 0= 0-300 + 36 0 0 y
12
例题讲解
例1.请判断1305°是第几象限角；
方法一：解：1305°-1080°=225° 因为，1305°与225°终边相同 所以，1305°是第三象限的角
方法二：解：1305°=1080°+225° =3×360°+225°
所以，1305°是第三象限的角 方法三：在坐标系上画出来
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方法二：解：-950°12＇=-1080°+129°48＇ =-3×360°+129°48＇
所以，-950°12＇是第二象限的角
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14
课堂练习
（课本P5第4题） 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同 的角，并判定它们是第几象限角；
（1）-54°18＇ （2）395°8＇ （3）-1190°30＇
顶 点O
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始边 A
4
一、角的概念
初中
角——一点出发的两条射线所围成
（静止地）
的图形
高中 顶点
终边
角——一条射线绕一个端点从一个位 置旋转到另一个位置所形成的图形
（运动地）始边
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5
二、角的分类
x 轴线角
o -450°
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10
四、轴线角
如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这 个角不属于任何象限，也称非象限角.
你能举例说出其它的轴线角吗？
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11
五、终边相同的角
思考： -30°，330°，-390°是第几象限
的角？这些角有什么内在联系？
33 0= 0-300 + 36 0 0 y
12
例题讲解
例1.请判断1305°是第几象限角；
方法一：解：1305°-1080°=225° 因为，1305°与225°终边相同 所以，1305°是第三象限的角
方法二：解：1305°=1080°+225° =3×360°+225°
所以，1305°是第三象限的角 方法三：在坐标系上画出来
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方法二：解：-950°12＇=-1080°+129°48＇ =-3×360°+129°48＇
所以，-950°12＇是第二象限的角
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14
课堂练习
（课本P5第4题） 在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同 的角，并判定它们是第几象限角；
（1）-54°18＇ （2）395°8＇ （3）-1190°30＇
顶 点O
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始边 A
4
一、角的概念
初中
角——一点出发的两条射线所围成
（静止地）
的图形
高中 顶点
终边
角——一条射线绕一个端点从一个位 置旋转到另一个位置所形成的图形
（运动地）始边
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5
二、角的分类
1.1.1 任意角 课件(共31张PPT)
栏目 导引
第一章 三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 任意角的概念 例1 下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②小于180°的角是钝角、直角或锐角； ③正角大于负角；
栏目 导引
第一章 三角函数
④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同． 其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)． 【解析】 ①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角， 显然390°>120°，所以①不正确． ②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故②不正确． ③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、 负数的规定一样，正角大于负角，③正确． ④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立， 故④不正确．
栏目 导引
(3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类：
名称 正角 负角
定义 按__逆__时__针___方向旋转形成的角 按__顺__时__针___方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
第一章 三角函数
图形
栏目 导引
第一章 三角函数
想一想 1.理解角的概念要注意哪几个要素？ 提示：顶点，始边，终边和旋转方向． 做一做 1. 图 中 OA 为 始 边 ， 则 α ＝ ________ ， β ＝ ________.
栏目 导引
3. 如右图，
跟踪训练
第一章 三角函数
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合 是________． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． (3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的 集合是________． (4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
第一章 三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
题型一 任意角的概念 例1 下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②小于180°的角是钝角、直角或锐角； ③正角大于负角；
栏目 导引
第一章 三角函数
④相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同． 其中真命题的序号为________(把你认为正确的命题的序号都写上)． 【解析】 ①120°角是第二象限角，390°角是第一象限角， 显然390°>120°，所以①不正确． ②0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角， 故②不正确． ③正角、负角是用来表示具有相反意义的旋转量，像正数、 负数的规定一样，正角大于负角，③正确． ④终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立， 故④不正确．
栏目 导引
(3)角的分类 按旋转方向，角可以分为三类：
名称 正角 负角
定义 按__逆__时__针___方向旋转形成的角 按__顺__时__针___方向旋转形成的角
零角 一条射线没有作任何旋转形成的角
第一章 三角函数
图形
栏目 导引
第一章 三角函数
想一想 1.理解角的概念要注意哪几个要素？ 提示：顶点，始边，终边和旋转方向． 做一做 1. 图 中 OA 为 始 边 ， 则 α ＝ ________ ， β ＝ ________.
栏目 导引
3. 如右图，
跟踪训练
第一章 三角函数
(1)终边落在OB位置，且在－360°≤β≤360°内的角β的集合 是________． (2)终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是________． (3)终边落在阴影部分(含边界)且在0°≤β≤360°内的角β的 集合是________． (4)终边不落在阴影部分(含边界)的角的集合是________．
《任意角》公开课教学PPT课件高中数学件
教学方法是否得当，是否能够有效地传递知识给学生。
教学效果是否达到预期目标，是否能够帮助学生掌握相关知识技能。
教学反思与改进对于提高教学质量和学生学习效果至关重要。
感谢观看
汇报人：
强调学习目标和重点，帮助学生明确学习方向和目标。
引导学生进行自我总结和反思，培养其自主学习能力。
为后续学习打下坚实的基础，有利于知识的巩固和拓展。
06
课后作业与思考
完成课后练习题，巩固所学知识
练习册：包含所有知识点和例题的练习册 重点回顾：对重点难点进行回顾和总结 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识 思考题：针对所学内容，布置思考题，拓展学生思维
角度制和弧度制 的定义及背景介 绍
角度制与弧度制 之间的换算原理 及方法
角度制与弧度制 在三角函数中的 表现形式及其应 用
通过实例练习掌 握角度制与弧度 制之间的换算技 巧
03
教学重点与难点
重点：任意角的概念与性质，象限角、轴线角的概念，角度与弧 度的换算方法
任意角的概念与性 质
象限角、轴线角的 概念
互动教学：通过课堂互动，引导学生思考和解决问题，增强学生的学习体 验和参与度。
多媒体教学：利用多媒体技术，呈现任意角在实际中的应用场景，帮助学 生更好地理解抽象概念。
实践教学：通过实践活动，让学生亲身体验任意角在实际中的应用，加深 对知识的理解和掌握。
05
教学步骤设计
导入新课：通过回顾已学知识，引出新的概念——任意角
应用价值：培养学生的数学思维、 提高学生解决实际问题的能力等
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
知识点：任意角的定义、任意角 的大小范围、任意角在生活中的 应用等
教学效果是否达到预期目标，是否能够帮助学生掌握相关知识技能。
教学反思与改进对于提高教学质量和学生学习效果至关重要。
感谢观看
汇报人：
强调学习目标和重点，帮助学生明确学习方向和目标。
引导学生进行自我总结和反思，培养其自主学习能力。
为后续学习打下坚实的基础，有利于知识的巩固和拓展。
06
课后作业与思考
完成课后练习题，巩固所学知识
练习册：包含所有知识点和例题的练习册 重点回顾：对重点难点进行回顾和总结 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识 思考题：针对所学内容，布置思考题，拓展学生思维
角度制和弧度制 的定义及背景介 绍
角度制与弧度制 之间的换算原理 及方法
角度制与弧度制 在三角函数中的 表现形式及其应 用
通过实例练习掌 握角度制与弧度 制之间的换算技 巧
03
教学重点与难点
重点：任意角的概念与性质，象限角、轴线角的概念，角度与弧 度的换算方法
任意角的概念与性 质
象限角、轴线角的 概念
互动教学：通过课堂互动，引导学生思考和解决问题，增强学生的学习体 验和参与度。
多媒体教学：利用多媒体技术，呈现任意角在实际中的应用场景，帮助学 生更好地理解抽象概念。
实践教学：通过实践活动，让学生亲身体验任意角在实际中的应用，加深 对知识的理解和掌握。
05
教学步骤设计
导入新课：通过回顾已学知识，引出新的概念——任意角
应用价值：培养学生的数学思维、 提高学生解决实际问题的能力等
添加标题
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添加标题
知识点：任意角的定义、任意角 的大小范围、任意角在生活中的 应用等
任意角优秀课件PPT
课程目标
掌握任意角的基本概 念和性质。
能够运用任意角解决 实际问题。
理解任意角在各个领 域的应用。
02
任意角的基本概念
角度的定义
角度是描述两条射线、线段或平面之间的夹角量度，通常用度（°）或弧度（rad） 来表示。
在几何学中，角度是两条射线、线段或平面在同一直线上相交时所形成的空间。
角度的大小反映了射线、线段或平面之间的相对位置关系。
学习解三角形
介绍解三角形的基本概念和方法，包括正弦定理、余弦定理等， 并探讨其在几何、物理等领域的应用。
THANKS
感谢观看
角度在工程中的应用
总结词
详细描述
总结词
详细描述
工程中的角度是描述结构和 设备运行的关键参数。
在工程中，角度是描述结构 和设备运行的关键参数。例 如，在桥梁和建筑设计中， 角度可以用来确定结构的稳 定性和安全性。在机械设计 中，角度可以用来确定设备 的运行状态和工作效率。
工程中的角度可以用于解决 实际问题。
角度的测量
01
角度的测量可以采用度 量法、几何法和三角法 等方法。
02
度量法是通过使用量角 器来直接测量角度的大 小。
03
几何法是通过利用三角 形、平行四边形等几何 图形的性质来计算角度 的大小。
04
三角法是通过三角函数 的性质来计算角度的大 小。
角度的表示方法
角度可以用度数和弧度数来表 示，其中度数范围是0°~360°， 弧度数范围是$-infty$到 $+infty$。
任意角优秀课件
• 引言 • 任意角的基本概念 • 任意角的三角函数 • 任意角的性质和定理 • 任意角的计算方法 • 任意角在生活中的应用 • 总结与展望
《任意角》公开课教学PPT课件【高中数学】件
新知探究
问题5 在直角坐标系中研究角，其顶点和始边的位置是如 何规定的？根据其终边位置的不同，又可以把角分为哪几 类？在直角坐标系内讨论角有什么好处呢？
为了方便，使角的顶点与原点重合， 角的始边与x轴的非负半轴重合， 根据角终边所在象限， 将角又可以分为第一、二、三、四象限角以及轴线角； 在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律．
归纳小结
问题7 通过本节课的学习，你能说出本章将要学习什么内容?其 作用是什么?其基本的研究方法是什么?本节课关于角的概念出现 了几个定义?分别是怎样规定的?你能从数与形两个角度进行描述 吗?能不能画一个结构图来反映本节课的研究思路及内容?
本节课我们学习了三角函数； 三角函数的主要作用就是刻画现实生活中的周期现象； 它的研究方法与其它基本初等函数一样，先抽象出定义，再由定义作 出图象，观察图象研究性质，最后是其初步应用； 角的概念主要是任意角、象限角、终边相同的角；
分针会旋转450°．
假如校准前如图（1），
（1）
（2）
校准后应该为图（2）．
新知探究
追问3 以上问题中对角的描述的共性是什么？
都要说清楚角的大小及旋转方向．
新知探究
问题4 请同学们先阅读课本第168页最后一段至第169页最后 一段前，再回答下列问题：根据旋转方向的不同，角可以分 为哪几类？分别是什么？这种定义方法和分类办法是与之前 的哪个知识进行类比的？
新知探究
问题2 如图，圆O上的点P以A为起点做逆时针方向的旋转，
如何刻画点P的位置变化呢？
P
通过角的变化进行刻画．
A O
新知探究
问题3 我们以前所学角都在0°~360°的范围内，生活中 有超出0°~360°角的例子吗？请你举例说明．
任意角PPT课件
讲解范例 例1
解
例2 解
问题5： 解
例3 解
问题6： 象限角怎样表示?
例4
【解法回顾】 各个象限的半角范围可以 用下图记忆，图 中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第一、二、 三、四象限角的半角范围；再根据限 制条件，解的范围又进一步缩小.
解法二：
例5 如图(1)(2)所示，分别写出终边落阴影部份(不含 边界)角的集合
பைடு நூலகம்
A
旋转时，我们也认为这时形成了一
个角，并把这个角叫做零角．
2．“象限角”
角的顶点合于坐标原点，角的始边合于轴的正 半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就 说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上， 则此角不属于任何一个象限）
思考 第二象限角一定比第一象限角大吗？
3．终边相同的角 问题4：
任 意角
复习引入
问题1：初 范中 围对 ？角怎样定义的？所研究的角在哪一个
问题2： 问题3：你 假的如手你表的慢手了表5快分了钟1，.2你5小是时怎，样你将应它当校如准何的？将
它校准？当时间校准后，分针旋转了多少度？
讲解新课
B
把按逆时针方向旋转所形成的角叫做
正角;把按顺时针方向旋转所形成的
角叫做负角;当一条射线没有作任何 O
1.1.1任意角赛课获奖课件公开课一等奖课件省赛课获奖课件
注意下列四点：
(1) k Z
(2) 是任意角；
(3) k 3600与之间是“+”号， 如k 3600-30°，应看成 k 3600+(-30°)
(4)终边相似的角不一定相等，但相等 的角，终边一定相似，终边相似的角 有无数多个，它们相差360°的整数倍．
例1. 在0º到360º范畴内，找出与下列各角终边 相似的角，并判断它是哪个象限的角.
例2终边在y轴正半轴上角的集合 ｛β︱β= 900 +k·360°,k∈Z｝
终边在y轴负半轴上角的集合 ｛β︱β= 2700+k·360°,k∈Z｝ 或｛β︱β= -900+k·360°,k∈Z｝
变式训练 写出终边落在y轴上的角的集合。
• 解：终边落在ｙ轴正半轴上的角的集合为
S1={β| β=900+k∙3600,k∈Z}
4.培养学生用运动变化的观点审 视事物;通过与数的类比,理解正 角、负角和零角,让学生感受图 形的对称美、运动美 教学重点: 1.任意角的概念，象限角的概念 2.掌握终边相似的角的表达办法 及鉴定
教学难点: 把终边相似的角用集合和符号语言 对的地表达出来
突破办法：
在平面内建立适宜的坐标系，通过数 形结合来认识角的几何表达和终边相 同的角集合
小结作业
1.角的概念推广后，角的大小能够任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一种 给定的角，都有唯一的一条终边与之对应， 并使得角含有代数和几何双重意义.
2.终边相似的角有无数个，在0°～360°范畴 内与已知角β终边相似的角有且只有一种. 用 β除以360°，若所得的商为k，余数为α（α 必须是正数），则α即为所找的角.
1.掌握终边相似的角的 表达办法及鉴定 2.注意： 00到900的角； 00～3600的角； 第一象限角；锐角； 不大于900的角的区别
《任意角》精品课件 公开课课件
语文
小魔方站作品 盗版必究
湖南省长沙市一中卫星远程学校
“同课异构”杯2020年度教学技能大赛
一等奖获奖作品
湖南省长沙市一中卫星远程学校
1.1.1任意角
主讲老师：陈震
复习引入
角的定义
复习引入
角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两 条射线组成的图形叫做角.
复习引入
角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两 条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面 内一条射线绕着端点从一个位置旋转 到另一个位置所形成的图形．
角的和．
注意 ⑴ k∈Z；
注意
⑴ k∈Z；
⑵ 是任一角；
注意
⑴ k∈Z；
⑵ 是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同．终边相同的角有 无限个，它们相差360°的整数倍；
注意
⑴ k∈Z；
⑵ 是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同．终边相同的角有 无限个，它们相差360°的整数倍；
例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象
限角？
y
y
45°
o
x
⑴
x 60°o 30°
⑵
例2．在直角坐标系中，作出下列各 角，并指出它们是第几象限的角．
⑴60°； ⑵120°；⑶240°；
⑷300°；⑸420°；⑹480°.
探究: 教材P.3
终边相同的角的表示
探究: 教材P.3
终边相同的角的表示
所有与角终边相同的角， 连同在内，可构成一个集合 S＝{| =+k·360 °, k∈Z }， 即任一与角终边相同的角， 都可以表示成角与整数个周
⑷ 角＋k·720 °与角终边相同，但 不能表示与角终边相同的所有角．
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1.1.1任意角
主讲老师：陈震
复习引入
角的定义
复习引入
角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两 条射线组成的图形叫做角.
复习引入
角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两 条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面 内一条射线绕着端点从一个位置旋转 到另一个位置所形成的图形．
角的和．
注意 ⑴ k∈Z；
注意
⑴ k∈Z；
⑵ 是任一角；
注意
⑴ k∈Z；
⑵ 是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同．终边相同的角有 无限个，它们相差360°的整数倍；
注意
⑴ k∈Z；
⑵ 是任一角；
⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等 的角终边一定相同．终边相同的角有 无限个，它们相差360°的整数倍；
例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象
限角？
y
y
45°
o
x
⑴
x 60°o 30°
⑵
例2．在直角坐标系中，作出下列各 角，并指出它们是第几象限的角．
⑴60°； ⑵120°；⑶240°；
⑷300°；⑸420°；⑹480°.
探究: 教材P.3
终边相同的角的表示
探究: 教材P.3
终边相同的角的表示
所有与角终边相同的角， 连同在内，可构成一个集合 S＝{| =+k·360 °, k∈Z }， 即任一与角终边相同的角， 都可以表示成角与整数个周
⑷ 角＋k·720 °与角终边相同，但 不能表示与角终边相同的所有角．
1.1.1任意角 课件(21张)(优秀经典公开课比赛课件)
4. 下列命题：①一个角的终边在第几限， 就说这个角是第几象限的角；
②1400°的角是第四象限的角； ③-300°的角与160°的角的终边相同 ④相等的角的终边一定相同； ⑤终边相同的角一定相等.其中正确命题的
序号是 (1).(2).(4). .
5.在坐标平面内作出下列各角：30°，
390°，-330°;它们是 一 象限的角，
45°＋k·180°<α/2<90°＋k·180°
理论迁移 例1 在0°～360°范围内，找出
与－950°12′角终边相同的角，并判 定它是第几象限角.
129°48′，第二象限角.
例2.写出终边在直线y=x上的角的集合S，并
把S中适合不等式-360°≤ ＜720°的元素
写出来.
S={α|α=45°＋k·180°，k∈Z}. －315°，-135°，45°，225°， 405°，585°.
。 由于月球和太阳的引潮力作用，使水面发生周期性涨落的潮汐现象
伦敦之眼
各种电波
现实世界中的很多运动，变化都有着循环往 复、周而复始的现象。如何用数学的方法来刻画这种 变化规律呢？
本章要学习的三角函数就是刻画这种变化规律的 数学模型。
1.在初中角是如何定义的？
定义1：有公共端点的两条射线00 k 360 240 k 360,k Z} { 160 k 360 120 k 360,k Z}
2、若角、 满足下列条件，
求它们的关系式？
（1）终边关于x轴对称 k 360(k Z) （2）终边关于y轴对称 180 k 360(k Z) （3）终边互为反向延长线 (2k 1)180(k Z)
1.1.1任意角（一）
任意角6 人教课标版精品公开PPT课件
就说该角不属于任何象限，习惯上 称为轴线角.
(1)锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？
锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角.
(2)小于900的角就是锐角吗？ 小于900的角可能是零角或负角， 故它不一定是锐角. (3)锐角就是00～900的角吗？
锐角：{θ|00<θ<900} 00～900的角：{θ|00≤θ<900}
2
2
思 考 题 : (1)已 知 是 第 三 象 角 , 那 么 是 ( Ｄ )
3 A .第 一 象 限 角 ; B .第 一 与 第 二 象 限 角 ;
C
.第
二
象
限
角
;
D
.第
一
第
`
三
或
第
四
象
限
角
.
B ( 2 )已 知 是 第 一 象 角 , 那 么 2 是 ( )
A .第 一 象 限 角 ;
(4).教材第5页练习：4
(5).今天星期二，那7么k(k z)天后的 那一天是星期几 ?7k(k z）天前的那 一天是星期几10？0天后的那一天是星 期几？
观察: 390,330,它们的终边
y
-3300 3900
O
与30角的终边有什么关? 系
300 x
3900=300+3600 =300+1 x 3600
k•360,kZ的几点注意：
1kZ;
2是任意;角
(3)k·360º与之间是“+”号;
(4)终边相同的角不一定相等，但相等 的角的终边一定相同；终边相同的角 有无数多个，它们相差360º的整数倍.
例1.在0~360范围内，找出95与012' 角终边相同的角断 ，它 并是 判第几象 的角
(1)锐角是第一象限角吗？第一象限角是锐角吗？
锐角是第一象限角，第一象限角不一定是锐角.
(2)小于900的角就是锐角吗？ 小于900的角可能是零角或负角， 故它不一定是锐角. (3)锐角就是00～900的角吗？
锐角：{θ|00<θ<900} 00～900的角：{θ|00≤θ<900}
2
2
思 考 题 : (1)已 知 是 第 三 象 角 , 那 么 是 ( Ｄ )
3 A .第 一 象 限 角 ; B .第 一 与 第 二 象 限 角 ;
C
.第
二
象
限
角
;
D
.第
一
第
`
三
或
第
四
象
限
角
.
B ( 2 )已 知 是 第 一 象 角 , 那 么 2 是 ( )
A .第 一 象 限 角 ;
(4).教材第5页练习：4
(5).今天星期二，那7么k(k z)天后的 那一天是星期几 ?7k(k z）天前的那 一天是星期几10？0天后的那一天是星 期几？
观察: 390,330,它们的终边
y
-3300 3900
O
与30角的终边有什么关? 系
300 x
3900=300+3600 =300+1 x 3600
k•360,kZ的几点注意：
1kZ;
2是任意;角
(3)k·360º与之间是“+”号;
(4)终边相同的角不一定相等，但相等 的角的终边一定相同；终边相同的角 有无数多个，它们相差360º的整数倍.
例1.在0~360范围内，找出95与012' 角终边相同的角断 ，它 并是 判第几象 的角
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()
[提示] (1)180°是轴线角．
(3)如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角．
[答案] (1)× (2)√ (3)×
随堂练习
2．如图，角α＝
，β＝
．
240° －120° [α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时 针方向旋转的，为－120°．]
随堂练习
3．与－215°，－1000°角终边相同的角的集合可表示为
270°-36°+480°-236°=478° 478°-360°=118°在正上偏左 28°
探究
• 探究1：象限角，轴线角的集合怎么表示？
探究
• 探究1：象限角，轴线角的集合怎么表示？
探究
写出终边落在如图所示阴影部分的角的集合．
[解] ：设终边落在阴影部分的角为 α，角 α 的集合由两部分组 成：
．
{β|β＝k·360°－215°，k∈Z} [由终边相同的角的表示可知与－ 215°角终边相同的角的集合是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．]
{β|β＝k·360°+80°，k∈Z}
随堂练习
4．某一种旋开式保险箱，开锁时需要反复转动锁把， 假设其开锁方式为先逆时针旋转 270°，再顺时针旋 转 36°，然后逆时针旋转 480°，接着顺时针旋转 236 度才能打开，那么终止位置和起始位置相比旋转了多少 度呢？如果起始位置在正右边，终止位置在哪呢？
• 视频
课前活动
课前活动
• 刚刚发生了什么？ • 在这5秒钟，秒针转动了多少度呢？
课前活动 • 前后对比图
课堂引入
• 刚刚发生了什么？ • 在这5秒钟，秒针转动了多少度呢？ • 秒针的初始状态和结束状态构成一个什么图形呢？ • 秒针起始和终止位置如图的时候，走过的时间相同吗？ • 秒针不停转，时间的车轮滚滚向前，今天来学习角。
• 怎么表示这些始边与终边重合的角呢？ ∠A = k •360 °, k ∈Z
思考 • 如何比较两个角的大小？
• 为了方便研究，我们把角的始边放在x正半轴，
y
o
x
象限角轴线角
• 为了方便研究，我们把角的始边放在x正半轴， • 角的终边旋转的过程中会经过平面直角坐标系有那些部分呢？
• 象限 • 轴
A．45°－4×360° B．－45°－4×360° C．－45°－5×360° D．315°－5×360°
• 下课
课堂检测
4、下列结论中正确的是( C )
A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.始边相同且相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等
5：任意两个角的数量大小可以相加、相减.例如50°＋ 80°=130°, 50°－80°=－30°，你能解释一下这两个式子的几何 意义吗？
①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}． ②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}， ∴角 α 的集合应当是集合①与②的并集： {α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α ＜k·360°＋285°，k∈Z}
轻松玩“转”任意角
江苏省扬州中学
2020年11月19日
概念生成
• 平面内到定点的距离等于定值的点的构成的图形叫圆 • 将平面内一线段绕着一个端点旋转一周，另一个端点轨迹形成的图形叫
圆
• 两条有公共端点的射线组成的图形叫做角 • 将一条射线绕着其端点旋转，旋转前后形成的图形叫角
• 边 • 顶点
任意角
终边相同角一定相等
错
相等的角终边一定相同 对
角的运算
ห้องสมุดไป่ตู้
C
B
思考 2：角可以加减运算吗？运算法则是什么？
(3)两角的和、互为相反角、两角的差：
O
A
对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β(当β是正角时，按
逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角 时，不旋转)，这时 终边所对应的角 称为α与β的和，记作α＋β．射
课堂检测
1．α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在 A．第一或第三象限 C．第二或第四象限
(A )
B．第一或第二象限
D．第三或第四象限
2、下列角中终边与330°相同的角是（ B ）
A．30° B．-30° C．630° D．-630°
3、把－1485°转化为α＋k·360°
（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（ D ）
2．象限角与轴线角 (1)象限角：以角的顶点 为坐标原点，角的 始边为 x 轴正半轴，建 立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这 个角是第几象限角． (2)轴线角：终边在 坐标轴 上的角．
终边相同的角
• 为了方便研究，我们把角的始边放在x正半轴，-3300
y
• 有相同终边的两个角一定相同吗？
3900
O
3．终边相同的角
k的值可以怎么取呢？
300 x
与角α终边相同的角的集合为_{_β_|_β_＝__k·_3_6_0_°_＋__α_，__k_∈__Z_}_可．以取正，也可以取负
知道了终边相同的角的表示，那么给定一个角，怎么确定他的终边呢？
通过加减把|α|放在0°到360°中判断终边所在的位置
地转偏向力
正负零角
(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
类型
定义
图示
正角 按 逆时针方向 旋转所形成的角
按 顺时针方向 旋转所形成的 负角
角 一条射线 没有作任何旋转，称 零角 它形成了一个零角
思考
思考 1：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角 吗？
[提示] 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角．若 角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．
线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的
两个角称为互为相反角．角α的相反角记为 －α ，于是有α－β＝ ___α_＋__(_－__β_) __．
随堂练习
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)180°是第二象限角．
()
(2)－30°是第四象限角．
()
(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．
终边
B
• 旋转有没1．任意角的概念
顶点 o
A
始边
有方向呢(1)角的概念：一个角可以看作平面内一条射线 绕着它的端点 从
一个位置 旋转 到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶
点，射线旋转的 开始位置和终止位置称为角的始边和终边．
• 角有多 大呢？
任意角
• 旋转有没有方向呢
观察下面三幅图片，你发现了什么？