流体动力学动量方程及伯努利方程一流体力学
合集下载
流体力学流体动力学完美版PPT
h ' h
气〔ρ〕-液〔ρ’〕 h ' h
解：水温40℃，汽化压强为7.38kPa 大气压强 pa 97.3103 10m
g 99.229.807
汽化压强
pgv 979.3.22891.803070.76m
p 12 v 1 2 ag 注z2意 z ：1 z 2-p z2 1 ——2 v 2 2 下 游p 断w面高 度减上游断面高度〔±〕； ——用相对ρ压a-ρ强—计—算外的界气大体气伯密努度利减方管程内
常与连续性微分方程 ux uy uz 0 联立 x y z
2.粘性流体运动微分方程〔粘性作用→切应力〕
f 1 p 2 u d u u u u d t t
——纳维-斯托克斯方程〔N-S方程〕
分量式
X 1 p x 2 u x u tx u x u x x u y u y x u z u z x
pAagz2z1v 2 29v 2 2
1 9 2 .8 1 .2 0 .8 9 .8 4 0 0 0 .8 v 2 9 0 .8 v 2
2
2
1 1 18 528 .6 7 2.48 即 27 2 6.6 724 .48
Y 1 p y 2 u y u ty u x u x y u y u y y u z u z y Z 1 p z 2 u z u tz u x u x z u y u y z u z u z z
元流的伯努利方程
1.理想流体元流的伯努利方程 〔1〕推导方法一
将〔1〕、〔2〕、〔3〕各式分别乘以dx、dy、 dz，并相加
g 2g
单位重量流体的机械能守恒〔总水头不变〕
2.粘性流体元流的伯努利方程
z1pg 12 u1 g 2 z2pg 22 ug 2 2hw'
流体力学-伯努利方程
S11 S 2 2
1 S1 4 2 1 3m 2 2 1 S 2 2 1 0.5 2 1.5m 2 2 S2 1 2 0.1m / s S1
§1.3.3 伯努利方程及其应用
伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体作稳定流动时的 基本方程，对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水 利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
粘滞流体在流动中各层的流速不同， 相邻两流层 之间有相 对运动，互施摩擦力，快的一层给慢的一层以向前的拉力； 慢的一层则给快的一层以向后的阻力，这种摩擦力称为内 摩擦，又称粘滞力；
粘滞力：
粘滞力和哪些因素有关？ 流体内相邻两层内摩擦力的大小： 与两流层的接触面积大小有关； 还与两流层间速度变化的快慢有关；
6.飞机的机翼的翼型使得飞行中前面的空 气掠过机翼向后时，流经机翼上部的空 气要通过的路程大于流经机翼下部的空 气通过的路程，因此上部空气流速大 于下部空气的流速，上部空气对机翼 向下的压力就会小于下部空气对机翼向 上的压力，从而产生升力 ；
应用实例1. 水流抽气机、喷雾器 空吸作用：当流体流速增大时 压强减小，产生对周围气体或液 体的吸入作用； 水流抽气机、喷雾器就是根据空吸 作用的原理（速度大、压强小）设 计的。
一. 牛顿粘滞定律 粘滞系数
层流:实际流体在流动时，同一横截面上各点流速并不相同，管中轴
心处流速最大，越接近管壁，流速越小，在管壁处流速为零。这种各层
流体流速有规则逐渐变化的流动形式，称为层流；
每一层为与管同轴的薄圆筒，每一层流速相同，各层之间有相对运动 但不互相混杂，管道中的流体没有横向的流动。 （流速小时呈现的流动形式：河道、圆形管道）
绝对不可压缩、没有粘滞性的流体叫做理想流体； 一般情况下，密度不发生明显变化的气体或者液体、粘滞性小的 流体均可看成理想流体．
1 S1 4 2 1 3m 2 2 1 S 2 2 1 0.5 2 1.5m 2 2 S2 1 2 0.1m / s S1
§1.3.3 伯努利方程及其应用
伯努利方程是瑞士物理学家伯努利提出来的，是理想流体作稳定流动时的 基本方程，对于确定流体内部各处的压力和流速有很大的实际意义、在水 利、造船、航空等部门有着广泛的应用。
粘滞流体在流动中各层的流速不同， 相邻两流层 之间有相 对运动，互施摩擦力，快的一层给慢的一层以向前的拉力； 慢的一层则给快的一层以向后的阻力，这种摩擦力称为内 摩擦，又称粘滞力；
粘滞力：
粘滞力和哪些因素有关？ 流体内相邻两层内摩擦力的大小： 与两流层的接触面积大小有关； 还与两流层间速度变化的快慢有关；
6.飞机的机翼的翼型使得飞行中前面的空 气掠过机翼向后时，流经机翼上部的空 气要通过的路程大于流经机翼下部的空 气通过的路程，因此上部空气流速大 于下部空气的流速，上部空气对机翼 向下的压力就会小于下部空气对机翼向 上的压力，从而产生升力 ；
应用实例1. 水流抽气机、喷雾器 空吸作用：当流体流速增大时 压强减小，产生对周围气体或液 体的吸入作用； 水流抽气机、喷雾器就是根据空吸 作用的原理（速度大、压强小）设 计的。
一. 牛顿粘滞定律 粘滞系数
层流:实际流体在流动时，同一横截面上各点流速并不相同，管中轴
心处流速最大，越接近管壁，流速越小，在管壁处流速为零。这种各层
流体流速有规则逐渐变化的流动形式，称为层流；
每一层为与管同轴的薄圆筒，每一层流速相同，各层之间有相对运动 但不互相混杂，管道中的流体没有横向的流动。 （流速小时呈现的流动形式：河道、圆形管道）
绝对不可压缩、没有粘滞性的流体叫做理想流体； 一般情况下，密度不发生明显变化的气体或者液体、粘滞性小的 流体均可看成理想流体．
流体力学 4-2流体动力学
问题分析：
A断面：zA =0 m pA =1.96×105Pa vA=? B断面：zB =3 m pB =? C断面：zC =3.2m pC =0 水头损失：hwA-C=0.6m vC=?
d A 0.05m
d C 0.02m
vB=? d B 0.05m
hwA-B=0.5m
hwB-C=0.1m
动能修正系数的物理意义:总流有效断面上的实际动能对按 平均流速算出的假想动能的比值。α是由于断面上速度分 布不均匀引起的，不均匀性愈大,α值越大。 在圆管紊流运动中 α=1.05 ～ 1.10 ，在圆管层流运动中， α=2。在工程实际计算中，由于流速水头本身所占的比例 较小，故一般常取α=1。
2 2 p1 u1 p2 u2 ' z1 z2 h w12 g 2g g 2g
上面计算过程中基准面为A断面，压力为相对压力, 当选取C断面为基准面，压力取绝对压力时: A断面：zA =-3.2m pA =2.97×105Pa vA=?
B断面：zB =-0.2m pB=? C断面：zC = 0m vB=? pC = 1.01×105Pa vC=?
解得：
vA vB 2.89m / s vC 18.06m / s pB 262700Pa (绝对压力) pB 161700Pa (相对压力) Q vC AC 5.68L / s
§4-2 实际流体总流的伯努利方程
一、实际流体总流的伯努利方程
对于实际（粘性）流体，流动时存在
① 流体间的摩擦阻力
② 某些局部管件引起的附加阻力
因而导致实际流体流动过程中，其总机械能沿
流动方向不断减小。如果实际流体从截面1流向截
面2，则截面2处的总机械能必定小于截面1处的总
伯努利方程 流体力学
伯努利方程流体力学众所周知，流体力学是研究流体在力的作用下的运动规律的学科。
而伯努利方程则是流体力学中的一个重要定律，它描述了流体在不同位置上的压力、速度和高度之间的关系。
本文将围绕伯努利方程展开讨论，探究其原理和应用。
我们来看一下伯努利方程的基本形式。
伯努利方程可以表示为：P + 1/2ρv² + ρgh = 常数其中，P代表流体的压力，ρ代表流体的密度，v代表流体的速度，g代表重力加速度，h代表流体的高度。
这个方程表明了在不受外力作用的情况下，流体的压力、速度和高度之间存在着一个平衡关系。
伯努利方程的原理可以通过能量守恒定律来解释。
在流体力学中，流体被认为是由大量微小的分子组成的，这些分子在运动时会具有动能和势能。
伯努利方程实际上描述了流体能量的转化和守恒。
具体来说，方程中的三项分别代表了压力能、动能和重力势能。
P代表了流体的压力能。
在流体中，分子之间存在着相互作用力，这种作用力就是压力。
当流体分子受到外力作用时，会发生压缩或膨胀，从而产生压力。
伯努利方程中的第一项就是描述了流体的压力能。
1/2ρv²代表了流体的动能。
流体分子在运动过程中会具有一定的速度，这个速度就是流体的动能。
伯努利方程的第二项就是描述了流体的动能，其中1/2ρv²表示了单位体积流体的动能。
ρgh代表了流体的重力势能。
流体分子在重力作用下，会具有一定的高度，这个高度就是流体的重力势能。
伯努利方程中的第三项就是描述了流体的重力势能。
通过伯努利方程，我们可以研究流体在不同位置上的压力、速度和高度之间的关系。
例如，当流体在一段管道中流动时，如果管道的截面积变化，根据伯努利方程，我们可以推导出流体在不同截面上的压力和速度之间的关系。
这个原理在实际应用中非常重要，可以用于设计和优化管道系统，提高流体的运输效率。
伯努利方程还可以应用于飞行器的气动力学研究。
当飞机在空中飞行时，空气会在机翼上产生升力，而伯努利方程可以帮助我们理解升力的形成机制。
流体力学基本概念和方程汇总
流体力学基本概念和方程汇总流体力学是研究流体运动的力学学科，它涉及到液体和气体在外力作用下的行为和性质。
在流体力学中，有一些基本概念和方程被广泛应用于流体的描述和分析。
下面是流体力学的基本概念和方程的汇总。
一、基本概念1.流体：流体是指可流动的物质，包括液体和气体。
2.运动：流体在空间中的运动，通常包括速度、位置和加速度等因素。
3.静止：流体在空间中不运动的状态。
4.流速：流体在单位时间内通过一些截面的体积。
二、基本方程1.静力学方程：描述在静止状态下的流体行为。
在平衡状态下，流体中各点的压强相等。
2.动力学方程：描述流体在运动状态下的行为。
包括质量守恒、动量守恒和能量守恒等方程。
-质量守恒方程：流体在宏观上的质量守恒，即在闭合系统中，质量的净进出量为零。
-动量守恒方程：描述流体动量的变化。
动量是质量与速度的乘积，动量守恒方程中考虑了流体流动的惯性和外力的作用。
-能量守恒方程：描述流体内部能量的变化。
能量守恒方程中考虑了热能和机械能的转换和损失。
3.伯努利方程：描述无黏流体在不受外力作用下沿流线的稳定流动。
它表明在流速增加的地方压强降低，为流体提供了加速的能源。
4.导体方程：描述流体内部流速分布的关系。
它是基于质量守恒、动量守恒和能量守恒方程来推导的。
三、附加方程1.状态方程：描述流体状态的方程，如理想气体状态方程pV=nRT。
2.粘性方程：描述流体黏性特性的方程。
黏性是流体内部分子间相互作用所产生的阻力，影响流体的粘度和黏性流动等现象。
3.边界条件：描述流体流动过程中与边界接触的物体对流体运动的影响。
边界条件包括无滑移条件、不透过条件和等温条件等。
4.各向同性方程：描述流体的等向性特性。
合理假设流体在各个方向上具有相同的特性，简化流体力学计算。
流体动力学
3）按照液体流动方向列出伯努利方程的一般形式；
4）忽略影响较小的次要参数，以简化方程； 5）若未知数的数量多于方程数，则必须列出其它辅助 方程，如连续性方程、静压力方程等联立求解。
伯努利方程应用举例
例1：如图示简易热水器，左端接冷水管，右端接淋浴莲蓬头。 已知 A1=A2/4 和A1、h 值，问冷水管内流量达到多少时才能 抽吸热水？ 解：沿冷水流动方向列A1、A2截面的伯努利方程
2 1 1 2 2
注意： 1）截面1、2应顺流向选取，且选在流动平稳的通流截面上。 2）z和p应为通流截面的同一点上的两个参数，一般将其定在 通流截面的轴心处。
应用伯努利方程解题的一般步骤
1）顺流向选取两个计算截面：一个设在所求参 数的截面上，另一个设在已知参数的截面上； 2）选取适当的基准水平面；
伯 努 利 方 程 应 用 举 例
泵吸油口真空度
分析变截面水平管道各处的压力情况
求水银柱高度？
管中流量达多少时才能抽吸？
判断管中液体流动方向和流量？
动量方程
动量方程是动量定理在流体力学中的具体应用，可用来计算 流动液体作用在限制其流动的固体壁面上的总作用力。
∑F = Δ（m u）/Δt = ρq（u2 - u1）
例1:如图所示，进入液压缸的流量Q1是否等于缸排
出的流量Q2？
d1
d2
Q2
解: ∵油液是不连续的，不可用连续性方程。
Q 1≠ Q 2
例2 如图所示，已知流量 q1＝ 25L/min，小活塞杆直径d1＝20mm，小活塞
直径D1＝75mm，大活塞杆直径d2=40mm，大活塞直径D2＝125mm，假设没有泄 漏流量，求大小活塞的运动速度v1，v2。
25 L / min
伯努利流体力学方程
伯努利流体力学方程
伯努利流体力学方程是描述理想流体在恒定流动状态下，沿着一根流线流动过程中能量守恒的基本物理定律。
它在流体力学中具有广泛的应用，特别是对于液体和气体流动问题。
伯努利流体力学方程可以写成如下形式：
$$P+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=C$$
其中：
- P是流体的静压力，即流体在静止状态下所受的压强；
- ρ是流体的密度；
- v是流体的流速，即在流体中某一点上，每单位时间通过该点的流体体积；
- g是重力加速度；
- h是流体在该点上的高度差，相对于某一基准面；
- C是一个常数，即伯努利常数，它在整个流体的过程中保持不变。
伯努利方程从能量的角度来描述了流体在流动中的变化，它表明流体的总能量保持不变，即流体压力、动能和重力势能之和在任意一点上都保持相等，从而可以用于分析流体在不同处的流态变化。
例如，当流体贯穿缩流器或狭窄部分的管道时，流速会增加，而压力会降低，这是因为伯努利方程中流速的平方项会导致压力降低。
类似地，当流体流经扩张部分的管道时，
流速会降低，而压力会升高，这是由于伯努利方程对能量的绝对守恒要求。
流体力学-第5章
六. 伯努利方程 的应用举例
%%%%%%%%%%%%
恒定总流伯努利方程表明三种机械能相互 转化和总机械能守恒的规律，由此可根据具 体流动的边界条件求解实际总流问题。
1
%%%%%%%%%%%%
先看一个跌水的例子。取 顶上水深处为 1-1 断面，平 均流速为 v1，取水流跌落高 度处为断面 2-2 ，平均流速 为 v2，认为该两断面均取在 渐变流段中。基准面通过断 面 2-2 的中心点。
Gz dQdt( z2 z1 )
2 2 1 1 u u 2 2 m2u2 m1u1 ( 2 1 ) dQdt 2 2 2 2
外力对系统做功=系统机械能量的增加
2 2 u2 u1 ( p1 p2 )dQdt dQdt( z2 z1 ) ( ) dQdt 2 2
实际流体恒定总流 的伯努利方程
断面 A1 是上游断面，断面 A2 是 下游断面，hl 1-2 为总流在断面 A1 和 A2 之间平均每单位重量流体所损耗 的机械能，称为水头损失。水头损 失如何确定，将在后面叙述。
分析流体力学问 题最常用也是最 重要的方程式
二、恒定总流伯努利方程的几何表示——水头线
u p2 u z1 z2 2g 2g
p1
2 1
2 2
(P57 3-39)
单位重量理想 流体沿元流的 能量方程式
能量方程
•能量方程的
物理意义
z
u2 z Cl 2g p
伯努利方程表示能 量的平衡关系。
单位重量流体所具有的位置 势能（简称单位位置势能） **************** p 单位重量流体所具有的压强 势能（简称单位压强势能） **************** 单位重量流体所具 p z 有的总势能（简称 单位总势能）
伯努利方程是()在流体力学中的表达形式
伯努利方程是()在流体力学中的表达形式
介绍
拉伯努利方程，也称为流体力学拉伯努利方程，是一种描述流体运动的数学模型，由法国数学家拉伯努利提出。
它的应用非常广泛，用于仿真各种形式的流动，包括液体、气体、尘埃等。
拉伯努利方程的基本形式为：∂u/∂t+u·∇u=−∇p+∇·T，其中t为时间，u为流体的速度，p 为流体的压强，T为流体的粘度。
它正确地描述了流体的不可压缩性和温度不变性，反映了流体运动学中不可逆现象，可以用来模拟复杂流动。
拉伯努利方程包含了流体动量定律和热力定律，可以用来描述二维或三维的流体运动，流体的运动状态的变化取决于流体的压力和粘度。
在非定常流体动力学领域，拉伯努利方程被广泛使用，用于仿真液体，气体和尘埃在各种实践系统中的流动运动。
拉伯努利方程是一个有用的数学工具，它正确描述了复杂的流体抽象，可以用来仿真和研究流体运动，为科学家们在各种实践中提供重要服务。
流体力学基本方程
∂t
∂t
单位时段内控制体内流体质量的增量为：
∂ρ dtdxdydz / dt = ∂ρ dxdydz
(2)
∂t
∂t
− [∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz )]dxdydz
(1)∂x∂y Nhomakorabea∂z
∂ρ + ∂(ρ vx ) + ∂(ρ vy ) + ∂(ρ vz ) = 0
∂t ∂x
系统：一团流体的集合，在运动过程中，系统始终包含着确定的这些流体 质点。有确定的质量，而这一团流体的表面常常是不断变形的。 控制体：控制体是流场中某一确定的空间区域，即相对于坐标系是固定不 变的。控制体的表面是控制面，控制体的形状是根据流体运动情况和边界 情况选定的。
7
第二节 流体运动的基本概念
一、定常流、非定常流
∂v = 2 ∂y
∂w = 4 ∂z
∂u + ∂v + ∂w = 6 + 2 + 4 = 12 ≠ 0 ∂x ∂y ∂z
对不可压缩流体，以上流动不存在。对可压缩流体，因密度的变化未给 出，故无法判断。
例题3：假定流管形状不随时间变化，设A为流管的横断面积，且在A断面 上流动物理量是均匀的，试证明连续性方程具有下述形式：
20
江苏大学
Jiangsu University
对于定常流动：控制体内的质量增量 ，所以流入 = 流出
单位时间内流入控制体的质量： ρ v1 A1 单位时间内流出控制体的质量： ρ v2 A2
v1 A1 = v2 A2 Q1 = Q2
例1：如上图所示，有二块平 行平板，上板以匀速v向下平 移，间隙中的油向左右挤出 ，前后油液无流动。间隙宽b ，高h(t)，求油的平均流速 随位置变化的关系u(x)。
流体力学3-动力学
二、流体动力学基本概念
1. 流束：指在流体中沿流动方向分离出一块基本元面积dA、长为 L的一束流体。 元流（微细流）：指断面无穷小的流束。 总流：指无数微细流的总和。
微元流束
图 3-2 总流和微元流束
3. 流速
质点流速（点速）：指过流断面上各质点的速度，以“u”表示，m/s 断面平均流速（流速）： 指过流断面上各质点的速度的平均值，以“W” 表示，m/s 4.流量：指单位时间内通过某一断面积流体的量。 ① 体积流量（Q）：指单位时间内通过某一断面积流体的体积。m3/s ② 质量流量(m):指单位时间内通过某一断面积流体的质量。Kg/s ③ 重量流量（G）：指单位时间内通过某一断面积流体的重量。 三者之间关系： m = ρQ G = mg = ρQg 体积流量Q与流速W之间关系： Q = WA （A—流体通过的某一断面面积）
Q1 = Q2
W1 A1 = W2 A2
Q1 = Q2 + Q3
分流时：
W1 A1 = W2 A2 + W3 A3
Q1 + Q2 = Q3
合流时：
W1 A1 + W2 A2 = W3 A3
§3-4 流体流动伯努利方程
伯努利方程从功能原理出发，描述流体在外力作用下是按照什 么规律来运动的，从而求出流速的绝对值等。
ρw12
2
= ( ρ − ρ a ) gZ 2 + P2 +
2 ρ w2
2
+ ∆ P1− 2
对于1，3 断面的伯努利方程如下：
不同条件下临界流速Wk不同；但是临界雷诺数Rek都是相同的， 其值约为2000，
Re ≤ 2000 层流 2000 < Re < 4000 过渡态 Re ≥ 4000 紊流
流体力学第三章伯努利方程及动量方程-PPT文档资料68页
能量方程式的应用
文丘里流量计 渐缩管 喉管 渐扩管
0p1v12 0p2 v22
2g 2g
28
第三节 恒定总流的伯努利方程
p1 p2 v22 v12 h
2g 2g
连续性方程
v14d12 v2 4d22
v2 v1
d d
1 2
2
v22 v12
仪器常数K
h
QK h μ——流量系数（0.96~0.98）
注意：
水（ρ）-水银（ρ’）
h '
h
气（ρ）-液（ρ’） h ' h
34
第三节 恒定总流的伯努利方程
p 1g1 hp 2g2 hgph
pg1 h1pg2 h2hp
(pg1 h1)(pg2 h2)hp
表单位时间通过断面的流体势
能
渐变流过流断面上： Z p C
p1Z1dQ
p1
Z1dQ
p1
Z1dQ
p1
Z1Q
9
第三节 恒定总流的伯努利方程
同理：
p2Z2dQp2 Z2dQp2 Z2dQ
v2 H Hp 2g
水力坡度: J dHdhw dl dl
21
第三节 恒定总流的伯努利方程
测压管水头: v2
Hp H 2g
测压管水头坡度:
Jp
dH p dl
测压管水头下降 时Jp为正
22
第三节 恒定总流的伯努利方程
沿程水头损失与局部水头损失画法不同
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
文丘里流量计 渐缩管 喉管 渐扩管
0p1v12 0p2 v22
2g 2g
28
第三节 恒定总流的伯努利方程
p1 p2 v22 v12 h
2g 2g
连续性方程
v14d12 v2 4d22
v2 v1
d d
1 2
2
v22 v12
仪器常数K
h
QK h μ——流量系数（0.96~0.98）
注意：
水（ρ）-水银（ρ’）
h '
h
气（ρ）-液（ρ’） h ' h
34
第三节 恒定总流的伯努利方程
p 1g1 hp 2g2 hgph
pg1 h1pg2 h2hp
(pg1 h1)(pg2 h2)hp
表单位时间通过断面的流体势
能
渐变流过流断面上： Z p C
p1Z1dQ
p1
Z1dQ
p1
Z1dQ
p1
Z1Q
9
第三节 恒定总流的伯努利方程
同理：
p2Z2dQp2 Z2dQp2 Z2dQ
v2 H Hp 2g
水力坡度: J dHdhw dl dl
21
第三节 恒定总流的伯努利方程
测压管水头: v2
Hp H 2g
测压管水头坡度:
Jp
dH p dl
测压管水头下降 时Jp为正
22
第三节 恒定总流的伯努利方程
沿程水头损失与局部水头损失画法不同
4根线具有能量 意义： 总水头线 测压管水头线 水流轴线 基准面线
第4章流体动力学基本方程
h ——单位重量粘性流体沿流线从1点到2点的 机械能损失，称为元流的水头损失，m。
' w
1 2
1 2
注意： 1. 无粘性流体流动的总水头线为水平线； 2. 粘性流体流动的总水头线恒为下降曲线； 3. 测压管水头线可升、可降、可水平。 4. 总水头线和测压管水头线之间的距离为速度水头。
五、粘性总流的伯努利方程
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gdQ ( z 2 hw )gdQ g 2 g g 2 g
2 2
Байду номын сангаас
表示单位时间通过元流过流断面的能量守恒。
由连续性方程 dQ v 1dA1 v 2 dA2 ，上式可写作
p1 v1 p2 v 2 ' ( z1 )gv 1 dA1 ( z 2 hw )gv 2 dA2 g 2 g g 2 g
p Hp z g
—测压管水头
p u2 H z —总水头 g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理 想流体作定常流动时，位置水头，压强水头，速 度水头之和即总水头为一常数。 对于有旋流动，同 一流线上各点的总水 头相同，见左图。
p z g
——单位重量流体的势能 ——单位重量流体具有的机械能
p v2 z g 2 g
理想流体伯努利方程的意义
p v2 z C g 2 g
伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想 流体作定常流动时，单位重量流体的位能、压能、 动能在流动过程中可以相互转化，但它们的总和 不变，即单位重量流体的机械能守恒。 因此，伯努利方程又称为能量方程。
2019/3/6
3流体动力学
19
工程流体力学
连续性方程的应用
3.流体动力学
连续性方程表明：
通过各个断面上的流体质量是相等的，流体通过管 道各断面上的流速和其断面面积成反比。在图a所示的管 路中，由于A1>A2，所以V1<V2。
对于有分支的管道，连续性方程就是： Q1=Q2+Q3+Q4即在有分支的管道中，各输入管道的
流量之和等于各输出管道流量之和。
流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流 线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向， 由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。流线 的引入是欧拉法的研究特点。例如在流动水面上同时 撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲 线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线 就是流线。
12
工程流体力学
9
工程流体力学
3.流体动力学
2、 二元流(two-dimensional flow):
流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流 动可忽略不计，即流动流体的运动要素是二个空间坐标 （不限于直角坐标）函数。 如实际液体在圆截面（轴对 称）管道中的流动。
3、三元流（three-dimensional flow):
2）质量流量Qm
单位时间内通过过流截面的流体质量称为质量流量,以 Qm表示，其单位为kg/s.
3）关系：
Qm Q
17
工程流体力学
3.流体动力学
3、断面平均流速
平均流速为流量与过流断面通流面积之比。实
际上由于液体具有粘性，液体在管道内流动时，通 流截面上各点的流速是不相等的。管道中心处流速 最大；越靠近管壁流速越小；管壁处的流速为零。 为方便起见，以后所指流速均为平均流速。
21
工程流体力学
连续性方程的应用
3.流体动力学
连续性方程表明：
通过各个断面上的流体质量是相等的，流体通过管 道各断面上的流速和其断面面积成反比。在图a所示的管 路中，由于A1>A2，所以V1<V2。
对于有分支的管道，连续性方程就是： Q1=Q2+Q3+Q4即在有分支的管道中，各输入管道的
流量之和等于各输出管道流量之和。
流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流 线，可以清楚地看出某时刻流场中各点的速度方向， 由流线的密集程度，也可以判定出速度的大小。流线 的引入是欧拉法的研究特点。例如在流动水面上同时 撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连成若干条曲 线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线 就是流线。
12
工程流体力学
9
工程流体力学
3.流体动力学
2、 二元流(two-dimensional flow):
流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流 动可忽略不计，即流动流体的运动要素是二个空间坐标 （不限于直角坐标）函数。 如实际液体在圆截面（轴对 称）管道中的流动。
3、三元流（three-dimensional flow):
2）质量流量Qm
单位时间内通过过流截面的流体质量称为质量流量,以 Qm表示，其单位为kg/s.
3）关系：
Qm Q
17
工程流体力学
3.流体动力学
3、断面平均流速
平均流速为流量与过流断面通流面积之比。实
际上由于液体具有粘性，液体在管道内流动时，通 流截面上各点的流速是不相等的。管道中心处流速 最大；越靠近管壁流速越小；管壁处的流速为零。 为方便起见，以后所指流速均为平均流速。
21
流体流动的伯努利方程
适用于无旋、等温、无粘性和 恒定的不可压流场
5
得欧拉方程的特殊形式，即伯努利方程：
1 2 p u 常数 2
对于质量力场： FM g
0 x g y
1 2 p 可得伯努利方程： 2 u gy 常数
可得沿流线流动的伯努利方程：
1 2 p1 1 2 p2 u1 gy1 u 2 gy2 2 2
由于流体粘性做功，出现机械能损失，则伯努利方程为：
p1 单位质量流体压强势能 p2 1 2 单位质量流体动能 1 2 单位质量流体位置势能 u1 gy1 u2 gy2 ghl'12 2 2
层流 管道内流动 湍流
≈2.0 ≈1.0
7
U A
3
渐变流：指流道中流线之间夹角很小，流线接近平行；流 当流体为不可压缩、定常流动、只受重力时，微元流束中单位重量流 线的曲率很小，流线近似为直线。反之为急变流
体在1-1和2-2断面之间的伯努利方程为：
p c 渐变流中截面上的压强分布规律符合 1 2 p1 1 2 p2 y ' u1 gy1 u2 gy2 gh g l12
流体压缩做功
11
1.7.4 伯努利方程的应用
常将伯努利方程和连续性方程联立，全面解决一维流动 的断面平均流速和压强的常用计算。
求解一般步骤：分析流动，划分截面，选择基面，写出方程 例 用直径 d＝ 100mm的管道从水箱中引水。如水箱中的水面恒定 , 水面高出管道出口中心的高度 H＝ 4m, 管道的损失假设沿管长均匀
U2 h 2g
沿程阻力系数是雷诺数Re及相对粗糙度e/d的函数 局部阻力系数由管件的几何形状和尺寸决定，查表可得
5
得欧拉方程的特殊形式，即伯努利方程：
1 2 p u 常数 2
对于质量力场： FM g
0 x g y
1 2 p 可得伯努利方程： 2 u gy 常数
可得沿流线流动的伯努利方程：
1 2 p1 1 2 p2 u1 gy1 u 2 gy2 2 2
由于流体粘性做功，出现机械能损失，则伯努利方程为：
p1 单位质量流体压强势能 p2 1 2 单位质量流体动能 1 2 单位质量流体位置势能 u1 gy1 u2 gy2 ghl'12 2 2
层流 管道内流动 湍流
≈2.0 ≈1.0
7
U A
3
渐变流：指流道中流线之间夹角很小，流线接近平行；流 当流体为不可压缩、定常流动、只受重力时，微元流束中单位重量流 线的曲率很小，流线近似为直线。反之为急变流
体在1-1和2-2断面之间的伯努利方程为：
p c 渐变流中截面上的压强分布规律符合 1 2 p1 1 2 p2 y ' u1 gy1 u2 gy2 gh g l12
流体压缩做功
11
1.7.4 伯努利方程的应用
常将伯努利方程和连续性方程联立，全面解决一维流动 的断面平均流速和压强的常用计算。
求解一般步骤：分析流动，划分截面，选择基面，写出方程 例 用直径 d＝ 100mm的管道从水箱中引水。如水箱中的水面恒定 , 水面高出管道出口中心的高度 H＝ 4m, 管道的损失假设沿管长均匀
U2 h 2g
沿程阻力系数是雷诺数Re及相对粗糙度e/d的函数 局部阻力系数由管件的几何形状和尺寸决定，查表可得
伯努利方程-伯努利方程式
伯努利方程的导出过程
1
欧拉方程
伯努利方程是由欧拉方程推导得出的，欧拉方程描述了流体中的运动。
2
能量守恒原理
伯努利方程中的常数是由能量守恒原理确定的，即流体在运动过程中能量始终保 持不变。
3
简化假设
伯努利方程的导出过程中，需要做出一些简化假设，如忽略粘性、可压缩性和外 力。
伯努利方程的假设
• 流体是理想流体，无粘性和可压缩性。 • 流体受到的外力可以忽略不计。 • 流体在运动过程中，能量守恒。
伯努利方程-伯努利方程 式
伯努利方程是研究流体动力学中的一项重要理论，用于描述在流体中，速度、 压力和高度之间的关系。
方程的定义
伯努利方程是一种流体力学方程，描述了在一个定常流体中速度、压力和高 度之间的关系。它是基于牛顿运动定律和能量守恒原理。
伯努利方程的公式和含义
公式
伯努利方程的数学表达式是： P + 1/2ρv² + ρgh = 常数 其中，P是压力，ρ是密度，v是速度，g是重力 加速度，h是高度。
含义
伯努利方程说明了在流体中，速度增加时，压 力会降低；同时，高度增加时，速度和压力都 会减小。
流体力学的应用
航空工程
伯努利方程用于设计和优化飞机的翼型和机翼。
水力工程伯努利方程可以源自助工程师研究水流、水压和水位的关系，用于设计水坝和水力发电站。
气象学
伯努利方程可以解释和预测气候现象，如气旋和台风。
伯努利方程的限制条件
• 伯努利方程适用于稳态流动，不适用于非稳态流动。 • 伯努利方程适用于流速远小于光速的流体问题。 • 在实际应用中，需要考虑粘性、湍流和压缩性等因素对流体行为的影响。
实际应用示例
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
R
2
d2
p1
R
1
2
R Q(v3x v2x ) Q(0 v2x )
1000( 25 )( 4 25 / 3600 ) 3600 3.14 0.022 4
180N
3 v3 3 R′
v2
3
3
v3
对平板冲击力 F R 180N
总流伯努利方程
z1
p1
1V12
2g
z2
p2
2V2 2
2g
hl
总流伯努利方程意义与微小流束方程相 同，式中以均速替代实际流速，用系数修正
§5.6 动量方程
讨论运动的流体与固体边界的相互作用力。
质点系动量定理
dM dt
d ( mu)
dt
F
概念：
控制体
控制面
流体系统
一、定常不可压缩流体动量方程
p1
d12
4
0
Q(v2 x
v1x) )
Q2
d 2 2
[1 ( d2 )2 ]
4
d1
R
1000( 25 )2 3600
4 0.02 2
[1
( 0.02 ) 2 0.05
]
2.38
105
0.052 4
338N 喷嘴接头处拉力 F R 338N
取2-2,3-3面及射流表面 为控制面
d1
1
v1
2g
z p — 测压管水头；
单位重量流体 具有的比势能
z p u2 H
2g
H—总水头；
单位重量流体的总机械能，总比能
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
H1
H2
沿流线伯努利方程又称微小流束的伯努利方程 理想流体总水头线为水平线，表明机械能守恒
粘性流体微小流束的伯努利方程
一、微小流束的伯努利方程
dt
dt
dt
由积分条件 2.沿流线（即沿迹线）积分
dx dy dz dt ux uy uz
dx dt
ux,
dy dt
uy,
dz dt
uz
等号右端为
dux dx duy dy duz dz
dt
dt
dt
uxdux uyduy uzduz
方程化简为
1 2
d (ux2
uy2
uz 2 )
d u2 2
( Xdx Ydy Zdz) 1 dp d u2
2
由积分条件 3.仅在重力场中
∴ X=0, 进一步化简为
积分得
Y=0, Z= -g
1
u2
gdz dp d
2
d (gz
p
u2 )
0
2
z p u2 c
2g
上式称为沿流线的伯努利方程
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
z
缓变流特性
过流断面上
z p c
单位时间内微小流束上下游断面通过的总机械能
( z1
p1
u12 2g
)dQ
( z2
p2
u22 2g
)dQ hl' dQ
单位时间通过总流1-1，2-2断面总机械能
A1 ( z1
p1
)dQ
u12 dQ
A1 2g
A2 ( z2
p2
)dQ
A2
u22 2g
dQ
§5.5 理想流体运动微分方程的伯努利积分
一、微小流束伯努利方程
欧拉运动方程积分条件 X 1 p dux (1)
x dt
1. 不可压缩流体定常流动 Y 1 p du y (2)
2.沿流线积分
y dt
3.流体仅在重力场中
Z 1 p duz (3) z dt
将欧拉方程各式改造相加： (1) × dx+(2) × dy+(3) × dz:
v12 )
2
v2 2[1
(d2 d1
)4 ]
( 4Q )2[1 ( d2 )4 ]
2 d 2
d1
1000 ( 4 25 / 3600)2[1 (0.02)4 ] 2.38 105 Pa
2 0.0220.Fra bibliotek5沿流向取为x 方向 列动量方程
d1
1
v1
R
2
d2
p1
R′ v2
R
1
2
R
方程表示流线上各点 u, p, z 三者间关系；
u1 p1 z1 x
方程可以推广到微小流束。
p2 u2 z2 y
二、微小流束伯努利方程的意义
z — 位置水头；
单位重量流体
具有的位能（比位能）
（m液柱）
p— 压力水头；
单位重量流体
具有的比压能
（m液柱）
u
2
—
速度水头；单位重量流体具有的比动能（m液柱）
1.方程
z1
p1
u12 2g
z2
p2
u22 2g
hl′— 损失水头； 单位重量流体在1，2两断面间损失的机械能
表明实际流体，沿流动方向机械能总是减少的。
2.总水头线 H1 = H2 + hl′ H1 > H2
实际流体流动过程机械能总是减少的。
粘性流体总流的伯努利方程
1.缓变流—流线为近似平行直线的流动 2.急变流—流线间夹角较大、曲率较大
得到下式
( Xdx Ydy Zdz) 1 (p dx p dy p dz) dux dx duy dy duz dz
x y z
dt
dt
dt
由积分条件 1. 不可压缩流体定常流动
p 0 t
dp(x, y, x)
( Xdx Ydy Zdz) 1 dp dux dx duy dy duz dz
例题2：已知水枪喷嘴直径
d1=50mm,d2=20mm,流量 Q=25m3/h。
d1
求：1.喷嘴接头拉力；
2.射流对平板冲力。
1
v1
R
2
d2
p1
R
1
2
v2 Rx′
解：1.取1-1，2-2面之间控制体，列伯努利方程
0 p1 v12 0 pa v2 2
2g
2g
( pa 0)
p1
2
(v2 2
取1-2面间空间为控制体
1.dt时段内流束动量变化量
dM M12 M12
(M
12
M
22
)
(M 11
M 12 )
M 22 M 11
dm2u2
dm1u1
dQdtu2 dQdtu1
2.dt时段内总流动量变化量
引入断面平均流速
(02V2Q2 01V1Q2 )dt
Q(02V2 01V1)dt
A hl' dQ
1. A (z
p
)dQ
缓变流 (z
p）
γ
A dQ
(z p )Q
2. u2 dQ A 2g
u 2 dQ
A2
V 2 Q
2
V 2 Q
2g
α—动能修正系数 实测α= 1.05~1.1 ，工程上α≈ 1
3. A hl' dQ hlQ
hl — 单位重量流体的平均水头损失 （粘性内摩擦力引起）
α0—动量修正系数，α0=1.02-1.05，工程中取1
总流动量方程
由定理得
dM dt
Q(V2
V1 ) F
∑F —作用在控制体上的合外力（表面力与质量力之和）
坐标分量式
Q(V2x V1x ) Fx
Q(V2 y V1y ) Fy
Q(V2z V1z ) Fz
等号左边意义为，单位时间内流出控制体的动量 减去流进的动量。