第七章_弹性力学平面问题极坐标系解答
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各待求函数为r的函数（单变量的）。
2.2轴对称平面问题的基本公式
1.平面微分方程（仅一个）：
2.几何方程（二个）： ，
3.变形协调方程（一个）：
——变形协调方程
由几何方程：
或
4.物理方程(两个)
平面应力问题 ，
或 ，
平面应变问题时弹性系数替换。
5.按位移法求解
将r、用ur表示，并代入平衡微分方程，
对于平面应力问题
如果内筒受内压qa外筒外径无面力，则确定系数的四个条件为：
(r)r=a= -qa,(r’)r=c=0,
(r)r=b=(r’)r=b，(ur)r=b=(ur’）r=b
又如：内筒无内压qa= 0，外筒无外压qc= 0，但内筒外径大一点，内筒外径为b+，外筒内径仍为b，过盈配合问题，
边界条件如何写：
(r）r=a= 0,(r’）r=c=0, (r）r=b=(r’）r=b，
第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答
在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标(r,)来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。
第1节平面极坐标下的基本公式
采用极坐标系则平面内任一点的物理量为r,函数。
然后，利用r = a时， ，得
，
代回位移表达式并求应力
，
如果圆环匀速（）转动，则ur表达公式中的C20，
C1和C2由力的边界条件定：
(r）r=a=0,(r）r=b=0
例题２圆环（或圆筒）受内外压力作用。
已知： 体力fr=f=0（或Kr=K=0），
力的边界条件：
在r = a边界（内径）：
r= -qa，r=0
其中
在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题）
其中
力的边界条件如前所列。
1.8应力函数解法
当体力为零fr=f=0时,应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的未知函数( r,)表示,而应力函数( r,)所满足方程为
4( r,) =0或
而极坐标系下的应力分量r,,r由( r,)的微分求得,即：
， ，
第2节轴对称问题
2.1轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体积力分量f=0；在边界上r=r0： , （沿环向的受力和约束为零）。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴对称的：
在V内u=0，r=0，r=0,
ur=ur(r)，r=r(r),=(r),r=r(r),=(r).
位移法的基本方程为：
相应边界条件：轴对称问题边界r=r0（常数）
位移边界条件： 在su上
力的边界条件： 在s上
平面应力问题的力边界条件用位移表示：
在s上
当ur由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均可求出。
6.按应力法解
应力法基本方程
其中
边界条件为力的边界条件： 在s上
7.按应力函数求解
当无体力时应力法基本方程为：
(ur’）r=b=(ur）r=b+（或(ur’）r=b+(ur）r=b=）
第3节轴对称应力问题——曲梁的纯弯曲
曲梁为ห้องสมุดไป่ตู้连域，当无体力作用，且受纯弯曲作用时，从受力分析知曲梁=c的截面上内力为M，各截面上的应力分布也相同与无关的，因此属于轴对称应力问题。但位移不是轴对称的，即u0，所以不能按轴对称问题的位移法求解，但可按轴对称应力（应力函数）解法求应力并由应力导出位移。
体力：fr=Kr, f=K
面力：
应力：r,,r=r
应变：r,,r=r
位移：ur, u
直角坐标与极坐标之间关系:
x=rcos, y=rsin
1.1平衡微分方程
1.2几何方程
， ，
1.3变形协调方程
1.4物理方程
平面应力问题：
， ，
平面应变问题将上式中 ， 即得。
1.5边界条件
1.位移边界条件： ， 在su上
选取应力函数=(r)——单变量的函数
应力分量与(r)的关系：
， ， ，
自然满足平衡微分方程，则应力函数(r)应满足的基本方程为相容方程，即
或 ——四阶变系数的微分方程（尤拉方程）
而
则
逐次积分（四次）可将轴对称问题的(r)基本形式得到：
( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D
其中A、B、C、D为任意常数，D可去掉。
应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得
——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
， ，
，
A、C由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
则根据圆盘（或圆柱）中心应力和
位移有限值,得
A=0
图示圆盘受力情况，得应力为r==2C= -q
将(r)代入应力分量与应力函数的关系式，可得平面应力、平面应变问题应力表达式：
对于圆环或圆筒，力边界条件仅两个，不能确定三个系数。
但圆环或圆筒为复连域，除了力的边界条件满足外还要考虑位移单值条件。
下面将ur表达式导出（平面应力问题为例）
将物理方程代入几何方程：
将应力分量表达代入几何方程的第二式，得
——（a）
2.3轴对称问题举例
例题1等厚圆盘在匀速转动中计算（按位移法解）
已知：等厚圆盘绕盘心匀速转动（单位厚）角速度为（常数）、圆盘密度为，
圆盘匀速转动时受体力（离心力）作用：
fr=Kr=2r，f=K=0
在r = a边界上 （或 ）
符合轴对称问题（平面应力问题）。
位移法的基本方程：
积分两次：
确定C1和C2： 当r =０时，ur为有限值， 须C2=0
2.力的边界条件：
在s上
环向边界 （r=r0）
径向边界 （=0）
1.6按位移法求解
基本未知函数为位移ur, u，应变、应力均由位移导出。
平面应力问题时的应力由位移表示
上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。
,
力的边界条件也同样可以用位移表示。
1.7按应力法求解
在直角坐标系中按应力求解的基本方程为（平面应力问题）
同样利用力的边界条件导出同样结果。
讨论：
(1）当qa0，qb= 0仅受内压，以及qb= 0、b时；
(2) 当qa= 0，qb0仅受外压；
(3)组合圆筒。
内筒：内径a，外径b，弹性系数E、，
外筒：内径b，外径c，弹性系数E’、’。
内筒应力和位移：
， ，
平面应变问题 ，
外筒应力和位移：
， ，
，
组合圆筒应力和位移表达式中共有四个待定系数A、C、A’、C’，利用四个条件定。
在r = b边界（外径）：
r= -qb，r=0
本问题仍为轴对称问题，且体力为零，
可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。
１．按应力函数法求解
按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：
， ，
平面应力问题的位移：
，
利用力的边界条件：
及 ，得
，
２．按位移法求解：
由基本方程 得
代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有
2.2轴对称平面问题的基本公式
1.平面微分方程（仅一个）：
2.几何方程（二个）： ，
3.变形协调方程（一个）：
——变形协调方程
由几何方程：
或
4.物理方程(两个)
平面应力问题 ，
或 ，
平面应变问题时弹性系数替换。
5.按位移法求解
将r、用ur表示，并代入平衡微分方程，
对于平面应力问题
如果内筒受内压qa外筒外径无面力，则确定系数的四个条件为：
(r)r=a= -qa,(r’)r=c=0,
(r)r=b=(r’)r=b，(ur)r=b=(ur’）r=b
又如：内筒无内压qa= 0，外筒无外压qc= 0，但内筒外径大一点，内筒外径为b+，外筒内径仍为b，过盈配合问题，
边界条件如何写：
(r）r=a= 0,(r’）r=c=0, (r）r=b=(r’）r=b，
第七章弹性力学平面问题的极坐标系解答
在平面问题中，有些物体的截面几何形状（边界）为圆形、扇形，对于这类形状的物体采用极坐标(r,)来解，因为此时边界条件用极坐标易描述、简便。本章将讨论采用极坐标求解平面问题一些基本方程和解法以及算例。
第1节平面极坐标下的基本公式
采用极坐标系则平面内任一点的物理量为r,函数。
然后，利用r = a时， ，得
，
代回位移表达式并求应力
，
如果圆环匀速（）转动，则ur表达公式中的C20，
C1和C2由力的边界条件定：
(r）r=a=0,(r）r=b=0
例题２圆环（或圆筒）受内外压力作用。
已知： 体力fr=f=0（或Kr=K=0），
力的边界条件：
在r = a边界（内径）：
r= -qa，r=0
其中
在极坐标按应力求解的基本方程为（平面应力问题）
其中
力的边界条件如前所列。
1.8应力函数解法
当体力为零fr=f=0时,应力法基本方程中的应力分量可以转为一个待求的未知函数( r,)表示,而应力函数( r,)所满足方程为
4( r,) =0或
而极坐标系下的应力分量r,,r由( r,)的微分求得,即：
， ，
第2节轴对称问题
2.1轴对称问题的特点
1.截面的几何形状为圆环、圆盘。
2.受力和约束对称于中心轴,因此，可知体积力分量f=0；在边界上r=r0： , （沿环向的受力和约束为零）。
3.导致物体应力、应变和位移分布也是轴对称的：
在V内u=0，r=0，r=0,
ur=ur(r)，r=r(r),=(r),r=r(r),=(r).
位移法的基本方程为：
相应边界条件：轴对称问题边界r=r0（常数）
位移边界条件： 在su上
力的边界条件： 在s上
平面应力问题的力边界条件用位移表示：
在s上
当ur由基本方程和相应边界条件求出后，则相应应变、应力均可求出。
6.按应力法解
应力法基本方程
其中
边界条件为力的边界条件： 在s上
7.按应力函数求解
当无体力时应力法基本方程为：
(ur’）r=b=(ur）r=b+（或(ur’）r=b+(ur）r=b=）
第3节轴对称应力问题——曲梁的纯弯曲
曲梁为ห้องสมุดไป่ตู้连域，当无体力作用，且受纯弯曲作用时，从受力分析知曲梁=c的截面上内力为M，各截面上的应力分布也相同与无关的，因此属于轴对称应力问题。但位移不是轴对称的，即u0，所以不能按轴对称问题的位移法求解，但可按轴对称应力（应力函数）解法求应力并由应力导出位移。
体力：fr=Kr, f=K
面力：
应力：r,,r=r
应变：r,,r=r
位移：ur, u
直角坐标与极坐标之间关系:
x=rcos, y=rsin
1.1平衡微分方程
1.2几何方程
， ，
1.3变形协调方程
1.4物理方程
平面应力问题：
， ，
平面应变问题将上式中 ， 即得。
1.5边界条件
1.位移边界条件： ， 在su上
选取应力函数=(r)——单变量的函数
应力分量与(r)的关系：
， ， ，
自然满足平衡微分方程，则应力函数(r)应满足的基本方程为相容方程，即
或 ——四阶变系数的微分方程（尤拉方程）
而
则
逐次积分（四次）可将轴对称问题的(r)基本形式得到：
( r)= Alnr+Br2lnr+Cr2+D
其中A、B、C、D为任意常数，D可去掉。
应力分量表达代入几何方程的第一式并积分，得
——(b)
考虑位移单值性比较（a）和（b）式：
4Br-F=0B=F=0
轴对称问题的应力和位移解为：
， ，
，
A、C由两个力的边界条件确定。
对于无体力圆盘（或圆柱）的轴对称问题，
则根据圆盘（或圆柱）中心应力和
位移有限值,得
A=0
图示圆盘受力情况，得应力为r==2C= -q
将(r)代入应力分量与应力函数的关系式，可得平面应力、平面应变问题应力表达式：
对于圆环或圆筒，力边界条件仅两个，不能确定三个系数。
但圆环或圆筒为复连域，除了力的边界条件满足外还要考虑位移单值条件。
下面将ur表达式导出（平面应力问题为例）
将物理方程代入几何方程：
将应力分量表达代入几何方程的第二式，得
——（a）
2.3轴对称问题举例
例题1等厚圆盘在匀速转动中计算（按位移法解）
已知：等厚圆盘绕盘心匀速转动（单位厚）角速度为（常数）、圆盘密度为，
圆盘匀速转动时受体力（离心力）作用：
fr=Kr=2r，f=K=0
在r = a边界上 （或 ）
符合轴对称问题（平面应力问题）。
位移法的基本方程：
积分两次：
确定C1和C2： 当r =０时，ur为有限值， 须C2=0
2.力的边界条件：
在s上
环向边界 （r=r0）
径向边界 （=0）
1.6按位移法求解
基本未知函数为位移ur, u，应变、应力均由位移导出。
平面应力问题时的应力由位移表示
上式代入平衡微分方程可得到用位移表示的平衡微分方程,即位移法的基本方程。
,
力的边界条件也同样可以用位移表示。
1.7按应力法求解
在直角坐标系中按应力求解的基本方程为（平面应力问题）
同样利用力的边界条件导出同样结果。
讨论：
(1）当qa0，qb= 0仅受内压，以及qb= 0、b时；
(2) 当qa= 0，qb0仅受外压；
(3)组合圆筒。
内筒：内径a，外径b，弹性系数E、，
外筒：内径b，外径c，弹性系数E’、’。
内筒应力和位移：
， ，
平面应变问题 ，
外筒应力和位移：
， ，
，
组合圆筒应力和位移表达式中共有四个待定系数A、C、A’、C’，利用四个条件定。
在r = b边界（外径）：
r= -qb，r=0
本问题仍为轴对称问题，且体力为零，
可采用前述的应力函数求解方程，也可按位移法求解。
１．按应力函数法求解
按应力函数求解前面已导出应力分量和位移表达式：
， ，
平面应力问题的位移：
，
利用力的边界条件：
及 ，得
，
２．按位移法求解：
由基本方程 得
代入应力与位移之间关系式，对于平面应力问题，有