命题逻辑的基本概念

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§1.2 命题公式及其赋值
定义 1.10 设A为任一命题公式
若A在它的各种赋值下取值均为真,则称A是重言式或永真式 若A在它的各种赋值下取值均为假,则称A是矛盾式或永假式 若A不是矛盾式 ,则称A是可满足式
从定义不难看出以下几点：
A是可满足式的等价定义是：A至少存在一个成真赋值 重言式一定是可满足式，但反之不真。 若公式A是可满足式，且它至少存在一个成假赋值，
2是有理数或者大于0 只有2是有理数,3才是有理数 只要2是有理数,3就是无理数
pt , 真值为1 rp , 真值为1 ps , 真值为0
排拆或和相容或
自然语言中的”或”具有二义性,它有时具有相容性,有时具有排斥性 排斥或 (pq) (pq) ,只有当一个为真、另一个为假时才为真 相容或 p q , 两个命题可以同时为真 对于具体的命题p和q,如果p,q不可能同时为真时就不用区分
则称A为非重言式的可满足式
真值表可用来判断公式的类型:
(1) 若真值表最后一列全为1，则公式为重言式
(2) 若真值表最后一列全为0，则公式为矛盾式
(3) 若真值表最后一列中至少有一个1，则公式为可满足式
称为对命题变元p进行指派, 也称赋值或解释 例如： 用”雪是黑的” 代入p后，p就表示命题, 这时p有确定的值
0 2020年3月31日3时11分 用”雪是白的” 代入p后，p就表示命题, 这时p有确定的值 ®
§1.1 命题与与联结词
原子命题 : 不能分解为更简单命题的命题
复合命题 : 由原子命题通过联词复合而成的命题
第一章 命题逻辑的基本概念
命题与联结词 命题公式及其赋值 知 识 点：命题及表示、联结词、命题公式与赋值、真值表 教学要求：深刻理解和掌握命题逻辑中的基本概念 教学重点：命题逻辑中的基本概念 学时: 2
2020年3月31日3时11分
§1.1 命题与与联结词
数理逻辑研究方法的主要特征是将论述或推理中的各种要 素都符号化，即构造形式语言来代替自然语言 命题真值的符号化： 1 或 T 表示真，0 或 F 表示假
1 或 T , 0 或 F 称为命题常元
命题的符号化：用字母p,q,r,… , pi,qi,ri,…表示命题
一个代表命题的变量称为命题变元 命题变元是用来表示任意命题的, 它的真值是未确定的 当命题变元用一个具体的命题 “代入” 时, 它才有确定的真值 用一个具体的命题 “代入” 一个命题变元 p
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不规p论定后：q 件当是前p真件是为q假假，命q该题蕴时p涵， (pq)(qp)
0 0 式都为1真命题 1
1
0 1 蕴1涵式的前0件和后件可以没0有内在联系 例
pq 与
10
0
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如： 0
(pq)(qp)的真值表
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1如果 中国1 的首都是北京1则 雪是白的
是相同的
显然这是一个真命题
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§1.2 命题公式及其赋值
定义1.8 设p1,p2,…,pn 是出现在公式A中的全部命题变项,给 p1,p2,…,pn 各指定一个真值,称为对A的一个赋值或解释。若指定的 一组值使A为1,则称这组值为A的成真赋值;若使A为0,则称这组值为A 的成假赋值。 定义1.9 将命题公式A在所有赋值下取值情况列成表称作命题公式A的 真值表, 构造真值表的具体步骤如下：
(pr) q
pq qp qp
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§1.1 命题与与联结词
例3 试用符号形式表示下列命题并求真值:
设 p:2是有理数, q:2是无理数, r:3是有理数, s:3是无理数,t:2大于0
2是有理数是不对的
p , 真值为0
2是有理数或者是无理数
(pq) (pq) , p q 真值为1
为了避免歧义,对联结词进行严格定义, 并且加以符号化
常用的联词
设p 和 q为两个命题
定义1.1 否定联结词 : ┐
复合命题”非 p”称为p的否定式,记为 ┐p
定义1.2 合取联结词 : ∧
复合命题”p并且q”称为p与q的合取式,记作 p∧q
定义1.3 析取联结词 : ∨
复合命题”p或者q”称为p与q的析取式,记作 p∨q
定义1.4 蕴涵联结词 :
前件
后件
复合命题”如果p则q”称为p与q的蕴涵式,记作 pq
定义1.5 等价联结词 :
复合命题”p当且仅当q”称为p与q的等价式,记作 p q
2020年3月31日3时11分
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§1.1 命题与与联结词
基本复合命题的真值表
pq
┐p
pq
pq
pq
pq
00
1
0
0
1
1
01
1
0
例2 试用符号形式表示下列命题:
设p为“明天下雨”, q为“明天我去看电影” , r为“明天我有时间”
明天不下雨
p
如果明天不下雨, 那么我去看电影
pq
当且仅当明天不下雨, 我才去看电影
pq
如果明天不下雨而且我有时间, 那么我去看电影
(pr)q
如果明天下雨或我没有时间, 那么我就不去看电影 除非明天下雨, 否则我就去看电影 只有明天下雨我才会去看电影 除非明天下雨我才会去看电影
2020年3月31日3时11分
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§1.1 命题与与联结词
逻辑联词也称为逻辑运算符
运算的优先级依次为:
(,)
高
低
例如 p q p q r q p 相当于 ( ( ( ( ( p ) q ) p ) ( q ( r ) ) ) q ) p
2020年3月31日3时11分
§1.1 命题与与联结词
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§1.2 命题公式及其赋值
例4 求 p(pq) , pp , pp , pqr r 的真值表
p
q
p(pq)
p
pp
pp
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1
1
0
0
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0
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p
q
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r
qr
pqr
r
pqrr
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(1)找出公式中所含的全体命题变项 p1,p2,…,pn (若无下角标就按字典顺序排列)，
列出2n个赋值。赋值从00…0开始 然后按二进制加法依次写出各赋值，直到11…1为止 (2)按从低到高的顺序写出公式的各个层次 (3)对应各个赋值计算出各层次的真值，直到最后计算出公式的真值
2020年3月31日3时11分