静电场习题课

通过图面上的A点，一电量为Q的均匀带电球体，其球心 处于O点，⊿AOP是边长为ａ的等边三角形。为了使场强 方向垂直于OP，则λ和Q的数量之间应满足何关系？
解：由直角三角形关系可看出：
A
E1＝
1 2
E2
即： Q ＝1 λ
4πε
ａ2
0
2 2πε
ａ
0
ａ Ｑ Ｏ
ａ
ａ E1 Ｐ
E2
∴λ＝ａQ
E
且λ与Q应为异号电荷
解：取如图所示的对称单元， 由对称性分析知，场强沿-Y方向。
Rd dE 40R2
QRd
Qd
R 2
4
0
R
2
2 2 0 R 2
Qd dE y 220R 2 cos
dE2 dE1
dE
/2
/ 2 Qd
Ey 2 0 dE y 2 0 220R2 cos
Q 20R2
方向沿Y轴负向。
〔例9〕半径为R的带电圆环，电荷线密度 ｄｑ＝λ ｄｌ
势分布。
R2
解： 设金属圆筒内，相对的两面带有等量
R1
异号电荷，电荷线密度为±λ，
∫ U1－U
＝
2
λ Ｒ２ Ｒ１ 2πε
λ
ｄｒ＝
ｒ
0
2πε
ｌｎR 2
0
R1
＝U
0
∴ λ ＝ U0 2πε 0 ｌｎR2 R1
球内任一点与外筒壁间电势差为：
∫ ∫ Uｒ－U
＝
2
R ｒ
2
E•ｄｒ＝
λ Ｒ２ ｒ 2πε
λ
ｄｒ＝
＝ － λ0R ｃ ｏ ｓ2φ ｄφ 4ππ 0R2
∫ λ
Eｘ＝
－4πε
0
0R
2πｃ ｏ ｓ2φ ｄφ
0
∫ λ
＝－ 0
2π 1－ ｃ ｏ ｓ2φｄφ
4πε 0R 0
2
λ ＝－ 0
4ε 0R
〔例10〕图示为两个同轴带电长金属圆筒，内、外筒半径
分别为R1和R2，两筒间为空气，内、外电势分别为U1＝
2U0，U2＝U0，U0为一已知常量，求两金属圆筒之间的电
Qd R2 (L x)2 80L R2 (L x)2 3/2
总场强为
L
L Qd R2 (L x)2
E
dE
0
0 8 0L R2 (L x)2 3/ 2
Q 4 0L
1
R
1
R2
L2
方向沿X轴正向。
〔例9〕（题库）一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形， 沿其上半部分均匀分布有电量+Q, 沿其下半部分均匀分布 有电量 - Q.试求圆心O处的电场强度。
静电场习题课
〔例1〕已知高斯面上的场强处处为零，能否断定高斯面内 无电荷？
解：不能断定。
由高斯定理：
q
E • dS
S
0
E 0 q 0
即高斯面内可能有电荷，但其代数和为零。
〔例2〕高斯面上 E 处处不为零，能否断定高斯面内
有电荷？
答：高斯面上 E 处处不为零， 但可能有：
E• dS 0
解：以P为球心， 为半径作一球面，则通过半径为 R的圆平面的电通量与通过以它
R
O
为周界的球冠的电通量相等。
P hq
球冠的面积为 S 2r(r h)
通过球冠的电通量为
S S0
0
2r(r 4r 2
h)
q 0
q 20
(1
h )
R2 h2
〔例6〕真空中有高ｈ＝20ｃｍ，底面直径R＝10ｃｍ的圆
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锥面，在OO’的中点置一点电荷，求通过圆锥侧面的电通
ｒ
0
2πε
ｌｎR 2 ｒ
0
λ
∴Uｒ＝U
＋
0
2πε
ｌｎR 2 ｒ
0
＝U
＋ U0 0 ｌｎR
2
ｌｎR 2 ｒ
R1
〔例11〕一“无限大”平面，中部有一半径为R的园孔。 设平面上均匀带电，电荷面密度为σ，求与平面垂直的ｘ 轴上一点的场强；若以O点为零电势，求ｘ点的电势。
解：（1）
za
左 E左 • S左 ExS ba 5/ 2
a
x
右 E右 •S右 ExS b（2a）1/2a2 2ba5/2
左 右 ba5/ 2 2ba5/ 2
（2）
q
0
q 0 (ba5/2
2ba 5/ 2 )0
〔例6〕（题库）真空中有一半径为R的圆平面，在通过 圆心O与平面垂直的轴线上一点P处，有一电量为 q 的 点电荷。O、P间距离为h.试求通过该圆平面的电通量。
〔例9〕一半径为R、长度为L的均匀带电圆柱面，总电量 为Q.试求端面处轴线上P点的电场强度。
解：取坐标如图。
x dx
在坐标 x 处取宽为 dx的圆环，
圆环上的电量为
dq Q dx
O
L
圆环在P处产生的场强为：
L
•P
X
(L x)dq
Q(L x)dx
dE 40 R2 (L x)2 3/2 40L R2 (L x)2 3/2
量。
ｈ
解：以ｑ所在点为球心，以ｒ＝
R 2＋（ ）2 2
为半径作一闭合球面包围ｑ。
通过该球面的电通量：φ ＝ｑ
0ε 0
通过圆锥侧面的电通量：φ
＝φ
2
－φ
0
1
其中φ1为通过圆锥底面的电通量
Ｏ’ ｑｒ O
R
φ 1
＝S
球
冠
φ 0
S球面
φ ＝φ
1
0
2π
ｒ（ｒ－ｈ2）＝ 4π ｒ2
ｑ
2ε
（1－
0
ｈ 2）
R 2＋（ｈ2）2
∴φ ＝φ －φ ＝（1＋
ｈ
）ｑ
2
0
1
2
4
R 2＋（ｈ2）2
ε 0
〔例7〕某电场的电力线分布情况如图
所示，一负电菏从M点移到 N点，下面
那种说法是正确的？
M•
•
（A）电场强度 EM EN
N
（B）电势
UM UN
（C）电势能 WM WN
（D）电场力的功 A 0
〔例8〕如图，一电荷线密度为λ的无限长带电直线垂直
q q
••
d
E • dS
E•
4r 2
q
q
0
S
0
E 0 试指出其错误。
答：所选球面上场强的大小不处处相等，不能用：
E • dS E • 4r2
S
y 〔例5〕已知空间电场强度分布为
Ex bx1/2 , Ey Ez 0,
o 求（1）通过图示立方体的电通量， a
（2）该立方体内的总电荷是多少？
λ ＝λ ｃｏｓφ （λ
0
0
0是常量）－，－
＋＋
求环中心的场强大小等于多少？
－ －
O φ＋ X
解： 取电荷元ｄｑ 其激发的元场强为：ｄE＝4πｄε ｑ0R
－
ｒˆ －
2
ｄE
－
＋
＋ ＋
由于左右半圆环电荷分布的对称性，合场强的ｙ分量抵消
λｄｌ
ｄEｘ＝ ｄEｃ ｏ ｓ（π
＋φ ）＝－4ππ
ｃ ｏ ｓφ 0R2
S
高斯面内 可能无电荷，如图。
〔例3〕已知高斯面的电通量不为零，高斯面上的场强 E 是否一定处处不为零？
答：高斯面的电通量不为零，并不能保证每个微元的 电通量不为零，所以不能保证高斯面上的场强处处为 零。反例如图。A点场强为零。
•
4q
•
q
•A
〔例4〕两个等量异号的点电荷 +q 、
P
-q 相距为 d ，求通过其中垂线上距 中心 r 远处一点P 的场强。 有人以两电荷的中点为圆心，r 为半 径作一高斯面，由：