《“韩信点兵”与中国的剩余定理 》PPT教学课件

6），23≡13（mod 2）或 23≡13（mod 5）

2020/12/09
我们现在令Z表示所有的整数集合，给定一个正整 数n，我们看同余≡究竟有什么性质？
首先，对于任何整数a ，我们恒有a≡a（mod n） 因为a－a＝0＝0×n，以上的性质就是“同余具有自 反性。
其次，如果a≡b（mod n），则一定有b≡a（mod n） 因为由a≡b（mod n），我们得a－b=n×k，k是一个 整数，
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因此b－a=－（a－b）＝n×（－k），即b≡a （modn）。我们说“同余具有对称性”。
另外如果有a≡b（mod n），b≡c（mod n）， 则我们可以得到a≡c（mod n）。 这就是“同余具有传递性。
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让我们看看下面的例子：
例1．取n＝2，则我们把整数分成偶数或奇数，就是…… [0]2={0，±2，±4，±6，…±2k，…}包含所有偶数。 [1]2={±1，±3，…±（2k+1)，…}包含所有的奇数。
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我们不单听到吹竽鼓瑟、击筑弹琴，也见到斗鸡走 犬。而位于大街的酒家，高朋满座。最热闹的是靠 南城门的墙脚地方，只见许多人围绕在一个竹竿高 挂上写“鬼谷神算”的布条下。挤进去看，我们看 到一个有仙风道骨模样的老人对另一位老观众说： “大爷不需告诉我岁数，只需讲你的岁数除以二、 三、五后的余数是多少，就可以了。”
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这和《孙子算经》的答案：“答曰：二十三”是 符合的。
《孙子算经》还给出解这题的方法： “术曰：三三数之剩二，置一百四十；五五数 之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之， 得二百三十三，以二百十一减之即得。” 而书中接下来就给这一类问题的一般解法：
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给定一个正整数n，我们说两个数a、b是对模n同余， 如果a－b是n的倍数。用符号a≡b（mod n）来表 示。
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比方说：7，4，是对模3同余，因为7－4=3。 16，52是对模6同余，因为16－52=－36＝6×（－
6）。 23，13是对模2，模5同余，因为23－13＝10=2×5. 写成数学式子是7≡4（mod 3），16≡52（mod
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你只要懂得[2]3，[3]5，[2]7就在里面找那些数同 时在这三个集合里就行了。因此由 [2]3={…，－1，2，5，8，11，14，17，20，23， 26，29，…} [3]5={…，－2，3，8，13，18，23，28，33，38， 43，47，…} [2]7={…，－5，2，9，16，23，30，37，44，51， 58，63，…} 我们很容易看到最小的正整数答案是23。
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这问题翻译成现在的白话是：“现在有一些东西不 知道它们的个数，三个三个一组剩下2个，五个五 个一组剩下3个，七个七个一组剩下2个，问这些东 西有多少？”
我们把这个问题再翻译成数学问题，就变成：“寻 找x，使得x≡2（mod 3），x≡3（mod 5），x≡2 （mod 7）。”
“凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一， 则置二十一；七七数之剩一，则置十五；一百六以 上，以一百五减之即得。”
这些解法的叙述，相信许多读者第一次看会觉 得莫名其妙，究竟这是在说什么东西？我们现在研 究一下。
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现在让我再问一个问题：“什么数被3除余2？” 我想你一定会回答：所有形如3k＋2的数，这里k可 以等于0，±1，±2，…，这就是在[2]3里的数。
这两个问题都是很容易。现在让我们把这两个问题 合成一个问题：“什么数被2除余1，被3除余2？”
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这里你就必须在[2]3里找所有的奇数，即－7，－ 1，5，11，…等等。（如果你学过初等集合论，你 就是要找交集[1]2∩[2]3的所有元素。）
2.2 “韩信点兵” 与中国的剩余定理
B版数学选修3-1《数学史选讲》
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“韩信点兵”与中国的剩余定理
从“鬼谷算”的猜岁数游戏谈起 猜谜语这种民间游戏，在中国有几千年的历史了。可是
你知道不知道还有一种猜岁数的游戏在一千多年前也曾 是中国人民的一种游戏？
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让我们借想像的羽翼飞到那古老的年代，飞到那 位于富庶肥沃的关中平原，那《诗经》所说：“径 以渭蜀”的径水、渭水流域上的古城长安。长安是 个像杜甫的诗歌所描写的：“渔阳豪侠地，击鼓吹 笙竽，云帆转辽海，粳稻来东吴。越罗与楚练，照 耀与台躯”一个很热闹繁华的城市。
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“用二除嘛，余一；用三除嘛，也是余一；用五除嘛 是余三。”只见算命先生摆弄一下竹筹，就说：“大 爷今年73岁了，有道是人生七十古来稀，大爷童颜 鹤龄，龙马精神，真是有福。”他算对了，是怎么样 算出来呢？
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同余的概念
首先让我介绍德国数学家高斯在200年前想出的一 个数学上很重要的概念：“同余” .
而这些所有的数可以写成形如6k－1。（k=0， ±1，±2，…）
因为6k－1≡1（mod 2）,6k－1≡2（mod 3）
以上的问题写成数学式子就是：“寻找x，使得x≡1 （mod 2），x≡2（mod 3）。” 而答案是：所有形如6k－1的数。
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中国古算书的一个问题
在成书差不多4世纪时的一本中国最古老的数学 书之一——《孙子算经》里的下卷第26题，是一个 闻名世界的数学问题。这问题有人称它为“孙子问 题” 现在我们看这问题：“今有物不知其数，三三数之 剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
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例2 . 取n＝3，则
[0]3={…，－9，－6，－3，0，3，6，9，…} [1]3={…，－8，－5，－2，1，4，7，10，…} [2]3={…，－7，－4，－1，2，5，8，11，…}
现在让我问一个问题：“什么数被2除余1？”我想你 一定会回答：是所有的奇数，奇数一般可以用2k＋1 来表示k＝0，±1，±2，…。这就是在[1]2的数。