第14讲-----函数最值与恒成立问题

（1）当
时，求方程
的解；
（2）若方程
在
上有实数根，求实数 的取值范围；
（3）当 时，若对任意的
，总存在
，使
求实数 的取值范围.
成立，
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课后作业
1.
设
f
(x)
1 2x lg
a4x
, 其中 a R
，如果
x (.1) 时，
f
(x)
恒有意义，求 a
3
的取值范围。
2. 设函数是定义在 (, ) 上的增函数，如果不等式 f (1 ax x2 ) f (2 a) 对 于任意 x [0,1] 恒成立，求实数 a 的取值范围。
y x 对称的图象的解析式为
【题 4】求关于 x 的二次函数 y x2 2tx 1在 1 x 1上的最大值（ t 为常数）．
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知识精讲
二次函数的最值
一般二次函数的最值，都是通过二次函数的图像性质来确定. 当二次函数的开口向上时，在顶点处取得最小值，端点处取得最大值， 当二次函数的开口向下时，在顶点处取得最大值，端点处取得最小值， 若是定义域只在二次函数顶点的一端，则最值都在端点处取得.
而带参数的二次函数求最值，就比较复杂了，需要根据参数的位置来分类 讨论求解，具体的题型下面会一一给出
例题精讲
【例 1】当 2 x 2 时，求函数 y x2 2x 3 的最大值和最小值．
【巩固 1】当1 x 2 时，求函数 y x2 x 1 的最大值和最小值．
【巩固 2】当 x 0 时，求函数 y x(2 x) 的取值范围．
笔记与总结
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恒成立问题
一、一次函数 根据一次函数的单调性，对于一次函数 f (x) kx b, x [m, n] 有：
f
(x)
0恒成立
f f
(m) 0 ,
(n) 0
f
(x)
0恒成立
f f
(m) 0 (n) 0
二、二次函数
1. 设 f (x) ax2 bx c(a 0) ， （1） f (x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 ； （2） f (x) 0在x R 上恒成立 a 0且 0 。
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润 y 与每件销售价 x 之间的函数关系式； （2）若商场要想每天获得最大销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大 销售利润为多少？
【巩固】某商店将进货价每个 10 元的商品按每个 18 元出售时，每天可卖出 60 个，商 店经理到市场上做了一番调查后发现，若将这种商品的售价（在每个 18 元的基础上） 每提高一元，则日销量就减少 5 个；若将这种商品的售价（在每个 18 元的基础上）每 降低 1 元，则日销量就增加 10 个．为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个 多少元？
2. 设 f (x) ax2 bx c(a 0)
（1）当 a 0 时， f (x) 0在x [ , ] 上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
，
f ( ) 0 0
f ( ) 0
f
(x)
0在x
[
,
]
上恒成立
f f
( (
) )
0 0
（2）当
a
0 时，
f
(x)
0在x
[ , ] 上恒成立
f f
( ) ( )
0 0
f (x) 0在x [ , ] 上恒成立
b 2a
或
b 2a
或
b 2a
f ( ) 0 0
f ( ) 0
3. f (x) 对一切x I恒成立 f (x)min f (x) 对一切x I恒成立 f (x)max .
【例 1】对于满足|a| 2 的所有实数 a,求使不等式 x2+ax+1>2a+x 恒成立的 x 的取值范
【例 2】当 t x t 1 时，求函数 y 1 x2 x 5 的最小值（其中 t 为常数）．
2
2
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【巩固】函数 y x2 2x 3 在 m x 0 上的最大值为 3，最小值为 2，求 m 的取
值范围．
【例 3】已知关于 x 的函数 y x2 2ax 2 在 5 x 5 上． （1）当 a 1时，求函数的最大值和最小值； （2）当 a 为实数时，求函数的最大值．
函数最值与恒成立问题
课前检测
【题 1】画出下列函数图象： （1） y 2x 1 2 x
（2） y 2x 4 x
【题
2】已知函数
f
(x)
x2
1
(x 0) ，若 f (x) 10 ，则 x
．
Байду номын сангаас
2x (x 0)
【题 3】把函数 y 1 的图象沿 x 轴向左平移一个单位后，得到图象 C ，则 C 关于 x 1
【例 4】求关于 x 的函数 y x2 -2ax 3 在 2 x 1 上的最值．
【巩固】已知关于 x 的函数 y x2 -ax 2 定义在1 x c 上．
（1） 当 a 6 时，求函数的最值； （2） 当 c 6 时，求函数的最值.
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实际问题： 【例 5】某商场以每件 30 元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量 m （件）与每件的销售价 x （元）满足一次函数 m 162 3x,30 x 54 ．
值范围.
【巩固】若不等式 (m 1)x 2 (m 1)x 2 0 的解集是 R，求 m 的范围.
【例 3】已知函数 f (x) x2 ax 3 a ，在 R 上 f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围.
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【巩固】已知函数 f (x) x2 ax 3 a
（1）若 x 2, 2 时， f (x) 0 恒成立，求 a 的取值范围. （2）若 x 2, 2 时， f (x) 2 恒成立，求 a 的取值范围.
笔记与总结
真题链接
【 例 1 】 （ 部 分 重 点 中 学 2016-2017 期 中 ） 已 知 函 数 f (x) x2 4x a 3 ， g(x) mx 5 2m .
围.
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【巩固 1】对任意 a [1,1] ，不等式 x 2 (a 4)x 4 2a 0 恒成立，求 x 的取值
范围。
【巩固 2】若不等式 2x 1 m(x 2 1) 对满足 2 m 2 的所有 m 都成立，求 x
的范围。
【例 2】若函数 f (x) (a2 1)x2 (a 1)x 2 的定义域为 R，求实数 a 的取 a 1