二次函数基本概念和图像

二次函数基本概念和图像
1、 二次函数的定义：我们把形如y=ax²+bx+c(其中a,b,C 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函
数。

称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项。

【1】下列函数中，哪些是二次函数？
(1)2x y = (2) 21x
y -= (3) 122--=x x y （4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y
（6）02=-x y （7）x
x y 12+= （8）322-+=x x y 是二次函数的是： 。

【2】、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）12+=x y （2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -=
【3】、若函数m m
x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为 。

例1．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k
x k y 为二次函数？
1已知函数72)3(--m
x m 是二次函数，求m 的值．
说明：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与系数a 、b 、c 、ac b 42-的关系 ：
例1、二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象如图所示，则：
a 0;
b 0;
c 0;ac b 42- 0。

1.探索填空:根据下边已画好抛物线y= -2x 2的顶点坐
标是 ,
对称轴是 ，
在 侧，即x_____0时,
y 随着x 的增大而增大；在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小. 当x= 时，函数y 最大值是____. 当x____0时,y<0.
2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y 最小值是____. 当x____0时,y>0
3、图像平移的问题：
2
ax
y=（0
≠
a）的图像
个单位
时向右平移
当
个单位
向左平移
时
当
m
m
m
m
<
−
−
−
−
−→
−
>
2
)2
(
2
1
-
=x
y的图像
个单位
时向下平移
当
个单位
向上平移
时
当
m
k
m
k
<
−
−
−
−
−→
−
>
k
m
x
a
y+
+
=2)
(的图像。

k
m
x
a
y+
+
=2)
(的图像的对称轴是直线x=-m，顶点坐标是（-m，k）。

口诀：（m、k）正负左右上下移（m左加右减k上加下减）
1、由抛物线y=2x²向平移个单位可得到y= 2(x+1)2
2、函数y= -5(x -4)2的图象。

可以由抛物线向平移4 个单位而得到的。

3、对于函数1
2
2+
-
-
=x
x
y，请回答下列问题：
（1）对于函数1
2
2+
-
-
=x
x
y的图像可以由什么抛物线，经怎样平移得到的？
（2）函数图像的对称轴、顶点坐标各是什么？
1、对于二次函数2)4
(
3
1
-
-
=x
y，请回答下列问题：
①把函数2
3
1
x
y-
=的图像作怎样的平移变换，就能得到函数2)4
(
3
1
-
-
=x
y的图像？
②说出函数2)4
(
3
1
-
-
=x
y的图像的顶点坐标和对称轴。

把抛物线c
bx
x
y+
+
=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x
y=，
求b 、c 的值．
二、 课前小测试：
1、使1-x 有意义的x 的取值范围为（ ）
A.10≠≥x x 且
B. 1≥x
C. 0≥x
D.1≠x
2、 下列事件中，不是随机事件的是（ ）
A.篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中
B.经过城市某一个有交通信号灯的路口，遇到红灯
C.小伟掷六次骰子，每次向上的一面都是6点
D.度量三角形的内角和，结果为361°
3、 在一次游戏当中，小明将下面四张扑克牌中的三张旋转了180°，得到的图案和原来一
模一样．小芳看了后，很快知道没有旋转那张扑克牌是（ ）
A ．黑桃Q
B ．梅花2
C ．梅花6
D ．方块9
4．下列事件是必然发生的事件的是（ ）
A ．在地球上，上抛的篮球一定会下落 B.明天的气温一定经今天的高
C.中秋节晚上一定能看到月亮
D.某彩票中奖率是1%，买100张彩票一定中奖一张
5．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，等于则AOB ACB ∠︒=∠,40（ ）
A.40°
B.50°
C.80°
D.100°
6．下列根式为最简二次根式的是（ ）
A.12
B.
23 C. 3
1 D. 6
2 7．用配方法解方程01182=+-x x ，则方程可变形为（ ）
A.5)4(2=+x
B. 5)4(2=-x
C. 5)8(2=+x
D. 5)8(2
=-x
8．若关于x 的方程x m x 22=-有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）
A. 1->m
B. 2-<m
C. 0≥m
D. 0<m
9．如图所示的工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位cm ），将形状规则
的铁球放入槽内，若同时具有A,B,E 三个接触点，则该球的半径是（ ）cm
A ．10
B ．18
C ．20
D ．22
10.在“妙手推推推”的游戏中，主持人出示了一个不含0的9位数，让参与
者猜某商品的价格。

被猜的价格是这个9位数中从左到右连在一起的某个4位
数。

如果参与者不知道商品的价格，从这些连在一起的所有4位数中任意猜一个，则猜中该商品价格的概率是（ ）
A.
91 B. 41 C. 61 D. 36
1 三、 巩固练习：
1．当0<a 时，求抛物线22212a ax x y +++=的顶点所在的象限．
2. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐标．
3．已知正方形的面积为)(2cm y ，周长为x （cm ）．
(1)请写出y 与x 的函数关系式；
(2)判断y 是否为x 的二次函数．
4、正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积。

5、 已知函数7
2)3(--=m x m y 是二次函数，求m 的值．
6、 已知二次函数2ax y =，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y 的值．
7、已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．
8、用一根长为40 cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积y 与它的半径x 之间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r 的取值范围．
四、 课后练习：
1、抛物线5)4(22-+-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧，即x_____0时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____0时,y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是____。

2、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c ﹤0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是（ ）
A 1个
B 2个
C 3个
D 4个
3、二次函数y =－4x 2+2x +12
的对称轴是直线__________． 4、已知点P (5，25)在抛物线y=ax 2上，则当x =1时，y 的值为
__________．
5、函数y =x 2+2x －8与x 轴的交点坐标是_________．
6、用配方法将二次函数2162
12+-=x x y 化成k h x a y +-=2)(的形式，那么y=_____________．
7、将y =3x 2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．
8、由y=2x 2和y=2x 2+4x-5的顶点坐标和二次项系数可以得出y=2x 2+4x-5的图象可由y=2x 2的图象向 _______平移________个单位，再向_______平移______个单位得到。

9、分析若二次函数y=ax 2+bx+c 经过（1，0）且图象关于直线x=
21,对称，那么图象还必定经过哪一点？
10、(1) 若m m
x m m y -+=2)(2是二次函数，求m 的值。

(2)已知函数4
2--=m m mx y 的图象是开口向下的抛物线，求m 的值。

11、函数y=ax 2（a≠0）与直线y=2x-3交于点（1,b ），求
（1）a 和b 的值；
（2）求抛物线y=ax 2的解析式，并求顶点坐标和对称轴；
（3）x 取何值时，二次函数y=ax 2中的y 随着x 的增大而增大；
（4）求抛物线与直线y=-2的两交点及顶点所构成的三角形的面积。