大学统计学第七章练习题与答案

第7章参数估计

练习题

7.1 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。

（1）样本均值的抽样标准差等于多少?

（2）在95%的置信水平下，边际误差是多少？

解：⑴已知

样本均值的抽样标准差

⑵已知,,，，

边际误差

7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客

组成了一个简单随机样本。

（1）假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差；

（2）在95%的置信水平下，求边际误差；

（3）如果样本均值为120元，求总体均值的95%的置信区间。

解.已知.根据查表得=1.96

（1）标准误差：

（2）．已知=1.96

所以边际误差=* 1.96*=4.2

（3）置信区间：

7.3 从一个总体中随机抽取的随机样本，得到，假定总体标准差

，构建总体均值的95%的置信区间。

置信区间：（87818.856，121301.144）

7.4 从总体中抽取一个的简单随机样本，得到，。

（1）构建的90%的置信区间。

（2）构建的95%的置信区间。

（3）构建的99%的置信区间。

解；由题意知, ,.

（1）置信水平为，则.

由公式

即

则置信区间为79.026~82.974

（2）置信水平为，

由公式得=81

即81=（78.648，83.352），

则的95%的置信区间为78.648~83.352

（3）置信水平为，则.

由公式=

即

则置信区间为

7.5 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

（1），，，置信水平为95%。

（2），，，置信水平为98%。

（3），，，置信水平为90%。

⑴置信水平为95%

解：

置信下限：

置信上限：

⑵

解：

置信下限：

置信上限：

⑶=3.419,s=0.974,n=32,置信水平为90%

根据t=0.1，查t 分布表可得.

所以该总体的置信区间为

（=3.4190.283

即3.4190.283=（3.136 ，3.702）

所以该总体的置信区间为3.136~3.702.

7.6 利用下面的信息，构建总体均值的置信区间。

（1）总体服从正态分布，且已知，，，置信水平为95%。

（2）总体不服从正态分布，且已知，，，置信水平为95%。

（3）总体不服从正态分布，未知，，，，置信水平为90%。

（4）总体不服从正态分布，未知，，，，置信水平为99%。

（1）解：已知，，，1-%，

所以总体均值的置信区间为（8647，9153）

（2）解：已知，，，1-%，

所以总体均值的置信区间为（8734，9066）

（3）解：已知，，s=500,由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差

∵置信水平1—=90% ∴

∴置信区间为

所以总体均值的置信区间为（8761，9039）

（4）解：已知，，，由于总体方差未知，但为大样本，可用样本方差来代替总体方差

置信水平1—α=99% ∴

∴置信区间为

所以总体均值的置信区间为（8682，9118）

7.7 某大学为了解学生每天上网的时间，在全校7500名学生中采取不重复抽样方法随机抽

取36人，调查他们每天上网的时间，得到的数据见Book7.7（单位：h）。求该校大学生平均上网时间的置信区间，置信水平分别为90%、95%和99%。

解：已知：n=36

1.当置信水平为90%时，，

所以置信区间为（2.88，3.76）

2.当置信水平为95%时，，

所以置信区间为（2.80，3.84）

3.当置信水平为99%时，，

所以置信区间为（2.63，4.01）

7.8 从一个正态总体中随机抽取样本量为8的样本，各样本值见Book7.8。求总体均值95%

的置信区间。

已知：总体服从正态分布，但未知，n=8为小样本，，

根据样本数据计算得：

总体均值的95%的置信区间为：，即（7.11，12.89）。

7.9 某居民小区为研究职工上班从家里到单位的距离，抽取了由16个人组成的一个随机样

本，他们到单位的距离（单位：km）数据见Book7.9。求职工上班从家里到单位平均距离95%的置信区间。

已知：总体服从正态分布，但未知，n=16为小样本，=0.05，

根据样本数据计算可得：，s=4.113

从家里到单位平均距离得95%的置信区间为：

，

即（7.18，11.57）。

7.10 从一批零件中随机抽取36个，测得其平均长度为149.5cm，标准差为1.93cm。

（1）试确定该种零件平均长度95%的置信区间。

（2）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。

解：已知n=36, =149.5,置信水平为1-=95%，查标准正态分布表得=1.96.

根据公式得：

=149.5 1.96

即149.5 1.96=（148.9，150.1）

答：该零件平均长度95%的置信区间为148.9~150.1

（3）在上面的估计中，你使用了统计中的哪一个重要定理？请简要解释这一定理。

答：中心极限定理论证。如果总体变量存在有限的平均数和方差，那么，不论这个总体的分布如何，随着样本容量的增加，样本均值的分布便趋近正态分布。在现实生活中，一个随机变量服从正态分布未必很多，但是多个随即变量和的分布趋于正态分布则是普遍存在的。样本均值也是一种随机变量和的分布，因此在样本容量充分大的条件下，样本均值也趋近正态分布，这位抽样误差的概率估计理论提供了理论基础。