第8章自回归条件异方差模型讲解

有两个可供选择的方差方程的描述可以帮助解释这个模
型：
1 ．如果用条件方差的滞后递归地替代（ 9.1.6 ）式的右
端，就可以将条件方差表示为滞后残差平方的加权平均：
t2 j 1ut2 j . 1 j 1
（9.1.9）
可以看到 GARCH(1,1) 方差说明与样本方差类似，但是，
也就是，ut 遵循以0为均值，(0+ 1u2t-1 )为方差的正态分布。 由于(9.1.2)中ut的方差依赖于前期的平方扰动项，我们称它 为ARCH(1)过程：
var( ut ) 0 u
2 t
2 1 t 1
然而，容易加以推广。
例如，一个ARCH (p)过程可以写为：
0 u u
（一） ARCH模型
为了说得更具体，让我们回到k -变量回归模型：
yt 0 1 x1 t k xk t ut
(9.1.1)
并假设在时刻 ( t1 ) 所有信息已知的条件下，扰动项 ut 的 分布是：
ut
~
N 0 , ( 0 1ut21 )


(9.1.2)
本章内容：
一、自回归条件异方差模型 二、在EViews中估计ARCH模型 三、 ARCH的估计结果 四、ARCH模型的视图与过程 五、非对称ARCH模型 六、成分ARCH模型(Component ARCH Model)
一、自回归条件异方差模型
自 回 归 条 件 异 方 差 (Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model， ARCH)模型是特别用来建立条件 方差模型并对其进行预测的。 ARCH 模型是 1982年由恩格尔 (Engle, R.) 提出，并由博 勒斯莱文(Bollerslev, T., 1986)发展成为GARCH (Generalized ARCH)——广义自回归条件异方差。这些模型被广泛的应用
ˆ0 ˆ1u ˆ 2u ˆ pu ˆt2 ˆt21 ˆt22 ˆt2 p （9.1.4） u
其中，û t 表示从原始回归模型（9.1.1）估计得到的OLS残差。
（二）GARCH(1, 1)模型
常常有理由认为 ut 的方差依赖于很多时刻之前的变化
量（特别是在金融领域，采用日数据或周数据的应用更是如
冲击持久性的自回归的根是 加 的和。在很多情况下，这 个根非常接近1，所以冲击会逐渐减弱。
（三）方差方程的回归因子 方程 (6.1.6) 可以扩展成包含外生的或前定回归因子 z 的 方差方程：
u zt
2 t 2 t 1 2 t 1
（9.1.11）
注意到从这个模型中得到的预测方差不能保证是正的。
q
2 t q
这种类型的模型（其中期望风险用条件方差表示）就称为 GARCH-M模型。
二、在EViews中估计ARCH模型
估计GARCH和
ARCH模型，首先
选择Quick/Estimate Equation或Object/ New Object/ Equation，然后在 Method的下拉菜单 中选择ARCH，得
其中：xt是1×(k+1)维外生变量向量， 是(k+1)×1维系数向 量。 (9.1.5)中给出的均值方程是一个带有误差项的外生变量
函数。由于t2是以前面信息为基础的一期向前预测方差 ，所
以它被称作条件方差。
(6.1.6)中给出的条件方差方程是下面三项的函数： 1．常数项（均值）： 2．用均值方程(6.1.5)的残差平方的滞后来度量从前 期得到的波动性的信息： ut2-1（ARCH项）。 3．上一期的预测方差：
dasticity
model ，简记为 GARCH 模型 ) 。在 GARCH 模型中，要考虑 两个不同的设定：一个是条件均值，另一个是条件方差。
在标准化的GARCH(1,1)模型中：
yt xt γ ut
(9.1.5)
2 t 1
u
2 t 2 t 1
(9.1.6)
（二）方差方程
EViews5的选择模型类型列表
（1）在model下拉框中可以选择所要估计的ARCH模
型的类型，需要注意，EViews5中的模型设定下拉菜单中
的PARCH模型是EViews5中新增的模型，在EViews4.0中， 并没有这个选项，而是直接将几种类型列在对话框中。
（3）在Variance栏中，可以根据需要列出包含在方差方
可以引入到这样一些形式的回归算子，它们总是正的，从
而将产生负的预测值的可能性降到最小。例如，我们可以 要求：
z t xt
（9.1.12）
GARCH(p, q)模型
高阶GARCH模型可以通过选择大于1的p或q得到估计，
记作GARCH(p, q)。其方差表示为：
t2 i ut2i j t2 j .
此）。这里的问题在于，我们必须估计很多参数，而这一点 很难精确的做到。但是如果我们能够意识到方程 (6.1.3)不过 是 t2 的分布滞后模型，我们就能够用一个或两个 t2 的滞后 值代替许多ut2的滞后值，这就是广义自回归条件异方差模型
(generalized autoregressive conditional heterosce-
yt xt γ ut
2 t
（9.1.14）
ARCH-M模型的另一种不同形式是将条件方差换成条件
标准差：
yt xt γ t ut
或取对数
yt xt γ ln( ) ut
2 t
ARCH-M模型通常用于关于资产的预期收益与预期风险
紧密相关的金融领域。预期风险的估计系数是风险收益交易
的度量。例如，我们可以认为某股票指数，如上证的股票指 数的票面收益（returet）依赖于一个常数项，通货膨胀率t 以 及条件方差：
returet 1 2 t ut
2 t
u u
2 t 2 1 t 1
2 p t p
1
2 t 1
它包含了在更大滞后阶数上的，残差的加权条件方差。
2．设 vt = ut2
t2。用其替代方差方程（9.1.6）中的方
差并整理，得到关于平方误差的模型：
u u
2 t
2 t 1
ห้องสมุดไป่ตู้
vt vt 1.
（9.1.10）
因此，平方误差服从一个异方差ARMA(1, 1)过程。决定波动
程中的外生变量。由于EViews在进行方差回归时总会包含一
个常数项作为解释变量，所以不必在变量表中列出C。 （2）设定了模型形式以后，就可以选择ARCH项和
GARCH项的阶数。缺省的形式为包含一阶ARCH项和一阶
GARCH项的模型，这是现在最普遍的设定。如果要估计一 个非对称的模型，就应该在Threshold编辑栏中输入非对称 项的数目，缺省的设置是不估计非对称的模型，即该选项的 个数为0。仍需注意的是，这个Threshold编辑栏也是 EViews5新增的选项，即EViews5可以估计含有多个非对称 项的非对称模型。在EViews4.0中，并没有这个选项，非对 称模型中的非对称项只能有1项。
i 1 j 1
q
p
（9.1.13）
这里，p是GARCH项的阶数，q是ARCH项的阶数。
（四）ARCH-M模型 金融理论表明具有较高可观测到的风险的资产可以获得 更高的平均收益，其原因在于人们一般认为金融资产的收益 应当与其风险成正比，风险越大，预期的收益就越高。这种 利用条件方差表示预期风险的模型被称为 ARCH 均值模型 (ARCH-in-mean) 或 ARCH-M 回归模型。在 ARCH-M 中把条 件方差引进到均值方程中:
于经济学的各个领域。尤其在金融时间序列分析中。
按照通常的想法，自相关的问题是时间序列数据所特有， 而异方差性是横截面数据的特点。但在时间序列数据中，会
不会出现异方差呢？会是怎样出现的？
恩格尔和克拉格（Kraft, D., 1983）在分析宏观数据时，发现这样一些 现象：时间序列模型中的扰动方差稳定性比通常假设的要差。恩格尔的结 论说明在分析通货膨胀模型时，大的及小的预测误差会大量出现，表明存 在一种异方差，其中预测误差的方差取决于后续扰动项的大小。 从事于股票价格、通货膨胀率、外汇汇率等金融时间序列预测的研究 工作者，曾发现他们对这些变量的预测能力随时期的不同而有相当大的变 化。预测的误差在某一时期里相对地小，而在某一时期里则相对地大，然 后，在另一时期又是较小的。这种变异很可能由于金融市场的波动性易受 谣言、政局变动、政府货币与财政政策变化等等的影响。从而说明预测误 差的方差中有某种相关性。 为了刻画这种相关性，恩格尔提出自回归条件异方差（ARCH）模型。 ARCH的主要思想是时刻 t 的ut 的方差（= t2 ）依赖于时刻(t 1)的残差平 方的大小，即依赖于 ut2- 1 。
t2-1 （GARCH项）。
GARCH(1,1)模型中的(1,1)是指阶数为1的GARCH项
（括号中的第一项）和阶数为1的ARCH项（括号中的第
二项）。一个普通的ARCH模型是GARCH模型的一个特 例，即在条件方差方程中不存在滞后预测方差 t2的说明。
在EViews中ARCH模型是在误差是条件正态分布的假定下， 通过极大似然函数方法估计的。例如，对于GARCH(1,1)，t 时期 的对数似然函数为：
2 t 2 1 t 1
2 2 t 2
u
2 p t p
（9.1.3）
如果扰动项方差中没有自相关，就会有
H0 ： var( u 这时
2 ) 0 t
1 2 p 0
恩格尔曾表明，容易通过以下的回归去检验上述虚拟假
从而得到误差方差的同方差性情形。 设：
到如下的对话框。
(EViews4.0)的对话框
(EViews5)的对话框
与选择估计方法和样本一样，需要指定均值方程和方差 方程。
（一）均值方程
在因变量编辑栏中输入均值方程形式，均值方程的形式可 以用回归列表形式列出因变量及解释变量。如果方程包含常 数，可在列表中加入C。如果需要一个更复杂的均值方程，可 以用公式的形式输入均值方程。 如果解释变量的表达式中含有 ARCH—M 项，就需要点 击对话框右上方对应的按钮。EViews4.0中，只有3个选项： 1.选项None表示方程中不含有ARCH−M项； 2.选项Std.Dev.表示在方程中加入条件标准差； 3.选项Variance则表示在方程中含有条件方差 2。 而 EViews5 中的 ARCH-M 的下拉框中，除了这三个选项 外，还添加了一个新的选项：Log(Var)，它表示在均值方程中 加入条件方差的对数ln( 2)作为解释变量。
第八章
条件异方差模型
本章讨论的重要工具具有与以往不同的目的 ——建立变量的条件 方差或变量波动性模型。 建模并预测其变动性通常有如下几个原因 : 首先，我们可能要分 析持有某项资产的风险；其次，预测置信区间可能是时变性的，所以 可以通过建立残差方差模型得到更精确的区间；第三，如果误差的异 方差是能适当控制的，我们就能得到更有效的估计。
其中
2 t
1 1 1 2 lt log( 2 π) log t ( yt xt γ ) 2 / t2 2 2 2
2 2 t 1
(9.1.7)
2 t 1
( yt 1 xt 1γ )
u
2 t 1

(9.1.8)
这个说明通常可以在金融领域得到解释，因为代理商或贸易 商可以通过建立长期均值的加权平均（常数），上期的预期方差 （ GARCH 项 ） 和 在 以 前 各 期 中 观 测 到 的 关 于 变 动 性 的 信 息 （ARCH项）来预测本期的方差。如果上升或下降的资产收益出 乎意料地大，那么贸易商将会增加对下期方差的预期。这个模型 还包括了经常可以在财务收益数据中看到的变动组，在这些数据 中，收益的巨大变化可能伴随着更进一步的巨大变化。