有限元分析——平面问题
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根据虚位移原理，可得移置到节点后的载荷 Re=NTP
Y
3
R3Y R3X P Px R2Y 2
R1Y
Py R1X
此处的N为载荷作用点的形函数值。 虚功原理如下： O
1
R2X
X
图4 集中力作用的单元
单元原载荷在虚位移上做的虚功=移置后节点载荷在相应虚位移 上做的虚功。 ⑵体力的移置 单元所受的均匀分布体力为PV=[X Y]T，则由虚功原理得
0
0
0 0 1 0 0 2 (1） 0 0 3 K 0 0 4 0 0 5
同理，对于单元②，有
( 2) F1( 2 ) K11 0 0 F ( 2) ( 2) 3( 2 ) K 31 ( 2) F4 K 41 0 0 ( 2) 0 K13 0 0 ( 2) 0 K 33 ( 2) 0 K 43 0 0 ( 2) K14 0 1 0 0 2 ( 2) ( 2) K 34 0 3 K ( 2) K 44 0 4 0 0 5
(1) (2) K13 K13 (1) (3) K 23 K 23 (1) (2) (3) (4) K 33 K 33 K 33 K 33 (2) (4) K 43 K 43 (3) (4) K 53 K 53 (2) K14 0 (2) (4) K 34 K 34 (2) (4) K 44 K 44 (4) K 54
结构的刚体位移，再求解整体刚度方程获得节点位移的位移解。下面介绍边界
条件处理与计算结果整理。
⑴对角元素置1法
下面以一个只有四个方程的简单例子加以说明，方程如下：
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K11 K 21 K 31 K 41
K12 K 22 K 32 K 42
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根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1 1 E 1 1 D= 1 1 2 1 0 0
而平面应力问题的弹性矩阵为
0 1 2 21 0
2、平面应变问题 满足以下两个条件的弹性力学问题为平面应变问题。 (1)结构是长柱体，横截面沿长度方向不变； （2）载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布、两端不受力。 结论：结构不能发生沿Z轴方向的位移，则有 ω=0 μ=μ(x,y) ν=ν(x,y) O X t Z
Y
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图2 平面应变问题
0 1 0 2 ( 4) 3 K ( 4 ) K 35 ( 4) K 45 4 ( 4) K 55 5
整体节点载荷列阵为
F1 F1(1) F1( 2) 0 0 ( 3) F (1) F 0 2 2 F2 0 F F3 F3(1) F3( 2) F3(3) F3( 4 ) ( 2) ( 4) F4 0 F4 0 F4 ( 4) F5(3) F5 F5 0 0
2， 2
3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
u ( x, y) e N （ x , y ） q v( x, y)
其中形函数矩阵为
N1 0 N 2 0 N 3 0 N= 0 N 0 N 0 N 其中 3 1 2 1 Ni= 2 A (ɑi +bix + ciy) ，i=1、2、3。
对于单元③，有
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0 0 0 0 0 0 ( 3) 1 ( 3) （3） （3） F2 0 K 22 K 0 K 23 25 2 F ( 3) ( 3) （ 3 ） （ 3 ） （ 3 ） 3 0 K 32 K 33 0 K 35 3 K 0 0 0 0 4 0 0 ( 3) （3） （3） （3） F5 K K 0 K 0 5 52 53 55
1 E μ D= 2 1-μ 0
μ 1 0
0 0 1-μ 2
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二、平面问题有限元法
1、结构离散 结构离散化过程：
连续体结构
平面问题用 二维区域表 示
离 散
有限单元的结合体
可用不同形状 的单元，此处 用三角形单元
代替原连续体
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整体刚度矩阵为
K K (1) K (2) K (3) K (4) K11 K12 K 21 K 22 K 31 K 32 K 41 K 42 K 51 K 52 (1) (2) K11 K11 (1) K 21 (1) (2) K 31 K 31 (2) K 41 0 K13 K 23 K 33 K 43 K 53 K14 K 24 K 34 K 44 K 54 K15 K 25 K 35 K 45 K 55
⑵单元的应变与应力 单元应变 ε=B qe 式中应变矩阵B为
b1 0 b2 1 0 c1 0 B= 2A c1 b1 c2 0 c2 b2 b3 0 c3 0 c3 b3
节点位移列阵qe
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qe=[u1 v1 u2 v2 u3 v3]T
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Y
ν1
ν3 节点3(x3,y3) μ3
μ1 节点1(x1,y1)
ν2 μ2 节点2(x2,y2)
O
图3 三节点三角形单元
X
1 1 u2 α2 = 2A 1 u3
1 u1
y1 y2 y3
1 1 x2 α3= 2A 1 x3
1 x1
u1 u2 u3
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α4= 2 A(ɑ1ν1+ɑ2ν2+ɑ3ν3)
(1) K12 (1) K 22 (1) K 32
(1) 1 K13 (1) K 23 2 (1) K 33 3
为了便于组装整体刚度矩阵，将上式以整体节点位移表示，即
(1) F1(1) K11 F (1) K (1) 2(1) 21 (1) F3 K 31 0 0 0 0 (1) K12 (1) K 22 (1) K 32 0 (1) K13 (1) K 23 (1) K 33 0
T T T T T {1T 2 3 4 5 }
4
④ 3
5
其中： iT
{i i }, (i 1、 25）
1
②
①
③
2
对每个单元写出相应的单元刚度方程，对于 ①号单元，有
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o
图5 四个单元的模型 技术中心
x
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(1) F1(1) K11 (1) (1) F2 K 21 (1) F3(1) K 31
τZX
z= + t/2 =0
O Z
图1 平面应力问题
t
X
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整 个板内各点都有
σZ=0
τYZ=0
τZX=0
Байду номын сангаас
根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T d=[μ ν]T 它们仅为x、y的函数而与z无关。
(1) K12 (1) (3) K 22 K 22 (1) (3) K 32 K 32 0 (3) K 52
0 (3) K 25 (3) (4) K 35 K 35 (4) K 45 (3) (4) K 55 K 55
5、边界条件处理
求解
整体刚度矩阵是奇异的，必须在整体刚度方程中引进位移边界条件，消除整体
对于单元④，有
0 0 0 0 ( 4) F3 0 ( 4) F4 0 ( 4) F5 0 0 0 0 0 ( 4) K 34
( 4) K 44 ( 4) K 54
0 0 ( 4) 0 K 33
( 4) 0 K 43 ( 4) 0 K 53
平面问题的有限元法
主讲人：杨红林
2014.09.16
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技术中心
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目录
一、平面问题的定义
二、平面问题有限元法
1、结构离散 2、三角形单元分析 3、整体分析 总体刚度矩阵 4、非节点载荷移置 5、边界条件处理 求解
1、平面应力问题 2、平面应变问题
三、简单算例
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1 α5= 2 A (b1v1+b2v2+b3v3)
1
α6= 2 A (c1v1+c2v2+c3v3) 其中
1
1 A= 1 x2 2 1 x3
1 x1
y1 y2 y3
x2 ɑ1= x 3
y2 y3
(1,2,3)
1 y2 b1=1 y3
1 c1= 1 x2 x3
上式表示下标轮换，即1
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T Re= N PV tdxdy
⑶面力的移置 在单元的边上分布有单位面积上的面力PS=[
T Re= s N Ps tds
X
T Y ] ，则由虚功原理得
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4、整体分析
整体刚度矩阵
整体刚度矩阵组装的基本步骤： 先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。 不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为 y
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一、平面问题的定义
1、平面应力问题 平面应力问题满足以下两个条件。 (1)几何条件 结构是一很薄的等厚度薄板； (2)载荷条件 作用于薄板上的载荷平行于板平面、沿厚度方向均匀分布，而在 两板面上无外力作用。 Y 结论：板面不受力，则有 σZ Z= + t/2 =0 τYZ Z= + t/2 =0
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2、三角形单元分析 ⑴单元位移模式 形函数 根据位移函数选择方法，三节点三角形单元的位移函数 μ=μ(x,y)=α1+α2x+α3y ν=ν(x,y)=α4+α5x+α6y 将三个节点的位移代入，整理得
1 α1 = u2 2A u3 u1 x1 x2 x3 y1 y2 y3
单元应力
σ=Dε=DBqe
⑶单元分析 单元刚度矩阵 根据虚位移原理，可得单元刚度方程 Fe=Keqe 其中单元刚度矩阵为
T Ke= A B DBtdxdy
对于三节点等厚三角形单元，B、D均为常数矩阵，则单元刚度矩阵可表示为 Ke=BTDBtA 3、非节点载荷移置 有限元模型是一组仅在节点连接、仅靠节点传力、仅受节点载荷、仅在节点处 受约束的单元组合体。只有节点是可以承受载荷与约束的。 ⑴集中力的移置 单元内任意一点作用集中力 P=[Px Py]T
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根据虚位移原理，可得移置到节点后的载荷 Re=NTP
Y
3
R3Y R3X P Px R2Y 2
R1Y
Py R1X
此处的N为载荷作用点的形函数值。 虚功原理如下： O
1
R2X
X
图4 集中力作用的单元
单元原载荷在虚位移上做的虚功=移置后节点载荷在相应虚位移 上做的虚功。 ⑵体力的移置 单元所受的均匀分布体力为PV=[X Y]T，则由虚功原理得
0
0
0 0 1 0 0 2 (1） 0 0 3 K 0 0 4 0 0 5
同理，对于单元②，有
( 2) F1( 2 ) K11 0 0 F ( 2) ( 2) 3( 2 ) K 31 ( 2) F4 K 41 0 0 ( 2) 0 K13 0 0 ( 2) 0 K 33 ( 2) 0 K 43 0 0 ( 2) K14 0 1 0 0 2 ( 2) ( 2) K 34 0 3 K ( 2) K 44 0 4 0 0 5
(1) (2) K13 K13 (1) (3) K 23 K 23 (1) (2) (3) (4) K 33 K 33 K 33 K 33 (2) (4) K 43 K 43 (3) (4) K 53 K 53 (2) K14 0 (2) (4) K 34 K 34 (2) (4) K 44 K 44 (4) K 54
结构的刚体位移，再求解整体刚度方程获得节点位移的位移解。下面介绍边界
条件处理与计算结果整理。
⑴对角元素置1法
下面以一个只有四个方程的简单例子加以说明，方程如下：
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根据几何方程、物理方程可得，描述平面应变问题的独立变量也是八个，且与 平面应力问题的一样。只是弹性矩阵变为
1 1 E 1 1 D= 1 1 2 1 0 0
而平面应力问题的弹性矩阵为
0 1 2 21 0
2、平面应变问题 满足以下两个条件的弹性力学问题为平面应变问题。 (1)结构是长柱体，横截面沿长度方向不变； （2）载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布、两端不受力。 结论：结构不能发生沿Z轴方向的位移，则有 ω=0 μ=μ(x,y) ν=ν(x,y) O X t Z
Y
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图2 平面应变问题
0 1 0 2 ( 4) 3 K ( 4 ) K 35 ( 4) K 45 4 ( 4) K 55 5
整体节点载荷列阵为
F1 F1(1) F1( 2) 0 0 ( 3) F (1) F 0 2 2 F2 0 F F3 F3(1) F3( 2) F3(3) F3( 4 ) ( 2) ( 4) F4 0 F4 0 F4 ( 4) F5(3) F5 F5 0 0
2， 2
3，3 1同时更换。
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重写位移函数，并以节点位移的形式进行表达，有
u ( x, y) e N （ x , y ） q v( x, y)
其中形函数矩阵为
N1 0 N 2 0 N 3 0 N= 0 N 0 N 0 N 其中 3 1 2 1 Ni= 2 A (ɑi +bix + ciy) ，i=1、2、3。
对于单元③，有
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0 0 0 0 0 0 ( 3) 1 ( 3) （3） （3） F2 0 K 22 K 0 K 23 25 2 F ( 3) ( 3) （ 3 ） （ 3 ） （ 3 ） 3 0 K 32 K 33 0 K 35 3 K 0 0 0 0 4 0 0 ( 3) （3） （3） （3） F5 K K 0 K 0 5 52 53 55
1 E μ D= 2 1-μ 0
μ 1 0
0 0 1-μ 2
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二、平面问题有限元法
1、结构离散 结构离散化过程：
连续体结构
平面问题用 二维区域表 示
离 散
有限单元的结合体
可用不同形状 的单元，此处 用三角形单元
代替原连续体
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整体刚度矩阵为
K K (1) K (2) K (3) K (4) K11 K12 K 21 K 22 K 31 K 32 K 41 K 42 K 51 K 52 (1) (2) K11 K11 (1) K 21 (1) (2) K 31 K 31 (2) K 41 0 K13 K 23 K 33 K 43 K 53 K14 K 24 K 34 K 44 K 54 K15 K 25 K 35 K 45 K 55
⑵单元的应变与应力 单元应变 ε=B qe 式中应变矩阵B为
b1 0 b2 1 0 c1 0 B= 2A c1 b1 c2 0 c2 b2 b3 0 c3 0 c3 b3
节点位移列阵qe
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qe=[u1 v1 u2 v2 u3 v3]T
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ν1
ν3 节点3(x3,y3) μ3
μ1 节点1(x1,y1)
ν2 μ2 节点2(x2,y2)
O
图3 三节点三角形单元
X
1 1 u2 α2 = 2A 1 u3
1 u1
y1 y2 y3
1 1 x2 α3= 2A 1 x3
1 x1
u1 u2 u3
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α4= 2 A(ɑ1ν1+ɑ2ν2+ɑ3ν3)
(1) K12 (1) K 22 (1) K 32
(1) 1 K13 (1) K 23 2 (1) K 33 3
为了便于组装整体刚度矩阵，将上式以整体节点位移表示，即
(1) F1(1) K11 F (1) K (1) 2(1) 21 (1) F3 K 31 0 0 0 0 (1) K12 (1) K 22 (1) K 32 0 (1) K13 (1) K 23 (1) K 33 0
T T T T T {1T 2 3 4 5 }
4
④ 3
5
其中： iT
{i i }, (i 1、 25）
1
②
①
③
2
对每个单元写出相应的单元刚度方程，对于 ①号单元，有
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o
图5 四个单元的模型 技术中心
x
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(1) F1(1) K11 (1) (1) F2 K 21 (1) F3(1) K 31
τZX
z= + t/2 =0
O Z
图1 平面应力问题
t
X
因板很薄，载荷又不沿厚度变化，应力沿板 的厚度方向是连续分布的，可以认为，在整 个板内各点都有
σZ=0
τYZ=0
τZX=0
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根据剪应力的互等性、物理方程，可得描述平面应力问题的八个独立的基本变量 为
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σ=[σX σY τXY]T ε=[εX εY γXY]T d=[μ ν]T 它们仅为x、y的函数而与z无关。
(1) K12 (1) (3) K 22 K 22 (1) (3) K 32 K 32 0 (3) K 52
0 (3) K 25 (3) (4) K 35 K 35 (4) K 45 (3) (4) K 55 K 55
5、边界条件处理
求解
整体刚度矩阵是奇异的，必须在整体刚度方程中引进位移边界条件，消除整体
对于单元④，有
0 0 0 0 ( 4) F3 0 ( 4) F4 0 ( 4) F5 0 0 0 0 0 ( 4) K 34
( 4) K 44 ( 4) K 54
0 0 ( 4) 0 K 33
( 4) 0 K 43 ( 4) 0 K 53
平面问题的有限元法
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一、平面问题的定义
二、平面问题有限元法
1、结构离散 2、三角形单元分析 3、整体分析 总体刚度矩阵 4、非节点载荷移置 5、边界条件处理 求解
1、平面应力问题 2、平面应变问题
三、简单算例
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1 α5= 2 A (b1v1+b2v2+b3v3)
1
α6= 2 A (c1v1+c2v2+c3v3) 其中
1
1 A= 1 x2 2 1 x3
1 x1
y1 y2 y3
x2 ɑ1= x 3
y2 y3
(1,2,3)
1 y2 b1=1 y3
1 c1= 1 x2 x3
上式表示下标轮换，即1
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⑶面力的移置 在单元的边上分布有单位面积上的面力PS=[
T Re= s N Ps tds
X
T Y ] ，则由虚功原理得
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4、整体分析
整体刚度矩阵
整体刚度矩阵组装的基本步骤： 先求出各个单元的单元刚度矩阵； 将单元刚度矩阵中的每个子块放在整体刚度矩阵中的对应位置上，得到单 元的扩大刚度矩阵； 将全部单元的扩大矩阵相加得到整体刚度矩阵。 不失一般性，仅考虑模型中有四个单元，如图所示，四个单元的整体节点位 移列阵为 y
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1、平面应力问题 平面应力问题满足以下两个条件。 (1)几何条件 结构是一很薄的等厚度薄板； (2)载荷条件 作用于薄板上的载荷平行于板平面、沿厚度方向均匀分布，而在 两板面上无外力作用。 Y 结论：板面不受力，则有 σZ Z= + t/2 =0 τYZ Z= + t/2 =0
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2、三角形单元分析 ⑴单元位移模式 形函数 根据位移函数选择方法，三节点三角形单元的位移函数 μ=μ(x,y)=α1+α2x+α3y ν=ν(x,y)=α4+α5x+α6y 将三个节点的位移代入，整理得
1 α1 = u2 2A u3 u1 x1 x2 x3 y1 y2 y3
单元应力
σ=Dε=DBqe
⑶单元分析 单元刚度矩阵 根据虚位移原理，可得单元刚度方程 Fe=Keqe 其中单元刚度矩阵为
T Ke= A B DBtdxdy
对于三节点等厚三角形单元，B、D均为常数矩阵，则单元刚度矩阵可表示为 Ke=BTDBtA 3、非节点载荷移置 有限元模型是一组仅在节点连接、仅靠节点传力、仅受节点载荷、仅在节点处 受约束的单元组合体。只有节点是可以承受载荷与约束的。 ⑴集中力的移置 单元内任意一点作用集中力 P=[Px Py]T