方法最全的数列求和课件
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∵ b2, b3 ? 4q,b4 成等差数列， b1 ? 2. 所以 2(b3 ? 4q) ? b2 ? b4 ，
即 q2 ? 2q ? 3 ? 0 ，因为 q ? 0,? q ? 3.
? ? ?q ? 3
∴
? ?
b1
?
2，∴数列
bn
的通项公式为： bn ? 2 ?3n?1
(Ⅱ）∵ cn
?
3 ?an
数列的求和
献给玉潭中学最棒的你
一.公式法：
①等差数列的前 n项和公式：
Sn
?
n(a1 ? 2
an )
?
na1
?
n(n ? 1)d 2
②等比数列的前 n项和公式
? na1(q ? 1)
Sn
?
? ?
a1 (1?
qn
)
? ?
1? q
?
a1 ? anq (q 1? q
?
1)
分组求和法
项的特征 cn=an+bn
（2）设 cn
?
3(an
? 3) ?bn 4
，记数列 ?cn ?的前 n 项和为 Tn ，求Tn .
解（Ⅰ）当 n=1 时， a1 ? S1 ? 5 ．
当 n≥2 时， an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? 4n ? ?n ? 1?2 ? 4 ?n ? 1?? 2n ? 3
验证 n ? 1 ? ? 时也成立．∴数列 an 的通项公式为： an ? 2n ? 3 ，
是各项均不为0的等差数列，通常用裂项
相消法，即利用 anacn＋1＝dc???a1n－an1＋1???
(其中d＝an＋1－an)．
常见的拆项公式有：
1.
1
11 ??
n(n ? 1) n n ? 1
2. 1 ? 1 (1 ? 1 ) n(n ? k) k n n ? k
3.
1源自文库
? 1( 1 ? 1 )
(2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
4. 1 ? 1 ( a ? b) a? b a?b
5.
1
n ( n ? 1)( n ?
2)
?
1 2
[n
1 (n ?
1)
?
1 ( n ? 1)( n ?
] 2)
错位相减法：
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法.
(Ⅰ)求数列 ?an?的通项公式.
(Ⅱ)设
bn
?
log 3
a1
?
log 3
a2
?
...... ?
log 3
an ,
求数列
? ? ?
1 bn
? ? ?
的前
n
项和.
（Ⅰ）设数列 {an}的公比为 q，由 a32 ? 9a2a6
得 a33
?
9a42 所以 q2
?
1 9
。
1 由条件可知 an > 0 ，故 q ? 3
a2 ? 4 ， d ? a2 ? a1 ? 2
2分
数列 ?an ?的通项公式为： an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n
数列 ?an ?的前 n 项和为： Sn
?
n(a1 ? 2
an )
?
n(2 ? 2n) 2
?
n(n ? 1)
1
1 1 1 111
1
(Ⅱ)
?
?? ? ? ? ? ?
({a n }、{b n }为等差或等比数列。）
反思与小结：
要善于从通项公式中看本质：一个等差 {2n} ＋一 个等比{2n} ，另外要特别观察通项公式，如果通项公 式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规 律解题 .
探究二：
? ? 已知等差数列 ?an?的前 n 项和为 Sn n ? N * , a3 ? 5, S10 ? 100, .
（Ⅰ）求数列 ?an ? 的通项公式； （Ⅱ）设 bn ? 3an ? 2n ，求数列?bn?的前 n 项和为 Tn.
1、看通项，是什么数列，用哪个公式； 2、注意项数 3、注意公比
解： （Ⅰ）设等差数列 {an}的公差为 d，
a1＋ 2d＝5，
由题意，得
10
a1＋
10×9d＝100，
2
解得 a1＝1， d＝ 2，
由 2a1
?
3a2
?
1 得 2a1
?
3a1q
?
1 ，所以 a1
?
1 3
1 故数列{an}的通项式为 an = 3n
2分 3分 5分
（Ⅱ ） bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an
? ? (1? 2 ? ... ? n)
? ? n(n ? 1)
7分
2
1
2
11
故 ??
? ? 2( ? )
bn n(n ? 1)
n n?1
1 b1
?
1 b2
?
... ?
1 bn
?
? 2 ???(1?
1) ? 2
(1 2
?
1) ? ... ? 3
(1 n
?
n
1 ?
1) ???
?
?
2n n?1
1
2n
所以数列{ } 的前 n 项和为 ?
bn
n?1
10 分
1．特别是对于
? ? ?
anacn＋1???，其中{an}
已知数列 ?an ?是等差数列，且 a1 ? 2 ， a1 ? a2 ? a3 ? 12 ． (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式及前 n 项和 S n ；
(Ⅱ)求 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 的值．
S1 S2 S3
S10
. 解：(Ⅰ)由题意知： a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? 12 ，
既{anbn}型
等差
等比
已知数列 ?an ?前项 n 和 sn ? n 2 ? 4n (n ? N *) ，数列 ?bn ?为等比数列，
首项 b1 ? 2 ，公比为 q (q ? 0) ，且满足 b 2 , b3 ? 4 q , b 4 成等差数列 .
（1）求数列 ?an ?，?bn ?的通项公式；
? 3?bn
4
?
n ?3n
∴ Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? cn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? ? n ? 3n …①
Sn n(n ? 1) n n ? 1 S1 S2 S3
S10
? (1? 1) ? ( 1 ? 1) ? (1 ? 1) ?
?
(
1
?
1 ) =1-
1
=10
2 23 34
10 11 11 11
3分 4分 6分 8分
? ? 等比数列 an 的各项均为正数，且 2a1 ? 3a2 ? 1,a32 ? 9a2a6.
3分
所以 an＝2n－1.
4分
（Ⅱ）因为 bn＝ 3an ＋2n＝ 9n ＋2n，
5分
3
所以 Tn＝b1＋b2＋…＋ bn
＝ 9 ? 92 ? ? ? 9n ＋2(1＋2＋…＋n) 3
＝ 3(9n ? 1) ＋n2＋n
8分
8
裂项求和法：
把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之 差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前 n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称为分裂通 项法 .（见到分式型的要往这种方 法联想）
即 q2 ? 2q ? 3 ? 0 ，因为 q ? 0,? q ? 3.
? ? ?q ? 3
∴
? ?
b1
?
2，∴数列
bn
的通项公式为： bn ? 2 ?3n?1
(Ⅱ）∵ cn
?
3 ?an
数列的求和
献给玉潭中学最棒的你
一.公式法：
①等差数列的前 n项和公式：
Sn
?
n(a1 ? 2
an )
?
na1
?
n(n ? 1)d 2
②等比数列的前 n项和公式
? na1(q ? 1)
Sn
?
? ?
a1 (1?
qn
)
? ?
1? q
?
a1 ? anq (q 1? q
?
1)
分组求和法
项的特征 cn=an+bn
（2）设 cn
?
3(an
? 3) ?bn 4
，记数列 ?cn ?的前 n 项和为 Tn ，求Tn .
解（Ⅰ）当 n=1 时， a1 ? S1 ? 5 ．
当 n≥2 时， an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? 4n ? ?n ? 1?2 ? 4 ?n ? 1?? 2n ? 3
验证 n ? 1 ? ? 时也成立．∴数列 an 的通项公式为： an ? 2n ? 3 ，
是各项均不为0的等差数列，通常用裂项
相消法，即利用 anacn＋1＝dc???a1n－an1＋1???
(其中d＝an＋1－an)．
常见的拆项公式有：
1.
1
11 ??
n(n ? 1) n n ? 1
2. 1 ? 1 (1 ? 1 ) n(n ? k) k n n ? k
3.
1源自文库
? 1( 1 ? 1 )
(2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1
4. 1 ? 1 ( a ? b) a? b a?b
5.
1
n ( n ? 1)( n ?
2)
?
1 2
[n
1 (n ?
1)
?
1 ( n ? 1)( n ?
] 2)
错位相减法：
如果一个数列的各项是由一 个等差数列与一个等比数列 对应项乘积组成，此时求和 可采用错位相减法.
(Ⅰ)求数列 ?an?的通项公式.
(Ⅱ)设
bn
?
log 3
a1
?
log 3
a2
?
...... ?
log 3
an ,
求数列
? ? ?
1 bn
? ? ?
的前
n
项和.
（Ⅰ）设数列 {an}的公比为 q，由 a32 ? 9a2a6
得 a33
?
9a42 所以 q2
?
1 9
。
1 由条件可知 an > 0 ，故 q ? 3
a2 ? 4 ， d ? a2 ? a1 ? 2
2分
数列 ?an ?的通项公式为： an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2 ? 2(n ? 1) ? 2n
数列 ?an ?的前 n 项和为： Sn
?
n(a1 ? 2
an )
?
n(2 ? 2n) 2
?
n(n ? 1)
1
1 1 1 111
1
(Ⅱ)
?
?? ? ? ? ? ?
({a n }、{b n }为等差或等比数列。）
反思与小结：
要善于从通项公式中看本质：一个等差 {2n} ＋一 个等比{2n} ，另外要特别观察通项公式，如果通项公 式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规 律解题 .
探究二：
? ? 已知等差数列 ?an?的前 n 项和为 Sn n ? N * , a3 ? 5, S10 ? 100, .
（Ⅰ）求数列 ?an ? 的通项公式； （Ⅱ）设 bn ? 3an ? 2n ，求数列?bn?的前 n 项和为 Tn.
1、看通项，是什么数列，用哪个公式； 2、注意项数 3、注意公比
解： （Ⅰ）设等差数列 {an}的公差为 d，
a1＋ 2d＝5，
由题意，得
10
a1＋
10×9d＝100，
2
解得 a1＝1， d＝ 2，
由 2a1
?
3a2
?
1 得 2a1
?
3a1q
?
1 ，所以 a1
?
1 3
1 故数列{an}的通项式为 an = 3n
2分 3分 5分
（Ⅱ ） bn ? log3 a1 ? log3 a2 ? ... ? log3 an
? ? (1? 2 ? ... ? n)
? ? n(n ? 1)
7分
2
1
2
11
故 ??
? ? 2( ? )
bn n(n ? 1)
n n?1
1 b1
?
1 b2
?
... ?
1 bn
?
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(1 2
?
1) ? ... ? 3
(1 n
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n
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1) ???
?
?
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1
2n
所以数列{ } 的前 n 项和为 ?
bn
n?1
10 分
1．特别是对于
? ? ?
anacn＋1???，其中{an}
已知数列 ?an ?是等差数列，且 a1 ? 2 ， a1 ? a2 ? a3 ? 12 ． (Ⅰ)求数列 ?an ?的通项公式及前 n 项和 S n ；
(Ⅱ)求 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 的值．
S1 S2 S3
S10
. 解：(Ⅰ)由题意知： a1 ? a2 ? a3 ? 3a2 ? 12 ，
既{anbn}型
等差
等比
已知数列 ?an ?前项 n 和 sn ? n 2 ? 4n (n ? N *) ，数列 ?bn ?为等比数列，
首项 b1 ? 2 ，公比为 q (q ? 0) ，且满足 b 2 , b3 ? 4 q , b 4 成等差数列 .
（1）求数列 ?an ?，?bn ?的通项公式；
? 3?bn
4
?
n ?3n
∴ Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? cn ? 1? 3 ? 2 ? 32 ? 3? 33 ? ? n ? 3n …①
Sn n(n ? 1) n n ? 1 S1 S2 S3
S10
? (1? 1) ? ( 1 ? 1) ? (1 ? 1) ?
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(
1
?
1 ) =1-
1
=10
2 23 34
10 11 11 11
3分 4分 6分 8分
? ? 等比数列 an 的各项均为正数，且 2a1 ? 3a2 ? 1,a32 ? 9a2a6.
3分
所以 an＝2n－1.
4分
（Ⅱ）因为 bn＝ 3an ＋2n＝ 9n ＋2n，
5分
3
所以 Tn＝b1＋b2＋…＋ bn
＝ 9 ? 92 ? ? ? 9n ＋2(1＋2＋…＋n) 3
＝ 3(9n ? 1) ＋n2＋n
8分
8
裂项求和法：
把数列的通项拆成两项之差，即数 列的每一项都可按此法拆成两项之 差，在求和时一些正负项相互抵消， 于是前 n项的和变成首尾若干少数 项之和，这一求和方法称为分裂通 项法 .（见到分式型的要往这种方 法联想）