第九章-重积分.

第九章

重积分

一、基础题:

1．设1

223

1()D I x y d σ=

+⎰⎰其中1{(,)|11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又 2

2232()D I x y d σ=+⎰⎰其中2{(,)|01,02}D x y x y =≤≤≤≤试利用二重积分的几何意义说

明1I 与2I 之间的关系．

解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面2

23

()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面2

23

()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积（图9-1）由于1D 位于上方的曲面2

23

()z x y =+关于yOz 面和面zOx 均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分既为2Ω．由此可知

124I I =

2．设积分区域D 由圆2

2

(2)(1)1x y -+-=所围成, 且()k

k D

I x y dxdy =+⎰⎰ (1,2,3)k =, 试

讨

论

1

I ,

2

I ,

3

I 的大小关系 .

图9-1

解 因为当(,)x y D ∈时, 13x ≤≤, 05y ≤≤, 因此,

15x y ≤+≤, 故有 231()()()x y x y x y ≤+≤+≤+由二重积分的保号性便得 1I <2I <3I ．

３．利用二重积分的性质估计下列积分的值 (1) ()D

I xy x y d σ=+⎰⎰.其中{(,)|01,01D x y x y =≤≤≤≤}；

(2) 22

(49)D

I x y d σ=

++⎰⎰

，(其中22{(,)|4}D x y x y =+≤) 解 (1) 在积分区域D 上，01,01x y ≤≤≤≤，从而0()2xy x y ≤+≤，又D 的面积等于1，因此 0()2D

xy x y d σ≤

+≤⎰⎰．

（２） 因为在积分区域D 上有2

2

4x y +≤，所以有

22229494()925x y x y ≤++≤++≤，又D 的面积等于4π，因此

22

36(49)100D

x y d πσπ≤

++≤⎰⎰ ４． 证明不等式

22

1(cos sin )D

y x d σ≤

+≤⎰⎰ 其中D ：01,x ≤≤01y ≤≤．

证 由对称性知, 22cos cos D

D

y d x d σσ=⎰⎰⎰⎰, 于是

22(cos sin )D y x d σ+⎰⎰==22

(cos sin )D

x x d σ+⎰⎰

2sin()4D x d πσ+

,

由于01,x ≤≤ 所以

2sin()124

x π

≤+≤, 因此

221(cos sin )D

y x d σ≤+≤⎰⎰

５．改换下列积分的次序:

(1)

22

20

(,)y

y

dy f x y dx ⎰

⎰； (2)

1

(,)dy f x y dx ⎰

解 所给二次积分等于二重积分

(,)D

f x y d σ⎰⎰

(1) 其中{

}

2

(,)2,02D x y y x y y =≤≤≤≤.D 可改写为

(,)04,2x x y x y ⎧≤≤≤≤⎨⎩, 因此,

22

20

(,)y y

dy f x y dx ⎰

⎰=40

2

(,)x dx f x y dy ⎰⎰．

(2)由于{

}

(,)1D x y x y =≤≤≤≤.

又D 可表示为{

}

(,)011x y y x ≤≤-≤≤,

因此，原式=1

1

(,)dx f x y dy -⎰

．

６．用直角坐标求下列二重积分:

(1)22

()D

x y d σ+⎰⎰,其中{(,)|||1,||1}D x y x y =≤≤； (2)(32)D

x y d σ+⎰⎰, 其中D 是有两坐标轴及直线2x y +=所围成的闭区域；

(3)3

23(3)D x

x y y d σ++⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤；

(4)

cos()D

x x y d σ+⎰⎰，其中D 是顶点分别为（0，0）

，（π，0）和（π，π）的三角形闭区域． 解 (1)

11

2

2

221

1

()()D

x

y d dx x y dy σ--+=+⎰⎰⎰⎰

=31

12

12

11128[](2)333

y x y dx x dx ---+=+=⎰⎰

(2) D 可用不等式表示为 02y x ≤≤-，02x ≤≤

于是

220

(32)(32)x

D

x y d dx x y dy σ-+=+⎰⎰⎰⎰

=

2

1

22200

1

20[3]

(422)3

x xy y dx x x dx --+=+-=

⎰

⎰ (3)

3

2

3

(3)D

x

x y y d σ++⎰⎰=11

3230

(3)dy x x y y dx ++⎰⎰

=41

13313

0001[]()144

x x y y x dy y y dy ++=++=⎰⎰

(4) D 可用不等式表示为: 0,0y x x π≤≤≤≤

于是00cos()cos()D

x x y d xdx x y dy ππσ+=+⎰⎰⎰⎰=01

(cos cos 2)2xd x x π-⎰