蚁群算法中约束和边界搜索的研究
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２ １ 年第 １ ０ １ Ｏ期
福 建 电
脑
９ ５
蚁群 算法 中约束 和边界 搜索的研究
袁 晓 建
（ 州 大学 福建 福 州 ３ ０ ０ 福 ５ ０ ２）
【 摘 要 】 蚁群 算 法是 一种仿 生 式算 法 ， ： 模拟 蚂蚁 寻 径过程 。尽 管蚁群算 法不像模 拟 退 火等 算法具 有 相对 坚 实的数 学基 础 ， 但从 应 用效 果 来看 ， 尤其在 离散 优化 问题具 有 一定优 势 。本 文研 究参数 变化 对蚁群 算 法的影 响进行 蚁群 优化 。 【 关键词 】 蚁群 优 化 ， 数设 置 ， 法 ： 参 算
ｗ（）ｋ ０１ 其 中下ｋ为 信 息 素痕 迹 ； ｋ为ｎ 市 的 ｋ） ＝ ，， ， …， （） ｗ（） 城
一
条弧 赋 信息 素初 值７ ． ． ） ：
Ｌ ４Ｊ
，假 设”只蚂 蚁在 工 ｚ
作 ， 有 蚂蚁都从 同一城 市 ｉ 所 出发 。 当 前 最 好 解 是
＝
个 排 列 。 多有ｎ 个状 态 。 只蚂蚁在 第ｋ 最 ！ 第ｓ 轮转移 只 由Ｔｋ １决 定 ， 个 蚂蚁 行走 的 路径 ＮＷ（— ） （一 ） 这 ｋ １一起 ， 共
Ｌｓ＃Ｎ Ｔ ｛（１∈Ａｌ Ｌｓ ｉ＝ （ ） Ｎ．＝ｔｉ） ，隹 （ 卜ｌ） Ｉ， ） 。
（ ４ ）
（） ， ＝ ＜ 若￡５＝ ， Ｌ 中城 市 的顺 序计 ４对 ＜ ｓ ＝ 『ｊⅣ 按 处 在 于都 是优 先选择 信 息 素浓度 大 的路 径 。较 短路 径 算 路 径程 度 ： ＬＳＮ等 于』 ． 径 长度 置为 一个无 穷 若 （ ） 、路 ｒ 的信 息素 浓度 高 ， 以 能够最 终 被所 有蚂 蚁选 择 ， 就 大值 （ 所 也 即不 可达 ） 。比较ｍ只蚂蚁 中的路 径长 度 ， 记走 最
同 决定 了Ｘ 再 通过信 息 素的更 新原 则可 以进 一步 得
《，， ｎ。 １２…，）
（） ２ 如果 满足算 法 的停 止规 则 ． 则停 止 计算 并输 出
计算 得 到的最 好解 。否则 使蚂 蚁ｓ 起点ｉ 从 出发 ， ＬＳ 用 （） 表 示 蚂 蚁 Ｓ 走 的 城 市 集 合 ． 始 Ｌ（）为 空 集 ， 行 初 Ｓ
（＝ 一 （ １ … … …ｆ）是 上 一 弧 七 （ｐ 七 ） … … （ 不 的 条 Ｊ ）１ 一… ， ／
２ 蚁 群 算法 的收敛 性证 明 、
０
…‘ 上 （ 的 ｌ５ 弧 ）
为正整数， 城市间的距离矩阵为 上 给ｊＪ ｐ 图中的每
Ｔ
一
蚁 群 优 化 算 法 的 每步 迭 代 对 应 随机 变量 Ｘ ＝Ｔｋ， （（）
２。
短路径的蚂蚁为 黄 肛
ｒ， Ｊ则 Ｊ
， 用 则
是 由Ｇ ｔ ｈ Ｊ ０ ０ 的Ｆ ｔｒ ｅ ｅａｉｎＣ ｍｐ ｔ ｕ ａｒ ｊ Ｗ 在２ ０ 年 ｕｕｅＧ ｎ ｒｔ ｏ ｕ． ｏ ｉｇＳ ｓ ｍ 提 出的 ｎ ｙｔ ｓ ｅ 算 法 步骤 ： （ ） 个 城 市 的 尸 ， 对ｎ 问题 ， ，， ｎ Ⅳ＝ ２…， Ａ＝
③ 当蚂蚁在城市ｉ如果满足条件 （） ， ４ 则到达ｉ ｉＬ 。。 ，。
９ ６
福 建 电
径． 义 为： 定
蝙
√∈
√ ， ＿’ Ｕ ｌ ７ ， 《
．
：０ ，
ｆ 一 １ ，＝ｌＩ ，Ｓ其 一 弧 ｃ ｛ ，ｊｒ 他 条 ； ｆ （ ） Ｗ的 Ｏ Ｗ ０
证明以概率１ 到达一个最优路径
Ｌ
至 达ｊＬｓ ＬｓＵ ｆ，＿ Ｕ ，（＝ （ ｊｉｊ ） ） ｝：
（ ） 蚂蚁 ｌ ＝ ＜ ｍ 的顺 序分 别计算 。 ３按 ＜ ｓ＝
可夫过程｛ ｐ ＝ ，２ ．依概率１ Ｘ ｋ ０１ ， ｝ ，． ． 收敛Ｎｘ 。
① 当蚂蚁在城市ｉ如果满足条件 （） ， １则完成第Ｓ 只
蚂 蚁 的计算
蚓 一 ’ ｌ ｌ ， ＜
定 理 满足指 定 条件 的马尔可 夫过 程
是 最终 的优 化结 果 两 者 的区别 在 于人 工蚁 群有 一 定 的记忆 能力 ． 能够记忆 已经访 问 过 的节点 。 同时 ， 工 公 式 （ 对 路 径上 信息 素痕 迹进行 加 强 ， 人 ） 对其 他路 径 蚁 群再 选择 下一 条路 径 的时 候是 按 一定算 法 规律 有 意 的信息 素进 行挥 发 。得到新 的 丁 Ｊ ＋ 重复 步骤 ， 后 ，， 识 地 寻找最 短路 径 ， 而不是 盲 目的。 始 的蚁群算 法是 初 基 于 图 的蚁 群 算 （ｒｐ ｂ ｓｄａ ｔ ｙｔｍ简Ｎ Ｇ Ａ ） ｇａ — ａｅ ｎ ｓ ｓ ｅ ＣＢ Ｓ。
（ ６ ）
Ｌｓ Ｎ ｛（１∈Ａ１ （ ｝ （ ＝ 或 ｌｉ） ，岳Ｌｓ ＝ ） ｌ， ）
② 当蚂蚁在城市ｉ ， 如果满足条件（ ） ２ Ｌｓ＃Ｎ￣ ＝Ｉｉ） ， Ｌｓ ｉ≠ （ ） ＪＴ ｛（１∈Ａ１ （卜Ｉ） Ｉ， ） 。
则 以概率
：
依 概率 １ 收敛 ｇｘ ＝ｆ Ｗ ， 中Ｔ 为 一 条最 优 路 ｇ Ｔ， １其
１ 引 言 、
（＝ （ Ｕ （ ｝：ｉ ｓ Ｌｓ ｉ ，＝。 ） ） ｏｉ ；
重 复步 骤３ 。
蚁 群算 法 就 是仿 造蚁 群 觅 食过 程 产生 的 ．蚁 群 算 法是 通过 构造 人工 蚂蚁 来解 决优 化 问题 人工 蚁群 中 把具 有 简单功 能 的工作 单元 看作 蚂 蚁 。二 者 的相似 之 二
１ ＝ｓ ＜ ＜＝ｍ 。
ＮＷ（） （） ｋ。Ｔｋ的变 化 仅 由ｘ 决 定 ， 与 先 前 的状 态 无 而
关， 这是 一个典 பைடு நூலகம்的马尔 可夫过 程 。
定义 ： 若一个 马尔可夫过程 ｆ ＝ ， ．）对任意 Ｘ， ０１． ， ｋ ， ．
给 定 的Ｘ （ （ ， ｋ ， ＝ ， 满 足 条 件 （ ）则 称 马 尔 Ｔｋ Ｗ（ ｋ ０１ ） ） …） ６
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蚁群 算法 中约束 和边界 搜索的研究
袁 晓 建
（ 州 大学 福建 福 州 ３ ０ ０ 福 ５ ０ ２）
【 摘 要 】 蚁群 算 法是 一种仿 生 式算 法 ， ： 模拟 蚂蚁 寻 径过程 。尽 管蚁群算 法不像模 拟 退 火等 算法具 有 相对 坚 实的数 学基 础 ， 但从 应 用效 果 来看 ， 尤其在 离散 优化 问题具 有 一定优 势 。本 文研 究参数 变化 对蚁群 算 法的影 响进行 蚁群 优化 。 【 关键词 】 蚁群 优 化 ， 数设 置 ， 法 ： 参 算
ｗ（）ｋ ０１ 其 中下ｋ为 信 息 素痕 迹 ； ｋ为ｎ 市 的 ｋ） ＝ ，， ， …， （） ｗ（） 城
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条弧 赋 信息 素初 值７ ． ． ） ：
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作 ， 有 蚂蚁都从 同一城 市 ｉ 所 出发 。 当 前 最 好 解 是
＝
个 排 列 。 多有ｎ 个状 态 。 只蚂蚁在 第ｋ 最 ！ 第ｓ 轮转移 只 由Ｔｋ １决 定 ， 个 蚂蚁 行走 的 路径 ＮＷ（— ） （一 ） 这 ｋ １一起 ， 共
Ｌｓ＃Ｎ Ｔ ｛（１∈Ａｌ Ｌｓ ｉ＝ （ ） Ｎ．＝ｔｉ） ，隹 （ 卜ｌ） Ｉ， ） 。
（ ４ ）
（） ， ＝ ＜ 若￡５＝ ， Ｌ 中城 市 的顺 序计 ４对 ＜ ｓ ＝ 『ｊⅣ 按 处 在 于都 是优 先选择 信 息 素浓度 大 的路 径 。较 短路 径 算 路 径程 度 ： ＬＳＮ等 于』 ． 径 长度 置为 一个无 穷 若 （ ） 、路 ｒ 的信 息素 浓度 高 ， 以 能够最 终 被所 有蚂 蚁选 择 ， 就 大值 （ 所 也 即不 可达 ） 。比较ｍ只蚂蚁 中的路 径长 度 ， 记走 最
同 决定 了Ｘ 再 通过信 息 素的更 新原 则可 以进 一步 得
《，， ｎ。 １２…，）
（） ２ 如果 满足算 法 的停 止规 则 ． 则停 止 计算 并输 出
计算 得 到的最 好解 。否则 使蚂 蚁ｓ 起点ｉ 从 出发 ， ＬＳ 用 （） 表 示 蚂 蚁 Ｓ 走 的 城 市 集 合 ． 始 Ｌ（）为 空 集 ， 行 初 Ｓ
（＝ 一 （ １ … … …ｆ）是 上 一 弧 七 （ｐ 七 ） … … （ 不 的 条 Ｊ ）１ 一… ， ／
２ 蚁 群 算法 的收敛 性证 明 、
０
…‘ 上 （ 的 ｌ５ 弧 ）
为正整数， 城市间的距离矩阵为 上 给ｊＪ ｐ 图中的每
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蚁 群 优 化 算 法 的 每步 迭 代 对 应 随机 变量 Ｘ ＝Ｔｋ， （（）
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短路径的蚂蚁为 黄 肛
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， 用 则
是 由Ｇ ｔ ｈ Ｊ ０ ０ 的Ｆ ｔｒ ｅ ｅａｉｎＣ ｍｐ ｔ ｕ ａｒ ｊ Ｗ 在２ ０ 年 ｕｕｅＧ ｎ ｒｔ ｏ ｕ． ｏ ｉｇＳ ｓ ｍ 提 出的 ｎ ｙｔ ｓ ｅ 算 法 步骤 ： （ ） 个 城 市 的 尸 ， 对ｎ 问题 ， ，， ｎ Ⅳ＝ ２…， Ａ＝
③ 当蚂蚁在城市ｉ如果满足条件 （） ， ４ 则到达ｉ ｉＬ 。。 ，。
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√ ， ＿’ Ｕ ｌ ７ ， 《
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：０ ，
ｆ 一 １ ，＝ｌＩ ，Ｓ其 一 弧 ｃ ｛ ，ｊｒ 他 条 ； ｆ （ ） Ｗ的 Ｏ Ｗ ０
证明以概率１ 到达一个最优路径
Ｌ
至 达ｊＬｓ ＬｓＵ ｆ，＿ Ｕ ，（＝ （ ｊｉｊ ） ） ｝：
（ ） 蚂蚁 ｌ ＝ ＜ ｍ 的顺 序分 别计算 。 ３按 ＜ ｓ＝
可夫过程｛ ｐ ＝ ，２ ．依概率１ Ｘ ｋ ０１ ， ｝ ，． ． 收敛Ｎｘ 。
① 当蚂蚁在城市ｉ如果满足条件 （） ， １则完成第Ｓ 只
蚂 蚁 的计算
蚓 一 ’ ｌ ｌ ， ＜
定 理 满足指 定 条件 的马尔可 夫过 程
是 最终 的优 化结 果 两 者 的区别 在 于人 工蚁 群有 一 定 的记忆 能力 ． 能够记忆 已经访 问 过 的节点 。 同时 ， 工 公 式 （ 对 路 径上 信息 素痕 迹进行 加 强 ， 人 ） 对其 他路 径 蚁 群再 选择 下一 条路 径 的时 候是 按 一定算 法 规律 有 意 的信息 素进 行挥 发 。得到新 的 丁 Ｊ ＋ 重复 步骤 ， 后 ，， 识 地 寻找最 短路 径 ， 而不是 盲 目的。 始 的蚁群算 法是 初 基 于 图 的蚁 群 算 （ｒｐ ｂ ｓｄａ ｔ ｙｔｍ简Ｎ Ｇ Ａ ） ｇａ — ａｅ ｎ ｓ ｓ ｅ ＣＢ Ｓ。
（ ６ ）
Ｌｓ Ｎ ｛（１∈Ａ１ （ ｝ （ ＝ 或 ｌｉ） ，岳Ｌｓ ＝ ） ｌ， ）
② 当蚂蚁在城市ｉ ， 如果满足条件（ ） ２ Ｌｓ＃Ｎ￣ ＝Ｉｉ） ， Ｌｓ ｉ≠ （ ） ＪＴ ｛（１∈Ａ１ （卜Ｉ） Ｉ， ） 。
则 以概率
：
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１ 引 言 、
（＝ （ Ｕ （ ｝：ｉ ｓ Ｌｓ ｉ ，＝。 ） ） ｏｉ ；
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蚁 群算 法 就 是仿 造蚁 群 觅 食过 程 产生 的 ．蚁 群 算 法是 通过 构造 人工 蚂蚁 来解 决优 化 问题 人工 蚁群 中 把具 有 简单功 能 的工作 单元 看作 蚂 蚁 。二 者 的相似 之 二
１ ＝ｓ ＜ ＜＝ｍ 。
ＮＷ（） （） ｋ。Ｔｋ的变 化 仅 由ｘ 决 定 ， 与 先 前 的状 态 无 而
关， 这是 一个典 பைடு நூலகம்的马尔 可夫过 程 。
定义 ： 若一个 马尔可夫过程 ｆ ＝ ， ．）对任意 Ｘ， ０１． ， ｋ ， ．
给 定 的Ｘ （ （ ， ｋ ， ＝ ， 满 足 条 件 （ ）则 称 马 尔 Ｔｋ Ｗ（ ｋ ０１ ） ） …） ６