高中数学知识讲解 曲线与方程

曲线与方程

【学习目标】

1.了解曲线与方程的对应关系；

2.进一步体会数形结合的基本思想；

3.掌握求曲线方程的基本方法（直接法），了解求曲线方程的其他方法（待定系数法、定义法、转化法、参数法等）

【学习策略】

借助于实例去体会曲线的方程和方程的曲线的意义；

理解求曲线方程的实质，求曲线方程的关键在于把曲线上任一点所满足的几何条件（或其坐标满足的条件）转化为任一点坐标满足的等量关系，要注意方程中量x （或y ）的取值范围.

【要点梳理】

要点一、曲线与方程概念的理解

一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C （看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程,0f x y =（）的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线C 上所有点的坐标都是方程,0f x y =（）的解；

（2）以方程,0f x y =（）的解为坐标的点都在曲线C 上.

那么，方程,0f x y =（）叫做曲线C 的方程；曲线C 叫做方程,0f x y =（）的曲线.

要点诠释：

（1）如果曲线C 的方程为,0f x y =（），那么点00(,)P x y 在曲线C 上的充要条件为00,0f x y =（

）； （2）曲线C 可看成是平面上满足一定条件的点的集合，而,0f x y =（）正是这一定条件的解析表示.因此我们可以用集合的符号表示曲线C ：{(,)|,0}C x y f x y ==（）.

（3）曲线C 也称为满足条件,0f x y =（）的点的轨迹.定义中的条件(1)叫轨迹纯粹性，即不满足方程

,0f x y =（）的解的点不在曲线C 上；

条件(2)叫做轨迹的完备性，即符合条件的所有点都在曲线上.“纯粹性”和“完备性”是针对曲线C 是否为满足方程,0f x y =（

）的点的轨迹而言. （4）区别轨迹和轨迹方程两个不同的概念，轨迹是“形”，轨迹方程是“数”．

要点二、坐标法与解析几何

解析几何是在坐标系的基础上，用代数的方法研究几何问题的一门数学学科.

解析几何的两个基本问题：1.根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；2.通过方程，研究平面曲线的性质.

根据曲线与方程的关系可知，曲线与方程是同一关系下的两种不同的表现形式.曲线的性质完全反映在

它的方程上，而方程的的性质也完全反映在它的曲线上，这正好说明了几何问题与代数问题可以互相转化，这就是解析几何的基本思想方法，也就是数形结合，形与数达到了完美的统一.

我们把这种借助坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法，又称解析法.

定义：

在直角坐标系中，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x ，y ）所满足的方程(,)0f x y =表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这就是坐标法.

要点三、用直接法求曲线方程的步骤

坐标法求曲线方程的一般步骤：

①建立适当的直角坐标系，并设动点P(x,y).

②写出动点P 满足的几何条件.

③把几何条件坐标化，得方程F(x, y)=0.

④化方程F(x, y)=0为最简形式，特殊情况，予以补充说明，删去增加的或者补上丢失的解。

⑤证明方程F(x, y)=0是曲线的方程。

判断点是否在曲线上的方法

把点的坐标代入曲线的方程：

点P(x 0，y 0)在曲线C ：f(x ，y)=0上00(,)0f x y ⇔=

点P(x 0，y 0)不在曲线C ：f(x ，y)=0上00(,)0f x y ⇔≠．

求两曲线f （x ，y ）=0与g （x ，y ）=0的交点坐标方法

联立f （x ，y ）=0与g （x ，y ）=0，方程组(,)0(,)0

f x y

g x y =⎧⎨

=⎩的解即为两曲线的交点坐标，解的个数为交点的个数

要点诠释：

①求曲线的方程时，首先应观察原题条件中有没有坐标系，没有坐标系时应先建立坐标系，否则曲线不能转化为方程.

②建系要适当，经常利用特殊点以及曲线的对称性，以尽可能方便写相关点坐标为基本原则，这样可使运算过程简单，所得的方程也较简单.

③根据曲线上的点适合的条件列出等式，是求方程的重要一环，在这里常用到一些基本公式.仔细审题，

分析已知条件和曲线的特征，抓住与曲线上任意点M 有关的相等关系，结合基本公式列出等式，并进行化简.

④化简前后解集没变可省略证明。但别忘记删去增加的或者补上丢失的解

要点四、求轨迹方程的常用方法：

求动点的轨迹方程既是平面解析几何中的主要问题之一，又是高考中的一个热点问题.求动点轨迹方程的方法主要有以下几种

(1)直接法；

(2)间接法；

(3)参数法．

经典例题透析

类型一：曲线与方程的概念

例1. 已知坐标满足方程,0f x y =（）的点都在曲线C 上，那么（ ）.

（A ）曲线C 上点的坐标都满足方程,0f x y =（）

（B ）坐标不满足方程,0f x y =（）的点都不在曲线C 上

（C ）不在曲线C 上的点，其坐标必不满足方程,0f x y =（）

（D ）不在曲线C 上的点，其坐标有些满足方程,0f x y =（），有些不满足方程,0f x y =（）.

【总结升华】在判定曲线的方程和方程的曲线时，两个条件缺一不可，是不可分割的整体，解答本题时，应注意不要被问题的表面现象所迷惑，应根据“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念逐一辨别其选项的真假.

举一反三：

【变式】 “曲线C 上的点的坐标都满足(,)0F x y =”是“方程(,)0F x y =是曲线C 的方程”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

例2. 已知方程22

()()36x a y b -+-=的曲线经过点O （0，0）和点A （0，－12），求a 、b 的值.

【思路点拨】若点在曲线上，则点的坐标满足曲线的方程.