【文献综述】从二次曲线到二次曲面的轨迹方程

文献综述
数学与应用数学
从二次曲线到二次曲面的轨迹方程
1. 国内外现状
二次曲线和二次曲面是解析几何中的重要组成部分，而轨迹问题则是解析几何的重点，更是难点。

解析几何,又叫坐标几何,它是用代数方法来研究几何图形和变换性质的一门科学,是17世纪初期产生出来的一个数学分科,它包括平面解析几何和空间解析几何两部分.通过在几何空间中建立坐标系,就可将空间中的点均用坐标表出,从而图形的几何性质可以表示为图形上的点的坐标之间的关系,特别是代数关系。

朱瑾《浅谈解析几何的发展及其简单应用》简单介绍了解析几何的发展以及其在生产、生活中的简单应用。

吴琦《笛卡尔与解析几何学》提出解析几何学的精髓所在,是通过引进坐标把几何曲线表示成代数方程,然后通过对方程的研究来揭示曲线的性质. 笛卡尔通过帕普斯问题的解法,表达了他的这个新思想和新方法。

康盛伟《在解析几何中求轨迹的几种常用策略》针对轨迹问题是解析几何中的重点也是难点这种情况对解析几何中求轨迹的常用方法进行了归纳和总结。

有定义法，待定系数法，直接法三种方法，并对每一种方法以例题的形式做了详细的阐述。

李伟文《巧用二次曲线的定义解题》指出数学概念在教学中的重要性。

然后指出用常规方法解题复杂,而利用二次曲线的定义来解可达到简单、 快捷的典型事例,来体现利用二次曲线的定义解题的好处。

最后指出,在数学教学中应强调数学概念、定义的理解,掌握及运用,从而使学生能锻炼思维、提高能力。

王卫生，陶成海《二次曲线与二次曲面不变量的几何特性研究》通过对二次曲线与二次曲面方程系数所构成的不变量，，， (二次曲线没有 )的几何特性的研究,给出了不变量相对1I 2I 3I 4I 4I 应的几何意义.
刘德金，司兴海《解析几何教学中应注意的几个问题》指出了解析几何常用教材、教学参考书中存在的解法不通用、应用代数条件不准确、消参数忽视等价性等几处瑕疵,相应地提出了解析几何教学中应该注意的几个问题.
2．研究方向
在平面解析几何中，除了研究有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、
双曲线）的有关性质。

在空间解析几何中，除了研究平面与直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面、椭圆面、双曲面、抛物面的有关性质。

朱瑾《浅谈解析几何的发展及其简单应用》简单介绍了解析几何的发展以及其在生产、生活中的简单应用。

吴琦《笛卡尔与解析几何学》提出解析几何学的精髓所在,是通过引进坐标把几何曲线表示成代数方程,然后通过对方程的研究来揭示曲线的性质. 笛卡尔通过帕普斯问题的解法,表达了他的这个新思想和新方法。

康盛伟《在解析几何中求轨迹的几种常用策略》针对轨迹问题是解析几何中的重点也是难点这种情况对解析几何中求轨迹的常用方法进行了归纳和总结。

有定义法，待定系数法，直接法三种方法，并对每一种方法以例题的形式做了详细的阐述。

李伟文《巧用二次曲线的定义解题》指出数学概念在教学中的重要性。

然后指出用常规方法解题复杂,而利用二次曲线的定义来解可达到简单、 快捷的典型事例,来体现利用二次曲线的定义解题的好处。

最后指出,在数学教学中应强调数学概念、定义的理解,掌握及运用,从而使学生能锻炼思维、提高能力。

王卫生，陶成海《二次曲线与二次曲面不变量的几何特性研究》通过对二次曲线与二次曲面方程系数所构成的不变量，，， (二次曲线没有 )的几何特性的研究,给出了不变量相对1I 2I 3I 4I 4I 应的几何意义.
刘德金，司兴海《解析几何教学中应注意的几个问题》指出了解析几何常用教材、教学参考书中存在的解法不通用、应用代数条件不准确、消参数忽视等价性等几处瑕疵,相应地提出了解析几何教学中应该注意的几个问题.
3. 进展情况
十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。

比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。

这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。

17世纪初，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。

他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆。

从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中一个连续地变为另一个，只须考虑焦点的各种移动方式。

到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除直角坐标系之外又建立极坐标系，并能把这两种坐标系相互转换。

在这种情况下表示圆锥曲线的二次方程
也被化为几种标准形式，或者引进曲线的参数方程。

1745年欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作。

在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程。

出发，圆锥曲线的各种情形，经过适当的坐标变换，总可以化成标准形式。

继欧拉之后，空间解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面，诸如柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面、以及各种抛物面等。

4. 存在问题
现在很多数学家还在研究圆锥曲线和二次曲面的问题，他们在前人的研究基础上归纳总结，进一步完善圆锥曲线和二次曲面的定义，性质以及各种轨迹方程的应用。

并将这些应用于生活当中。

例如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。

然而对于圆锥曲线和圆锥曲面的轨迹问题的应用就没有系统的阐述。

所以在本文的研究中将对这两种轨迹问题的本质进行归纳概括，有利于中学生更好的掌握解析几何的本质，抓住它们的特性，感悟它们存在的意义。

从而在求解方程的问题中更快、更好的解决。

参考依据
[1] 吕林根,许子道编.解析几何（第四版）[M]高等教育出版社.2006，158-174
[2] 丘维生编.解析几何（第二版）[M].北京:北京师范大学出版社.1996，56-58
[3] 蒋大为编.空间解析几何及其应用[M]北京:科学出版社.2004，78-79
[4] 杨文茂,李全英编.空间解析几何习题集[J]. 武汉:武汉大学出版社.2003，102-105
[5] 朱瑾. 浅谈解析几何的发展及其简单应用[J]科技信息，高校理科研究.73
[6] 吴琦.笛卡尔与解析几何学[J]数学通讯.2002年第23期，42-44
[7] 刘德金，司兴海.解析几何教学中应注意的几个问题[J]菏泽学院学报.第32卷第2期.105-110.
[8] 李伟文.巧用二次曲线的定义解题[J]广东职业技术师范学院学报.2000年增刊.81-82
[9] 王卫生，陶成海.二次曲线与二次曲面不变量的几何特性研究[J]重庆文理学院（自然科学版）2009年6
月.49-53
[10] 唐胜伟.在解析几何中求轨迹的几种常用策略[J]内江科技.2009年08期.61
[11] 吕林根,许子道.解析几何[M]北京:高等教育出版社.2006，231-240
[12] 吕林根, 张紫霞,孙存金.解析几何学习指导书[M]北京:高等教育出版社.2001，48-49 .
[13] 陈志友,陈灿辉.新编解析几何教学辅导[M ].东营:石油大学出版社.1994，271 .
[14] 刘永铮, 陈灿辉.解析几何习题课指导[M ].成都:电子科技大学出版社.1993，292- 298 .
[15] 萧永震, 李秉贞,邵淼.空间解析几何习题指导[M]天津: 天津科学技术出版社. 1990，186.
[16] 陈绍菱, 付若男.空间解析几何习题试析 [M]北京:北京师范大学出版社.1984，204- 205 .。