高级微观经济理论 第1章 偏好理论

公理4’是指在给定点x0 的任何邻域 （即以 x0为中心的任何开区间）内，
无论这个邻域多么小，总会存在至
少其他一个点x，使得消费者偏好 该点甚于偏好x0 。
公理4’意味着不存在无差异区域，因为如果有无差
异区域，那么在该区域内以 x 0 为圆心画一个邻域， 其所有内点必与 x 0 无差异，这会违背公理4’.
由连续性的定义可知A和B都是闭集且非空，又依据完备性，可知：A U B = R+ 而 R+ 是连通集，因此 A I B ≠ ∅ ，所以一定存在一个a，使得 ae ~ x
进一步，这个a是唯一的吗？由单调性，若a’>a’’，则比定有：
a 'e f a ''e
因此，至多只有一个a ，使得 ae ~ x ，这个a就是与每一个x一一对应的值， 可记为a(x)，如图1.7.
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证明分三个步骤：
为了证明效用函数的存在性，需 要考虑以下步骤：
找到一个向量值 a( x)e与x一一 对应（即 ae ~ x），或者说把消
费组合变得直接可观测和度量；
要将a(x)转换为效用函数值u(x)， 从而可以根据a(x)值的大小的比 较来反映效用的比较；
最后要说明a(x) ，即效用函数是 连续的
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公理3：连续性(continuity) 粗略地说，如果一个集合不包含其边界上 的点，此集合是开的，如果它包含了其边 界上的点，则此集合是闭的。如果一个集 合的补集是开集，则该集合是闭集。
对于任一消费束 x0 ∈ R+n，集合 {x : xfx0} 和集合{x : xpx0} 都是闭集（这同时也
消费集：一切被择物或所有消费计划的集合，不管这些消费计划能 否实现。消费集可记为： X ⊆ R+n R表示实数（real）集合，n表示计划消费n种商品，＋表示每一种 商品数量的非负要求。
消费束：消费集中的任何一种消费组合，消费束可记为：
x = ( x1 , x2,L , xn )∈ R+n
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是前两个集合的交集，因此{x: x x0}也是闭集
所以公理3排除了由图1.1的西北部表示的无差异
集的开区域
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ε x • • x0
公理4’：局部非饱和性(local non-satiation)
对于所有 x0 ∈ R+n 和对于所有 ε > 0 都 存在某个消费计划 x∈Bε (x0)IR+n ， 使得 x f x0。
为了描述消费者的偏好结构，我们做出如下的约定：设x1，x2为消费 集X中的任意两个消费束，
如果消费者认为x1优于x2，则记为：x1 f x2 ，此为严格偏好关系； 如果消费者认为x1至少和x2一样好，则记为：x 1 f x 2 ，此为弱偏好关系； 如果消费者认为x1和x2一样好，则记为：x1 ~ x，2 此为无差异关系，即与
商品空间、消费集、消费束的定义以及消费集的性质； 偏好关系及关于偏好关系的若干公理 效用函数的定义、效用函数的存在性、效用函数的性质
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1.1 基本概念
商品：经济学家李普赛（R.G.Lipsey）对商品所下的定义颇具代表 性，他认为，商品是指那些为了满足人类的需要而生产出来并可供 市场交换的货物和劳务。
你
f
f
f
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附录0：违反偏好传递性的后果
你
他
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附录0：违反偏好传递性的后果
你
他
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附录0：违反偏好传递性的后果
你
他
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附录0：违反偏好传递性的后果
你
他
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附录1：函数的形态
——凹函数与凸函数
y
tf ( x1 ) + (1 − t ) f ( x 2 )
y
如果对于所有x1, x2 ∈ D 存在如下关系: f (x1) f ( xt ) ≥ tf ( x1) + (1− t ) f ( x2 ) ∀t ∈[0,1] f (xt )
x2
a>a
Z
ae
a(x)
a(x)e
e 1
x
45 0 x1
1 a(x)=u(x)
用Z表示的对角射线，代表所有n个分向量均相等的 向量的轨迹，令e代表所有元素均为1的维向量， 即：e=(1,…,1)。设 a ≥ 0，则有 ae ∈ Z,即 ae=a(1,…,1)=(a,…,a) 。
图1.7
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步骤1：
步骤3：即要证明a(x)是连续函数（略）
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1.3.3 效用函数的性质
性质1：若偏好关系是严格单调的，则反映该偏好的效用函数u(x)是严格递增 的，即：若x1>x2，则u(x1)>u(x2)。
性质2：若偏好关系是凸的，则相应的效用函数是拟凹的(quasi-concave) 由于偏好关系是凸的，即：x1fx*, x2 fx *，对于任何 t ∈ [0,1], 都 有 :
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1.3.2 效用函数的存在性
表示给定偏好的效用函数的存在，是研究消费者偏好及选 择问题的前提，因此，关于效用函数存在性的证明在消费 者选择理论中具有重要的意义。德布鲁（G.Debre，1954） 在这方面做出了杰出贡献，他提出并证明了基于偏好关系 的效用函数的存在性定理，其大意是：
如果偏好是完备的、自返的、传递的、连续的和强单调的，那么一 定存在一个连续的效用函数，它可以表示这些偏好，即：对于所有 的x1和 x2 ∈ R+n，当且仅当 x1 fx2，存在u( x1 ) ≥ u( x2 )，即 : u(x1) ≥ u(x2 ) ⇔ x1fx2
消费集至少满足这样几个性质：
X不能是空集：∅ ≠ X ⊆ R+n X是闭集：即任意消费束都包含在X中。由于消费束有无穷
多个，填充整个消费集，因此X是连续的。 X凸集：即任意两个消费束 x 1= ( x11 , x21 ,L xn1 )∈ X 和
x 2= ( x12 ,x22 ,L xn2 )∈ X ，则对 ∀0 ≤ λ ≤ 1, λx1 + ( 1 − λ )x2 ∈ X 即消费集中任意两个消费组合的线性组合仍包含在该消费 集中。 0 ∈ X ：即消费者可以选择不消费。
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1.2 偏好关系及其公理
偏好关系 偏好关系公理
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1.2.1 偏好关系
消费者的理性选择总是一种择优行为，而择优的依据就是消费者对可 供选择的一系列消费束所排定的优劣顺序，这种顺序即为经济学中所 谓的偏好关系（preference）。在形式上，偏好原不过是数学中的一 种拟序，因而可以得到完全严格的描：即要证明 a( x1) ≥ a( x2 ) ⇔ x1fx2
根据步骤1可知：a(x1)e ~ x1 , a(x2)e ~ x2，那么根据传递性我们有如下 关系：
x1fx2 ⇔ a( x1 )e ~ x1 fa( x 2 )e ~ x 2
⇔ a( x1 )efa( x 2 )e ⇔ a( x1) ≥ a( x2 )
第1部分 消费者行为理论
1．偏好理论 2．消费者最优选择和需求分析 3．不确定条件下的消费者行为 4. 消费理论中的一些其他问题
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第1章 偏好理论
消费者行为的基本问题就是在给定收入和价格的情况下，如何使自己 的满足达到极大化，这也是消费者理论的一个中心问题。消费者要从消费 行为中获得最大的满足，首先必须根据自己对商品的偏好来对不同的消费 组合进行排序，然后才能决定自己最优的消费计划。因此，要研究消费者 的最优选择行为，必须知道消费者的偏好。本章将在界定一些基本概念基 础上，首先描述消费者的偏好关系，然后分析反映这种偏好关系的效用函 数，为下一章研究消费者最优选择行为提供分析工具。通过本章的学习， 你可以了解：
无差异。
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1.2.2 偏好关系公理
公理1：完备性（complete）。在给定消费 集中的任意两个消费束 x1和 x2，要么x1 fx2， 要么x1px2或者两者同时成立（即x1 x2，见 图1.1）。完备性表明消费者具有必要的能 力和知识去甑别和评价不同的消费计划，
这是消费者做出最优选择的基本条件。
在公理4的条件下，在x0的东北部或西南部 的点，不可能与x0处于同一无差异集上。图 1.5的偏好无疑接近于我们所熟悉的那种无差 异曲线的图形。
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公理5： 凸性和严格凸性(convexity & strong convexity)
凸性：如果 x1 fx0，那么对于所 有 t ∈[0,1], tx1 + (1 − t)x0 fx0
tx 1 + (1 − t ) x 2 f x * 由此可以得出 U(tx1 + (1− t)x2 ) ≥ min{U( x1),U( x2 )}，因此效用函数U(.)是拟凹的。
性质3：若偏好关系是严格凸的，则相应的效用函数是严格拟凹的(quasiconcave)
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附录0：违反偏好传递性的后果
{ } 就意味着集合 {x : x p x0}和集合 x: x f x0
都是开集）。
连续性假设的意思是说如果消费者认 为消费束x至少和消费束 x0一样好， 那么与x非常相似的消费束x’（即x’收 敛于x）也至少会和消费束 x0一样好， 因此连续性假设可以保证消费者的偏 好不会出现“跳跃”现象。
由于{x : xfx0} 和{x : xpx0} 都是闭集，而{x: } x~x0
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公理4： 严格单调性（strong mononity）
对于所有的 x0 , x1 ∈ R+n ，如果x0 ≥ x1，
则x0 fx1 ；但如果x0 >> x1，则
x0 f x1 公理4表明，如果一个消费束所包含
的每种商品的数量至少同另一消费 束的一样多，那么该消费束至少同 另一消费束一样好。而如果该消费 束所包含的每种商品均严格地多于 另一消费束，那么它将严格地偏好 于另一个消费束。 公理4消除了无差异集“向上弯曲” 或包含一个斜率为正的部分的可能 性。
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1.3 效用函数
效用函数的定义 效用函数的存在性
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1.3.1 效用函数的定义
效用函数只是一个精确地总结包含在偏好关系中 的信息，一个效用函数正式定义如下：
如果对于所有 x0 , x1 ∈ R+n , u(x0 ) ≥ u(x1) ⇔ x0 fx1 ，那么， 实值函数u : R+n → R 被称为代表偏好关系的一个效用函 数（即对于定义域 R+n中每一点，在值域R中存在唯一 点u与之相对应） 。
严格凸性：如果 x1 ≠ x0且 x1 fx，0 那么对于所有的 t ∈ (0,1) ，都有
tx1 + (1 − t)x0 f x0 公理5连同公理1，2，3，4，将
会排除无差异集中向原点凹的
部分，如图1.5中的西北部
x1
x1 xt
x0
x2
x2
图1.6 满足公理1，2，3，4，5’或5的假说性偏好
f ( x) f (x1) f (xt )
其中：xt = tx1 + (1− t )x2
f (x2)
f (x2)
f (x)
则函数f(x)是凹函数
如果 f (xt ) > tf (x1)+(1−t) f (x2) ∀t ∈[0,1] 则函数f(x)是严格凹函数
x2
xt
x1
图 A1：严格凹函数
若集合R中任两点都可用一段连续 曲线相连，并使这段曲线全部属于 集合R，则此集合R称为连通集
若集合R中任两点都可用一段直线 相连，并使这段直线全部属于集 合K,则此集合称R为凸集 凸集都是连通集，但反之不真
任取 a ，使得ae >> x，则 ae f x ，又 设： A ≡ {a ≥ 0 | aefx}; B = {a ≥ 0 | aepx} ,若A I B = {a ≥ 0 | ae ~ x} ≠ ∅，则至少存在 一个a，使得 ae ~ x
公理2：传递性（transitive）。在给定消费 集中的任意三个消费束x1、x2和x3中，如 果 x1 fx2 , x2 fx3，则有：x1 fx3。传递性表明 了消费者选择行为具有一致性，如果消费 者的选择行为违背传递性公理，则消费者 的选择就会出现循环。
偏好的两个公理确保了消费者行为具有理性 （rationality）的特征，当消费者行为符合这 两个公理时，意味着消费者能够完整地给消 费集中任何有限数目的消费束进行排序—— 从最好到最坏，因此这两个公理构成了消费 者选择理论的基石。