大学物理第2章质点动力学

第2章 质点动力学
2．1 牛顿运动定律
一、牛顿第一定律
任何物体都保持静止或匀速直线运动状态，直到其他物体所作用的力迫使
它改变这种状态为止。

二、牛顿第二定律
物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比，与物体的质量成反比，
方向与合外力的方向相同。

表示为 a m f =
说明:
⑴ 物体同时受几个力n f f f 21,的作用时，合力f 等于这些力的矢量和。

∑=+++==n
i n i f f f f f 121 力的叠加原理
⑵ 在直角坐标系中，牛顿方程可写成分量式
x x ma f =，y y ma f =，z z ma f =。

⑶ 在圆周运动中，牛顿方程沿切向和法向的分量式
t t ma f = n n ma f =
⑷ 动量：物体质量m 与运动速度的乘积，用表示。

v m p =
动量是矢量，方向与速度方向相同。

由于质量是衡量，引入动量后，牛顿方程可写成 dt
d dt d m a m f === 当0=f 时，
0=dt p d ，=p d 常量，即物体的动量大小和方向均不改变。

此结论成为质点动量守恒定律。

三、牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用力大小相等，方向相反，且在同一直线上。

说明：作用力和反作用力是属于同一性质的力。

四、国际单位制量纲
基本量与基本单位
导出量与导出单位
五、常见的力
力是物体之间的相互作用。

力的基本类型：引力相互作用、电磁相互作用和核力相互作用。

按力的性质来分，常见的力可分为引力、弹性力和摩擦力。

六、牛顿运动定律的应用
用牛顿运动定律解题时一般可分为以下几个步骤：
（1）隔离物体，受力分析。

（2）建立坐标，列方程。

（3）求解方程。

（4）当力是变力时，用牛顿第二定律得微分方程形式求解。

例题
例2-1如下图所示，在倾角为30°的光滑斜面（固定于水平面）上有两物
体通过滑轮相连，已知31=m kg ，22=m kg ，且滑轮和绳子的质量可忽略，试求
每一物体的加速度a 及绳子的张力T F （重力加速度g 取9.80m ·s 2-）。

解 分别取1m 和2m 为研究对象，受力分析如上图。

利用牛顿第二定律列方程： a m F g m T 22=-
a m g m F o T 1130sin =-'
绳子张力T T F F '=
代入数据解方程组得加速度98.0=a m ·s 2-，张力64.17=T F N 。

例2-2 如图所示，长度为l 的柔软细绳一端固定于天花板上的0点，另一
端拴一个质量为m 的小球。

先使绳保持水平，小球静止，然后小球自由下落。

求
小球的速率和绳的张力。

l 0 • m α
T
α
v
mg
解：dt
d l v α= 牛顿方程的切向和法向分量式 dt
dv m ma mg t ==αcos （切向） l v m ma mg T n 2sin ==-α（法向） 把牛顿方程的切向分量式两边分别乘以dt d l α和v ，即
αcos g ·dt
dv dt d l =α·v 约去dt 得 vdv d gl =ααcos
对上式积分，注意角度从0增大到α的同时，速率从0增大到v ，有
⎰⎰=v vdv d gl 00cos ααα， 22
1sin v gl =α 得小球的速率为 αsin 2gl v =
代入牛顿方程的法向分量式，得绳的张力 ααsin 3sin 2
mg mg l
v m T =+= 可看出,当2πα=时，即小球运动到最低点时绳子的张力最大。

例2-3 质量为m 的小球在水中由静止开始下沉，设水对小球的粘滞阻力与
其运动速率成正比，即kv f =τ，其中k 为比例常数，水对小球的浮力为B,求小
球在水中任一时刻的沉降速度（设t =0时，v =0）。

y
解、小球受重力P 、粘滞力τf 及水的浮力B 的作用，取竖直向下为坐标轴正
方向。

如图所示，根据牛顿第二定律得
ma B f P =--τ
即 dt
dv m
ma B kv mg ==-- 或 m dt B kv mg dv =-- 两边取定积分 ⎰⎰=--t v m dt B kv mg dv 00 得 m B mg B kv mg k 1)]ln()[ln(1=----- 由此求得：)1(t m k
e k B mg v ---= 当∞→t 时，k
B mg v -→ ------小球的终极速度，匀速下降。

2．2 动量和动量守恒定律
一、质点和质点系的动量定理
1．冲量和质点动量变化定理
● 冲量：力的时间累积，即力对时间的积分，称为力的冲量。

⎰=2
1t t fdt I ● 质点动量变化定理
根据牛顿第二定律，上式可写为 p d dt f I d ==
表明，在dt 时间内质点所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的增
量。

将上式从1t 到2t 对时间积分，得 ⎰⎰-===212
112t t p p p p p d dt f I 表明，质点在一段时间内所受合力的冲量，等于在这段时间内质点动量的增
量。

称为质点动量变化定理。

应用质点动量变化定理的实例
在一些过程中（如碰撞），作用力随时间急剧变化，引入平均力的概念。

1
212121221t t p p t t t t dt
f f t t --=-=-=⎰ 例 质量为3000=m k
g 的重锤，从高度5.11=
h m 处自由落下，打击被
锻压的工件后弹起的高度1.02=h m 。

设作用时间01.0=∆t s ，求重锤对工件的平
均冲击力。

解：设竖直向上为正方向。

重锤与工件刚接触时的速度，等于从5.11=h m 处自由落下的末速度。

112gh v -=
重锤与工件作用01.0=∆t s 后，弹起的速度等于竖直上抛1.02=h m 高度的初
速度。

222gh v = 以f '代表在t ∆时间内工件对重锤的平均反冲力，按动量变化定
理12)(mv mv t mg f -=∆-'工件
)12
(21+∆+='t
h h g mg f 重锤对工件的平均冲力
63101.2)101
.01.05.18.92(8.9103⨯-=++⨯⨯⨯⨯-='-=f f N
2．质点系的动量定理
由若干个相互作用的质点组成的系统，称为质点系。

● 内力与外力j f
内力：质点系内各质点之间的作用力叫内力。

图中ij f 和ji f 就是一对内力。

根据牛顿第三定律，由于它们大小相等方向相反，所以0=+ji ij f f 。

由于内力总
是成对出现，所以质点系内所有内力的矢量和一定等于零。

即
032232112)(,=+++++=∑≠ f f f f f j i j i ij 这是内力一个重要性质。

外力：质点系以外的物体或场（如重力场）对系统内质点的作用力，叫做外
力。

F 外=∑++=i
f f f 21
● 质点系的动量
质点系内所有质点的动量的矢量和称为该质点系的动量，用p 来表示。

i i
i i i v m p p ∑∑==
● 质点系中外力与动量的关系
根据牛顿第二定律
∵ dt d m a m f == v m p = dt
d f = 又∵ F 外=∑++=i f f f 21
∴ F 外= dt
p
d
质点系动量变化定理
把上式写成 F 外d dt = 并从1t 到2t 对时间积分，得
⎰2
1t t 外dt =⎰-=2
111p p p p d 系统所受合外力的冲量等于系统动量的增量-----质点系动量变化定理
说明：内力可以改变质点系内各质点的动量，但对系统的总动量没有影响。

例2-6 如图，一辆拉煤车以速率3=v m ·s 1-从煤斗下面通过，每秒钟落入
车厢内的煤为500kg 。

若使车厢的速率不变，应用多大的牵引力拉车厢（忽略车
厢与轨道之间的摩擦力）？
v dm
解：用m 代表在t 时刻已落入
车厢内的煤和车厢的总质量。

经过dt 时间又有质量为dm 的煤落入车厢中。

取m 和dm 作为质点系。

取车厢行驶的方向作为正方向。

系统在t 时刻的动量为 mv
系统在dt t +时刻的动量为 v dm m )(+
在dt 时间内系统动量的增量
mv v dm m dP -+=)(
按照质点系动量变化定理，注意到车厢速率不变，有
dt dm v dt dP F == 把3=v m ·s 1-和500=dt dm kg ·s 1-代入上式得：
3105.15003⨯=⨯=F N
二、动量守恒定律
若质点系所受外力为零，F 外=0，则 0=dt
P d ， =常矢量 表明在惯性系中，当质点系不受外力作用或所受外力合力等于零时，质点系
的动量大小和方向都保持不变——动量守恒定律。

应用动量守恒定律时要注意：
（1）合外力是指系统所受外力的矢量和。

（2）若合外力的矢量和不为零，但外力沿某一方向的分量为零，则该方向
上质点系的动量守恒。

（3）在诸如碰撞、爆炸等问题中，由于冲击力很大、作用时间很短，此时
一般的外力（如重力）可以忽略。

（4）动量守恒定律是自然界最重要、最普遍的定律之一 ，不仅适用于宏观
物体，也适用于原子、分子、光子等微观粒子间的相互作用。

例 如图，一颗质量为m 的子弹以速度v 沿水平方向射入一个用细绳悬挂的
质量为M 的物体，并留在物体中。

设子弹从射入物体到停在其中的时间极短，
求子弹刚停在物体中时的速度。

解：取子弹和物体为质点系。

系统不受外力作用，系统在水平
方向上动量守恒。

v M V
设子弹刚停在物体内时的速 X
度为V 。

水平向右为坐标轴正向。

V M m mv )(+=， v M
m m V +=
当∞→M 时，0→V
2．3 功、机械能和机械能守恒定律
一、功和功率
1．功
初中时功的计算：FS W = 恒力的方向与物体运动方向相同。

高中时功的计算：αcos FS W = 恒力与物体运动方向成α夹角。

（1）功的定义：作用于物体的力在物体位移方向上的分量与该位移的乘积
称为功。

（2）元功：作用在质点上的力一般与质点的位置有关（如抛体运动中，质
点所受的重力与质点的位置）。

在质点作无穷小位移r d （元位移） y
的过程中，可以认为力f 的大小和方向都不发生变化。

把f 和r d 的标量积称为力f 对质点做的元功，用dW 表示〉 0 x
αcos r d f r d f dW =•=
(3)功的计算：
ds f f r d f W b L a t b L a b
L a ⎰⎰⎰==•=)()()(cos α
式中t f 为切向分量，ds 是与l d 对应的路程。

2．功率
力在单位时间内所做的功，称为功率。

平均功率：t
W P ∆∆= 瞬时功率：当0→∆t 时，平均功率的极限值即为t 时刻的瞬时功率，简称
功率。

即dt
dW t W P t =∆∆=→∆lim 0 由于 r d f dW •=。

上式可写为
θcos fv v f dt
r d f P =•=•= 瞬时功率等于力在速度方向的投影和速度大小的乘积，或说瞬时功率等于力
矢量与速度矢量的标积。

3．常见力的功 Y
① 重力的功 质量为m 的物体在地球表面附近（重力加速度g 不变）从a 经c 运动到b ，重力对物体所做的元功
mgdy j dy i dx j mg s d F dW -=+•-=•=)(
物体从a →c →b ，重力的功
⎰--=-=yb
ya a b mgy mgy mgdy W )( 若物体从a →d →b,重力的功仍然是上述结果。

可见，，重力的功与路径无关
只与始末位置有关。

② 弹力的功
弹性系数为k 的轻质弹簧水平放置，一端固定，一端系一小球，以平衡位置为 O a b
原点。

小球在任一位置受到弹力
kx -=
对位移dx 的元功为
kxdx dx kx d dW -=•-=•=
小球从位置a 运动到b ，弹力的功为
⎰⎰--=-==b
a a
b kx kx kxdx dW W )2121(22 结论：弹力的功只与始末位置有关，与路径无关。

③ 保守力
某些力（重力、弹力、万有引力、静电力、分子力等），他们对物体做的功与路径无关，只由物体的始末位置所决定。

若物体沿任一闭合路径运动一周，这些力做功为零，这类力称为保守力。

摩擦力等做的功与路径有关，称为非保守力或耗散力。

二、动能和质点的动能定理
1．动能和质点动能定理
● 质点的动能表达式：22
1mv E k = ● 质点的动能定理 若把f 看成是作用在质点上的合力，则牛顿方程的切向分量式为 dt dv m f t = 由于 dt
ds v = 所以有 22)
()()(2121a b b
L a b L a b L a t mv mv vdv m ds dt dv m ds f W -====⎰⎰⎰ 用22
1mv E k =代表动能，则有 ka kb E E W -=
即合力对质点所做的功等于质点动能的增量，称为质点动能变化定理。

说明：
（1）功与动能增量密切相关。

外力对物体做正功，物体动能增大；外力对物体做负功，物体动能减小；外力对物体不做功，物体动能不变。

（2）功是过程量，动能是状态量。

无论通过什么过程做功，只要始末两状态一定，动能增量与该过程的功一定相等。

（3）动能与功有相同的单位，即焦耳（J ）。

但这是两个不同的物理量。

（4）凡是用动能变化定理能解决的问题，原则上用牛顿第二定律也能解决，但涉及位置与速率关系方面的问题，通常用动能变化定理比较简便。

例2-12 用动能变化定理解例题2-2中小球的速率。

解：小球下落过程中，绳子的张力垂直于小球的运动方向，因此不做功。

而重力做功。

⎰⎰⎰===•=α
αααα0sin cos mgl d mgl d mg l d g m W 根据动能变化定理 ka kb E E W -=有 22
1sin mv mgl =α 的小球的速率 αsin 2gl v =
三、质点系动能变化定理
对第i 各质点应用动能变化定理
iko ik i E E W -= 式中ik E 和0ik E 分别代表质点的末状态和初状态的动能。

i W 是合力做的功，它等于外力和内力对质点做功之和。

即
i i W W =外i W +内
对质点编号i 并求和，得
∑i i W 外∑+i i
W 内∑∑-=i
ik i ik E E 0 所有外力和所有内力对整个质点系所做的功之和，等于系统总动能的增量。

称为质点系动能变化定理。

说明：在质点系中，内力的矢量和等于零，但它们作用在不同的质点上，各质点的位移可能不同，因此内力做功之和可以不为零。

四、势能
保守力做的功与路径无关，意味着保守力的功只由系统的始、末状态决定。

引入势能（p E ）的概念，系统在始、末状态的势能的差值表达了保守力所做的功。

并定义：保守力所做的功，等于系统势能的减少。

W 保内p
p E E -=0
1. 引力和引力势能
质量分别为1m 和2m 的两个质点，1m 作用在2m 上的引力为 r r m Gm f ˆ2
21-= 式中r ˆ为1m 到2m 的单位矢量。

1m r 2m • • x
引力做功与路径无关，只与质点的始末位置有关。

因此引力是保守力。

与引力对应的势能是引力势能，引力势能为
r
m Gm E p 21-= 引力势能属于质点1m 和2m 所组成的系统。

两质点相距无限远处为零势能点。

2. 重力和重力势能
重力是物体在地面附近受到地球的引力。

重力是保守力。

与重力对应的势能是重力势能，重力势能就是地面附近的物体和地球的引力势能
mgh E p =
重力势能属于物体和地球组成的系统所有。

通常取地面为零势能点。

3. 弹性力和弹性势能
f
0 a x b x
上图所示，小球由a x 移动到b x 的过程中，弹性力对它做了功。

设弹簧的劲度系数为k ，小球在任一位置x 时，弹性力为kx f -=。

小球由a x 移动到b x 的过程中，弹性力对它做的功
⎰⎰-=-==b a b a x x b a x x kx kx dx kx fdx W 222
121)( 可见，弹性力的功与弹簧伸长的路径无关，只决定于弹簧的始、末伸长量，因此弹性力是保守力。

与弹性力对应的势能是弹性势能。

22
1kx E p = 把弹簧处于自然长度定为零势能点。

五、功能原理 机械能守恒定律
若质点系在运动过程中只有保守内力做功，而外力和非保守内力的功等于零。

则有
==0E E 常量
表明：在只有保守内力做功的过程中，质点系的机械能保持不变。

这就是机械能守恒定律。

例 用机械能守恒定律重解例2-2。

解：在小球下落过程中，绳的张力不做功，只有重力做功。

重力是保守力，因此机械能守恒。

取O 点为零势能点。

根据机械能守恒定律，有 αsin 2
102mgl mv -= 小球的速率 αsin 2gl v =
2．4 质点的角动量和角动量守恒定律
矢量乘法：
1．点乘：乘号用一个点表示，两个矢量点乘结果为一个标量，称为标量积。

如：C =• 和为矢量， C 为标量。

C 的量值：αcos AB C = α为A 方向与B 方向之间的夹角。

A
在点乘中，有乘法交换率，如C A B B A =•=•
2．叉乘：乘号用“×”来表示，两个矢量叉乘结果为一个矢量，称为矢量积。

如：=⨯ 、和均为矢量。

C 的量值：αsin AB C = α为A 方向与B 方向之间的夹角。

的方向：按右螺旋法则判定。

C
在叉乘中，没有乘法交换率；A B B A ⨯≠⨯
而有：⨯-=-⨯=⨯)()(
若 E k B =
则有 k ⨯=⨯=k ⨯
一、质点的角动量
l
θ
0 m
如上图，某质点质量为m ，相对于0点的位置矢量为r ，动量为v m 。

将质点的位置矢量r 和动量矢量积，定义为质点对于0点的角动量。

m ⨯=⨯=
角动量的大小为 θθsin sin mrv rp l ==
角动量的方向：当θ＜180°时，按右螺旋法则判定。

角动量又叫动量矩。

l 如果质点绕0点做圆周运动，
按角动量定义，质点对0点的角
动量方向垂直于圆周平面，大小为： ω2mr mrv l == m 其中r v =ω为圆周运动的角速度。

注意：在定义一个质点的角动量时，必须明确指出是对哪个点而言。

二、质点角动量变化定理
惯性系中，牛顿第二定律：dt
d f = 用质点对于0点的位置矢量叉乘上式两边得：
dt
p d r f r ⨯=⨯ 因v 与v m p =同方向，所以0=⨯p v ，上式可写成
dt
d dt d p dt d dt d r p v dt d r f r =⨯=⨯+⨯=⨯+⨯=⨯)( 矢量积f r ⨯称为力f 对0点的力矩，用表示，有
f r M ⨯= 上式即为
dt
l
d M =
力矩的方向用右螺旋法则判定，其大小为
ϕsin rf M = ϕ为r 与f 小于180°的夹角。

若M = 0，则dt l d = 0，l = 常矢量
表明：在惯性系中当质点不受力，或对某一固定点所受合力矩为零时，这个质点对该固定点的角动量的大小和方向都保持不变——叫角动量守恒定理。

例2-17 证明关于行星运动的开普勒第二定律：行星相对太阳的位置矢量在相等时间内扫过相等的面积。

v
θ
行星在引力作用下，绕太阳运动。

设行星位置矢量为r 在dt 时间内扫过的面积为dS 。

由于太阳作用在行星上的引力对太阳的力矩为零，所以行星对太阳的角动量的大小和方向都不变。

角动量的方向不变行星沿平面运动轨道运动，而且轨道平面的方位不变；角动量的大小不变是指
===rmv l θsin 常量
其中dS r 2=θ，代入上式，得
=dt
dS 常量 即行星的位置矢量在相等的时间内扫过的面积相等。

三、质点系角动量变化定律和角动量守恒定律
1．质点系的角动量 f
质点系的角动量：质点内所有质点对某一点的角动量矢量和。

∑∑⨯==i i
i i i v m r l L 为质心系的角动量
2．质点系角动量变化定理
外 = dt L d 质点系角动量变化定理：质点系对惯性系中任一固定点的角动量对时间的变化率，等于这个质点系所受对该固定点的合外力矩。

3．角动量守恒定律
若M 外
= 0，则dt L d = 0，L = 常量 角动量守恒定律：在惯性系中当质点不受外力作用，或对某一固定点所受合外力矩等于零时，这个质点系对该固定点的角动量的大小和方向都保持不变。

例2-18 在光滑水平面
上有一劲度系数为k 的轻弹簧，两端各系一质量为m 的小球，开始时弹簧处于自然 长度0l ，两小球静止。

今同
时打击两小球，让它们沿垂
直于弹簧轴线方向获得等值反向的初速度0v 。

如果在以后的运动过程中
弹簧的最大长度为20l ，求出速度0v 。

解：取弹簧和两个小球作系统。

因系统在垂直方向受力为零，水平方向不受外力，则质心C 点固定不动，相对C 点系统的角动量守恒。

初始时刻系统的角动量
00000002
2mv l mv l mv l L =+= 弹簧达到最大长度20l 时，小球只能沿垂直于弹簧轴线方向运动，设此时速度为v ，则系统的角动量为
mv l l mv l L 00022
222=+= 由于角动量守恒L L =0，得20v v =。

系统的机械能也守恒，即
200222020)2(2
121212121l l k mv mv mv mv -++=+ 把20v v =代入上式，整理后得到初速度
0032l m
k v =
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。