二维离散型随机变量边缘分布

0
求FX(x)与FY(y).
其它
解
1 e x
FX ( x) F ( x,)
0
x0 x0
1 e y ye y y 0
FY ( y) F (, y)
0
y0
3.2.1 离散型随机变量的情形
设二维离散型随机变量( X ,Y )的联合分布
pij ,
xi x j1

FY ( y) F (, y)
pij .
y j y i1
注意 联合分布
边缘分布
例5 已知(X,Y)的分布律如下,求X、Y的边缘分布律。
X\Y 1 0
1 1/10 3/10
0
3/10 3/10
解
x\y 1
0 pi.
1 1/10 3/10 2/5
j 1
i 1
记pi pij , p j pij
j
i
则关于X 的边缘分布律为
X
x1 x2 xn
pi
p1 p2
pn
关于Y 的边缘分布律为
Y
y1 y2
yn
p j p1 p2
pn
离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分别为

FX ( x) F ( x,)
CHAP3 多维随机变量及其分布
第14讲 离散型随机变量的边缘分布
定义3.6 设 F ( x, y) 为随机变量( X ,Y ) 的分布函数,
则 F ( x, y) P{X x,Y y} . 令 y , 称 P{X x} P{X x,Y } F ( x,) 为随机变量( X ,Y ) 关于X的边缘分布函数.
0 3/10 3/10 3/5
p.j 2/5 3/5
故关于X和Y的边缘分布律分别为：
X1 0
Y10
P 2/5 3/5
P 2/5 3/5
例6 设随机变量 X 在 1,2,3,4四个整数中等可能地 取值, 另一个随机变量Y 在 1 ~ X 中等可能地取一 整数值.试求 ( X ,Y ) 的分布律. 同时求出关于X ，Y 的边缘分布律.
1
2
34
1
1
0
00
4
2
1 8
1
8
00
3
1
1
10
12 1
12 12
1
11
4
16
16 16 16
由公式 pi pij , p j pij，可得
j
i
Y X
1
2
34
pi
1
1
0
00
1Biblioteka Baidu
4
4
2 3
1 8
1
8
00
1
1
10
12 1
12 12
1
11
1
14
4 1
4
16
16 16 16
4
pj
25 13 7 3 48 48 48 48
解 { X i,Y j}的取值情况是 : i 1,2,3,4, j取不大于i的正整数. 且由乘法公式得
P{ X i,Y j} P{Y j X i}P{ X i} 1 1 , i4
i 1,2,3,4, j i.
于是 ( X ,Y ) 的分布律为
Y X
律为
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,.

记
pi pij P{ X xi }, i 1,2,,
j 1

p j pij P{Y y j }, j 1,2,,
i 1
分别称 pi (i 1,2,) 和 p j ( j 1,2,) 为 ( X ,Y )
记为 FX ( x) F ( x,).
同理令 x , FY ( y) F (, y) P{ X ,Y y} P{Y y}
为随机变量 (X,Y )关于Y 的边缘分布函数.
例4 已知(X,Y)的分布函数为
1 e x xe y 0 x y
F ( x, y) 1 e y ye y 0 y x
关于 X 和关于Y 的边缘分布律.
X Y
y1 y2
yj
x1 x2
xi
p11 p21 pi1
p12
p22 pi 2


p1 j
p2 j pij




P{ X xi } pij , i 1,2,; P{Y y j } pij , j 1,2,.
则关于X 的边缘分布律为
X1 2 3 4 pi 1 4 1 4 1 4 1 4 关于Y 的边缘分布律为
Y1234
pj
25 48
13 48
7 48
3 48