高斯公式斯特斯公式曲面积分

第四节 对面积的曲线积分

教学目的：理解和掌握对面积的曲线积分的概念性质及计算 教学重点：对面积的曲线积分的计算 教学难点：对面积的曲线积分的计算 教学内容：

一、概念和性质 1．空间曲面质量

在对平面曲线弧长的曲线积分中，将曲线换为曲面，线密度换为面密度，二元函数换为三元函数即可得对面积的曲面积分。设有一曲面S 。其上不均匀分布着面密度为S 上的连续函数),,(z y x μμ=，求曲面S 的质量。经分割，代替，求和，取极限四步，

lim (,,)i i i i M f S λξηζ→=⋅∆

2．定义

设曲面∑是光滑的，),,(z y x f 在∑上有界，把∑分成n 小块，任取i i i i S ∆∈),,(ζηξ，作乘积i i i S f ∆⋅),,(ζηξ),,2,1(n i ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=，再作和

),,2,1(),,(1

n i x f n

i i i

i

i

⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∆∑=ζ

ηξ，当

各小块曲面直径的最大值0→λ时，这和的极限存在，则称此极限为),,(z y x f 在∑上对面积的曲面积分或第一类曲面，记

⎰⎰∑

ds z y x f ),,(，即

⎰⎰∑

ds z y x f ),,(=0

1

lim (,,)n

i i i i

i f S

λξηζ→=⋅∆∑

说明：（1）

ds z y x f ⎰⎰∑

),,(为封闭曲面上的第一类曲面积分

（2）当),,(z y x f 连续时，

⎰⎰∑

ds z y x f ),,( 存在

（3）当),,(z y x f 为光滑曲面的密度函数时，质量=M ⎰⎰∑

ds z y x f ),,(

（4）),,(z y x f =1时，⎰⎰∑

=

ds S 为曲面面积

（5）性质同第一类曲线积分21∑+∑=∑ （6）若∑为有向曲面，则⎰⎰∑

ds z y x f ),,(与∑的方向无关。

二、计算

定理 设曲面∑的方程),(y x z z =，∑在xoy 面的投影xy D ，若),,(z y x f 在xy D 上具有一阶连续偏导数，在∑上连续，则

⎰⎰

∑

ds z y x f ),,(=dxdy z z y x z y x f xy

D y x ⎰⎰++2

21)),(,,(

说明 （1）设),(y x z z =为单值函数

（2）若∑：),(z y x x =或),(z x y y =可得到相应的计算公式。 （3）若∑为平面里与坐标面平行或重合时⎰⎰∑

ds z y x f ),,(=dxdy y x f xy

D ⎰⎰

)0,,(

例1 计算⎰⎰∑

+=

ds y x I )(22，∑为立体12

2≤≤+z y x 的边界 解 设21∑+∑=∑，1∑为锥面22y x z +=

，10≤≤z

2∑为1=z 上122≤+y x 部分， 21,∑∑在y x 面投影为122≤+y x

dxdy y

z x z dS ∂∂+∂∂+=2

211=dxdy 2， dxdy dS =2

图10-4-1

∴=

I 1221

)(ds y x ⎰⎰

∑++2222

)(ds y x ⎰⎰∑+=dxdy y x D 2)(22⎰⎰+dxdy y x D

⎰⎰++)(22

=⎰⎰⎰⎰+=+=++1

3

21

2

2)21(2

)21()()

12(π

θπdr r d dxdy y x D

例2 计算

⎰⎰∑++2)1(y x ds

，∑由1≤++z y x ，0≥x ，0≥y ，0≥z 的边界

解 4321∑+∑+∑+∑=∑

1∑：0=z ，2∑：0=x ，3∑：0=y ，4∑：1=++z y x

由对称性

⎰⎰∑++22)1(y x ds =⎰⎰∑++32)1(y x ds =dydz y x yoz D ⎰⎰++2)1(1

=2ln 1)

1(10

2

1

0-=+⎰

⎰-z

y dy

dz 。 ⎰⎰∑++12)1(y x ds =⎰⎰++y x D y x ds 2)1(=2

12ln )1(102

10-=++⎰⎰-x y x dy dx z

y

x

o

⎰⎰∑++42)1(y x ds =⎰⎰++y x D y x dxdy 2)1(3=)2

1

2ln (3)1(3102

10-=++⎰⎰-x y x dxdy dx ∴原式=

⎰⎰∑+

1

⎰⎰∑+

2

⎰⎰∑+

3

⎰⎰∑++42

)1(y x ds =2ln 1(2-）+（212ln -）+（)2

1

2ln (3-）=2

3

32ln )13(-+- 例3 计算

ds xyz ⎰⎰

∑

，∑为222z y x =+被平面1=z 所割得部分

解 设第一象限内的部分为1∑：0≥x ，0≥y ，z y x ≤+2

2

ds xyz ⎰⎰

∑

=dxdydz y

z x z xyz xy

D ∂∂+∂∂+⎰⎰

2

21=dxdy y x xyz xy

D 224414++⎰⎰

=⎰⎰

+⋅⋅1022220

41cos sin 4

rdr r r r d θθθπ

=⎰+⋅1

022420

24121()sin 21(4dr r r π

θ）

⎰⎰

-=-⋅=+du u u u u u r 22325

1

222

)1(4

2)41(41=4201

5125-

或⎰⋅⋅⋅⋅=θθθθθθθtg d tg tg tg r 21

0234sec 241

sec 16121

=

⎰

⋅121

35

sec 321tg d tg θθθ=⎰121

24sec sec 321tg d tg θθθ =⎰-121

222sec sec )1(sec 321tg d θθθ=42015125-

小结：

1对面积的曲线积分的概念和性质 2对面积的曲线积分的计算 作业：

作业卡p38-39