平面曲线

取0 ≤ θ ≤ π，消去参数θ，得摆线在0 ≤ θ ≤ π的一段的 普通方程： a− y x = a arccos − 2ay − y 2 . a
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2.1.2 平面曲线
定义2.1.4 设半径为 的定圆和半径为 的动圆，动圆在 设半径为a的定圆和半径为 的动圆， 的定圆和半径为b的动圆 定义 定圆外无滑动地滚动，动圆上一点 的轨迹称为外旋轮线 定圆外无滑动地滚动，动圆上一点P的轨迹称为外旋轮线 （或称为外摆线）. 或称为外摆线） 如图， 如图，建立直角坐 标系， 标系，设运动开始时动 与定圆上的点A重合 点P与定圆上的点 重合， 与定圆上的点 重合， 并取定圆中心O为原点， 并取定圆中心 为原点， 为原点 经过一段时间的滚动后， 经过一段时间的滚动后， 动圆与定圆的接触点为 B，动圆中心移到C的位 ，动圆中心移到 的位 置.
2.1.2 平面曲线
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y
P C r O θ x A
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2.1.2 平面曲线
摆线向量式参数方程： r = i a (θ − sin θ ) + ja(1 − cos θ ), (−∞ < θ < ∞).
摆线坐标式参数方程： x = a (θ − sin θ ) ， < θ < ∞). (−∞ y = a (1 − cos θ )
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2.1.2 平面曲线
定义2.1.3 一个半径为 的圆在一直线上无滑动地滚动， 一个半径为a的圆在一直线上无滑动地滚动 的圆在一直线上无滑动地滚动， 定义 圆周上一点P的轨迹叫做摆线（或称为旋轮线） 圆周上一点 的轨迹叫做摆线（或称为旋轮线）. 的轨迹叫做摆线 如图，取直角坐标系，设半径为 的圆在 轴上滚动， 的圆在x轴上滚动 如图，取直角坐标系，设半径为a的圆在 轴上滚动， 开始时点P恰好在原点 ，经过一段时间的滚动， 开始时点 恰好在原点O，经过一段时间的滚动，圆与直线 恰好在原点 的切点移到A点 圆心移到 的位置 的位置. 的切点移到 点，圆心移到C的位置
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2.1.2 平面曲线
r = a (1 − sin θ )
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2.1.2 平面曲线
定义2.1.5 设一半径为 的大圆和一半径为 的小圆，大 设一半径为a的大圆和一半径为 的小圆， 的大圆和一半径为b的小圆 定义 圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，小圆周上一点 的 圆不动，而小圆在大圆内无滑动地滚动，小圆周上一点P的 轨迹叫做内摆线（或称为内旋轮线） 轨迹叫做内摆线（或称为内旋轮线）. 如图， 如图，建立直角坐 标系， 标系，设运动开始时动 点P与大圆周上的点 重 与大圆周上的点A重 与大圆周上的点 合，并取大圆中心O为 并取大圆中心 为 原点， 原点，经过一段时间的 滚动后， 滚动后，小圆与大圆的 接触点为B， 接触点为 ，小圆中心 移到C的位置 移到 的位置. 的位置
特殊地， 的轨迹叫做四尖点星形线. 特殊地，当a=4b时，P的轨迹叫做四尖点星形线 时 的轨迹叫做四尖点星形线
四尖点星形线向量式参数方程： r = ia cos 3 θ + ja sin 3 θ .
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y
y
C
B
φ
θ O r P A x
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内摆线向量式参数方程： a −b a −b r = i [(a − b) cos θ + b cos θ ] + j[(a − b) sin θ − b sin θ ]. b b
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y D C
φ
B θ O r A P x
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2.1.2 平面曲线
外摆线向量式参数方程： a+b a+b r = i [(a + b) cos θ - b cos θ ] + j[(a + b) sin θ − b sin θ ]. b b
特殊地， 的轨迹叫做心形线. 特殊地，当a=b时，P的轨迹叫做心形线 时 的轨迹叫做心形线
心形线向量式参数方程： r = ia(2 cos θ − cos 2θ ) + ja(2 sin θ − sin 2θ ).
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