3-7空气阻力类(牛顿定律)

专题3---7 雨滴受到的空气阻力类

自高空落下的雨滴如果以自由落体运动来算，则其到达地面时的速度可达说百米每秒，这对人类是十分危险的。但实际上，雨滴在空气中下落时不可能是自由落体，应为在下落过程中，它不仅受重力，还受空气阻力和浮力，并且阻力随速度增加而增加，到达一定高度后，重力便于阻力和浮力的合力相等，雨滴的速度则达到极大。此时的速度便叫做收尾速度。这个速度是不会太大的，因而雨滴达到地面是不会对人类产生较大危害的。在此，阻力起了关键作用。雨滴在重力﹑浮力﹑和阻力的共同作用下的运动,对于半径r＜3.6 ×10-5m特小雨滴，如取r=0.00002m计算，则收尾速度只有0.051m/s，达到这个速度几乎是一瞬间的事，所用时间约为0.023s，这是很短的，因此可以说极小雨滴都是以收尾速度下落的。所以，这么小的雨滴在短时间内是不可能从高空中下到地面的，必须长成大雨滴才能落下。当雨滴半径r>0.002m时，以r=0.0025m为例，收尾速度约为νm=11.2m/s ，达到该速度的时间约为3秒，雨滴以收尾速度从2000米高空落到地面约需3分钟。

雨滴半径极小时,空气阻力跟速度成正比例; 当雨滴半径比较大时, 空气阻力跟速度平方成正比例. 上述结果也可用于冰雹，还因为冰的密度小于水的密度，其收尾速度还要小些，但冰雹表面坚硬，力的作用时间短，使得作用力较大，所以往往可以砸坏建筑物，击伤人畜，对人类危害很大。

****************************************************************************************************** 例1.已知小球运动时受到的空气阻力恒为重力的k倍,与地面碰撞时无机械能损失,小球在离地H高处自由下落。

.求小球运动的总路程。

例2.雨滴运动时受到的空气阻力是速度的k倍,那么质量为m的雨滴落地速度是多少?并且分析雨滴下落运动的性质.

例3、（2009年江苏卷）航模兴趣小组设计出一架遥控飞行器，其质量m =2㎏，动力系统提供的恒定升力F =28 N。试飞时，飞行器从地面由静止开始竖直上升。设飞行器飞行时所受的阻力大小不变，g取10m/s2。

（1）第一次试飞，飞行器飞行t1 = 8 s 时到达高度H = 64 m。求飞行器所阻力f的大小；

（2）第二次试飞，飞行器飞行t2 = 6 s 时遥控器出现故障，飞行器立即失去升力。求飞行器能达到的最大宽度h；（3）为了使飞行器不致坠落到地面，求飞行器从开始下落到恢复升力的最长时间t3。

例4．（2003年江苏15）当物体从高空下落时,空气阻力随速度的增大而增大,因此经过一段距离后将匀速下落,这个速度称为此物体下落的终极速度.已知球形物体速度不大时所受的空气阻力正比于速度v,且正比于球半径r,即阻力f=krv, k是比例系数.对于常温下的空气,比例系数k=3.4×10-4Ns/m2. 已知水的密度ρ=1.0×103kg/m3,取重力加速度g=10 m/s2.试求半径r=0.10mm的球形雨滴在无风情况下的终极速度v m.

例5．一小求竖直上抛，如果不考虑空气的影响，回到出发点的时间为t1。若考虑空气阻力，并且认为大小是恒定的，那么小球回到出发点的时间为t2。试比较t1、t2的大小关系。

例6．假定跳伞运动员在下落过程中伞所受空气阻力的大小与下落速度的平方成正比，即F=kv2，比例系数

k=20N·s2/m2。若跳伞运动员与伞的总质量为72kg，起跳高度足够高，试求：

1）跳伞运动员在空中做什么运动，收尾速度多大？2）当速度达到4m/s时，下落的加速度是多大？

例7．（江苏物理—3）一质量为M的探空气球在匀速下降，若气球所受浮力F始终保持不变，气球

在运动过程中所受阻力仅与速率有关，重力加速度为。现欲使该气球以同样速率匀速上升，则需从气

球篮中减少的质量为（）

A．2(M) B．M C．2M D．0

例8．（上海物理—21）总质量为80kg的跳伞运动员从离地500m的直升机上跳下，经过2s

拉开绳索开启降落伞，如图13所示是跳伞过程中的v－t图像，试根据图像求：（g取10m/s2）

（1）t＝1s时运动员的加速度和所受阻力的大小。

（2）估算14s内运动员下落的高度及克服阻力做的功。

（3）估算运动员从飞机上跳下到着地的总时间。

例9（08海南卷）、科研人员乘气球进行科学考察．气球、座舱、压舱物和科研人员的总质量为990 kg．气球在空中停留一段时间后，发现气球漏气而下降，及时堵住．堵住时气球下降速度为1 m/s，且做匀加速运动，4 s内下降了12 m．为使气球安全着陆，向舱外缓慢抛出一定的压舱物．此后发现气球做匀减速运动，下降速度在5分钟内减少3 m/s．若空气阻力和泄漏气体的质量均可忽略，重力加速度g＝9.89 m/s2，求抛掉的压舱物的质量．

3答案：（1）4N （2）42m （3）2.1s

【解析】（1）第一次飞行中，设加速度为1a 匀加速运动21112H a t = 由牛顿第二定律1F mg f ma --= 解得4()f N = （2）第二次飞行中，设失去升力时的速度为1v ，上升的高度为1s 匀加速运动211212

s a t = 设失去升力后的速度为2a ，上升的高度为2s

由牛顿第二定律2mg f ma +=

112v a t = 2122

2v s a = 解得1242()h s s m =+= （3）设失去升力下降阶段加速度为3a ；恢复升力后加速度为4a ，恢复升力时速度为3v

由牛顿第二定律 3mg f ma -=

F+f-mg=ma 4 且223334

22v v h a a += V 3=a 3t 3 解得t 3

=2

(s)(或2.1s) 4．雨滴下落时受两个力作用：重力，方向向下；空气阻力，方向向上，当雨滴达到终极速度r v 后，加速度为零，二力

平衡，用m 表示雨滴质量，有

0=-T k r v m g ① ρπ334r m =② 由①②得终极速度

k g r v r 343ρπ=③ 代入数值得r v ＝1.2m/s .

6．1）伞和运动员在空中受到重力和空气阻力的作用，

根据牛顿第二定律，当其速度为3 m/s 时，mg-kv2=ma ，代入数据可得加速度大小a=7.5 m/s2.

（2）由上述公式可以知道：随着速度的增加，加速度减小，但加速度还是与速度同方向的，其速度不断增大，这样加速度就进一步减小.这样不断进行下去，最终加速度值为零时，速度不再增加，达到最大.此时伞和运动员受力平衡：mg-kvm2=0，解得vm=6 m/s.

8分析与求解：（1）从图中可以看出，在t ＝2s 内运动员做匀加速运动，其加速度大小为：m/s 2=8m/s 2。设此过程中运动员受到的阻力大小为f ，根据牛顿第二定律有：mg －f ＝ma ，解得：f ＝m (g －a )＝80×(10－8)N ＝160N 。