条件极值问题与Lagrange乘数法

1 (a c) (a c) 2 4(ac b 2 ) 2
L( x , y , z , 1 , 2 ) f ( x , y , z ) 1 ( x , y , z ) 2 ( x , y , z )
解方程组
可得到条件极值的可疑点 .
例. 要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱, 问 水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 求 x , y , z 使在条件 x y z V 下水箱表面积 S 2( x z y z ) x y 最小. 令 L 2( x z y z ) x y ( x y z V )
xyz V
求S 2( xz yz) xy的极值
条件：xyz V
这类附有约束条件的极值问题称为条件极值.
条件极值问题的一般形式是等式约束：即在条件组：
k ( x1 , x2 , , xn ) 0, k 1, 2, , m (m n)
的限制下，求目标函数
y f ( x1 , x2 , , xn )
⑴ － ⑵ 得 (2 2 )( x y ) 0
如λ＝－1，
1 从而z＝－ 2
⑴ ⑵ ⑶
⑷
⑸
则＝0，
不合题意，舍去；
则
x y
代入⑷式后，再将⑷代入⑸
2x2 2x 1 0 解得 y x 1 3 , z 2 3, 2 5 3 11 3 3 , 7 , 3 3
2. 求拉格朗日函数的极值 先求解拉格朗日函数的偏导数构成的方程组：
再考察驻点是否是极值点
拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条 件的情形. 例如, 求函数 u f ( x , y , z ) 在条件 ( x , y , z ) 0 , ( x , y , z ) 0 下的极值. 设
易计算在 (0,0) 点 f xx (0,0) 2a, f xy (0,0) 2b, f yy (0,0) 2c ， 因此 f xx (0,0) f yy (0,0) f xy 2 (0,0) 4(ac b 2 ) 0 。
而 f xx 0 ，所以 (0,0) 点是 f 的极小值点，极小值为 f (0,0) 0 。
下面来求 的值。
由联立方程组中的 x 2 y 2 1 0 ，可知二元一次方
(a ) x by 0 程组 有非零解， bx (c ) y 0
因此系数行列式等于零，即
2 (a c) ac b 2 0 。
解这个关于 的方程，得到
经整理后,
3
3 , x 0, y 0, z 0. x yz
就是 “调和平均不大于几何平均”
这个著名的不等式:
1 1 1 1 3 x y z
3
x yz , x 0, y 0, z 0 .
例求函数 f ( x, y) ax2 2bxy cy 2 （ b 2 ac 0; a, b, c 0 ）在闭 区域 D {( x, y) | x2 y2 1} 上的最大值和最小值。
解 首先考察函数 f 在 D 的内部 {( x, y) | x 2 y 2 1} 的极值， 这是无条件极值问题。
f x 2ax 2by 0, 解线性方程组 f y 2bx 2cy 0.
由假设 b 2 ac 0 知道方程组的系数行列式不等于零， 因此只有零解 x 0, y 0 ，即 (0,0) 点是驻点。
然而在一般情形下，这种方法往往是行 不通的，因为要从条件组
k ( x1 , x2 , , xn ) 0, k 1, 2, , m (m n)
解出 m 个变元常常是不可能的. 下面介绍的拉格朗日乘数法是求条件极 值的一种有效方法.
拉格朗日乘数法
在条件 ( x , y ) 0 下 , 求函数 z f ( x , y ) 的极值 .
以前讨论的极值问题对自变量只有定义域限制，
有时，除受自变量定义域限制外, 还受到其他的限制.
例如，要设计一个容量为 V 的长方体开口水箱，试 问水箱的长、宽、高各为多少时，其表面积最小？
为此，设水箱的长、宽、高分别为 x , y , z , 则表面积为
S 2( xz yz) xy
依题意，上述的长、宽、高不仅要符合定义域的要求： x > 0 , y > 0, z > 0, 而且还须满足条件
§12.7 条件极值问题 与Lagrange乘数法
光的折射问题
问：光线沿何路径由A到B？
物理：光线依时间最短路线行进！
·
a
A
光在空气和水中的速度分别为 v1 , v2

C
空气
a b t v1 cos v2 cos
求t的最小值！
b

水
c
·B
a tan b tan c
条件极值
得 这就是拉格朗日函数的驻点，由于 f 在有界闭集
{ ( x, y, z ) | x 2 y 2 z, x y z 1 }
上连续，故所求问题存在最大值与最小值.
计算 得： 计算 得
1 3 1 3 f( , , 2 3) 2 2
9 5 3,
1 3 1 3 f( , , 2 3) 2 2
由此方程组易得 x y z a , 并有 f (a , a , a ) 3 a .
下面给出 3 a 是条件最小值的理由.
记 S : x yz a 3 . 当 ( x , y , z ) S , 且 x 0, 或 y
0, 或 z 0 时, 都使得 f ( x , y , z ) . 故存在
设 ( x , y ) 0 可确定隐函数 y g ( x ) , 则问题等价于一元函数
z f ( x , g ( x )) h( x )
的极值问题, 由极值的必要条件，知极值点 x0 必满足
h( x 0 ) f x ( x 0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) g ( x0 ) 0 x , 故有 f x f y x 0 因 g y y
.
由于 S1 为一有界闭集, f 为连续函数, 因此 f 在
S1 上存在最大值和最小值. 而在 S \ S1 及 S1 上,
f 的值已大于 3 a , 故 f 在 S 上的最小值必在 S1 的内部取得. 又因 S1 内部只有惟一可疑点 (a , a , a ), 所以必定有
( x, y,z ) S
即
x
fx

fy
y
记 x y
fx
fy

极值点必满足
f x x 0
f y y 0
( x, y) 0
想法：把上面的条件极值点转化为一般极值点问题 构造一个函数使得其极值点就是上面函数的条件极值点 引入辅助函数 则极值点满足:
L( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y )
辅助函数L 称为拉格朗日( Lagrange )函数.利用拉格
朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.
利用拉格朗日乘数法求函数 z f ( x , y ) 在条件 ( x, y) 0
下的极值步骤如下： 1. 作拉格朗日函数
L( x , y , ) f ( x , y ) ( x , y )
下的最大值、最小值问题. 应用拉格朗日乘数法，
作拉格朗日函数
L( x , y , z , , ) x 2 y 2 z 2 ( x 2 y 2 z ) ( x y z 1)
令 L 的一阶偏导数都等于零，则有
2 x 2 x 0 2 y 2 y 0 2z 0 x2 y2 z 0 x y z 1 0
1 1 1 L ( x y z a 3 ), x y z
Lx 1 x 2 yz 0, L y 1 y 2 xz 0, Lz 1 z 2 x y 0, L x y z a 3 0.
2z y y z 0
解方程组
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
2z x x z 0 2( x y ) x y 0 x yz V 0
( y x )(1 z ) 0 1 z 0, 于是 z 1 , 代入⑴式得 若 2 0, 不合题意. 若 y x , 代入⑶式得 y x 4 , 代入⑴式得 y x 2 z 4 ,
9 5 3,
95 3,
所以该椭圆到原点的最长距离为 最短距离
95 3.
例 试求函数
1 1 1 f ( x , y , z ) ( x 0, y 0, z 0) x y z
3 x yz a (a 0) 下的最小值, 并由此导出相 在条件
应的不等式. 解 设 并使
⑴－⑵得
代入⑷式得 4
3
2V
得唯一驻点
4 x y 2 z 2V , 3 2V 由题意可知合理的设计是存在的,
3
因此 , 当高为
3
V 4,
长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.
思考:
当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何?
L 2( xz yz xy ) ( xyz V )
再考察函数 f 在 D 的边界 {( x, y) | x 2 y 2 1} 上的极值， 这是条件极值问题。
为此作 Lagrange 函数
L( x, y, ) ax2 2bxy cy 2 ( x 2 y 2 1) ，
并得方程组
(a ) x by 0, bx (c ) y 0, x 2 y 2 1 0 .
源自文库
min
f ( x, y, z )
( x , y , z ) S1
min
f ( x, y, z ) 3 a .
最后, 在不等式
1 1 1 3 , ( x, y, z ) S x y z a
中, 用 a
3
x yz 代入, 就得到一个新的不等式:
1 1 1 x y z
提示: 利用对称性可知,
x yz3V
例.
抛物面
被平面
x2 y2 z x y z 1 截成一个椭圆.
求这个椭圆到原点的最长与最短距离.
解 这个问题实质上就是求函数
f ( x, y, z ) x 2 y 2 z 2
在条件 x 2 y 2 z 0, x y z 1 0
的极值.
条件极值的一种求解方法是代入法.
思路：将条件极值化为无条件极值！
V 例如，在上述例子中，由条件 xyz V 解出 z xy
代入目标函数中， S 2( xz yz) xy
1 1 S 2V ( ) xy y x
然后求这个函数的无条件极值.
得到
条件极值的几何解释
( 0 a 2 ), 当 ( x, y, z ) S , 且 0 x , 0 y
, 0 z 时, 使得
f ( x, y, z ) 3 a .
又设 S1 ( x , y, z ) ( x, y, z ) S , x , y , z
将方程组中的第一式乘以 x ，第二式乘以 y 后相加， 再用第三式代入， 就得到 f ( x, y) ax2 2bxy cy 2 ( x 2 y 2 ) ，
这说明 f ( x, y) 在 {( x, y) | x 2 y 2 1} 上的极大值与极小值 包含在方程组关于 的解中。