弹性力学5-圣维南原理

h/2
h/2
∫ ∫ −h/ 2 (σ x )x=±l dy ⋅1 = ± −h/ 2 f x ( y)dy ⋅1
h/2
h/2
∫ ∫ σ( ) −h/ 2 x x=±l ydy ⋅1 = ± −h/ 2 f x ( y) ydy ⋅1
h/2
h/2
∫ ∫ −h/ 2 (τ xy )x=±l dy ⋅1 = ± −h/ 2 f y ( y)dy ⋅1
σ x x=b 0= τ xy x=b 0 σ y x=b = 0
竖直边界上没有σy，水平 边界上没有σx。
第二章 平面问题的基本理论
边界条件写法小结
（3）由圣维南原理写出
某些边界上，面力分布未知，仅知道面力作用的主矢与 主矩，这时只能应用Saint-Venant 原理来写边界条件。
a.在局部边界上切取薄片，建立平衡方程。应力均以 截面上的正方向标上。方程的中：外力主矢以应力正 向为正向，外力主矩以正的应力乘以正的力臂产生的 力矩为正向。
图（a）
F
图（b） F
F
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
圣维南原理的应用
注意：
边界力替换时必须满足静力等效条件。 只能在次要边界上实施，不能用于主要边界。
次要边界
F F/A
主要边界
F
F/A
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
圣维南原理的应用
（2）通过圣维南原理的使用，可以将一些难以处理 的边界条件转化为基本方程所能够满足的边界条件， 使得弹性力学问题得到解答。
在梁左端边界x=0处，切出一个（无穷薄的） 薄片，薄片的右端截面上有分布正应力σx 及剪应力τxy ，应力均按正向来画，切出 的薄片要保持平衡，建立薄片静力平衡方 程： 需要指出：由该边界所得解在X=0处不可用， 远处可用。
F/A
F
F/A
第二章 平面问题的基本理论
2.7 圣维南原理及其应用
如图所示的3根杆受到的端部拉力的 合力主矢为P，但3根杆件在近端部 截面处的应力分布完全不同，端部 区域的应力分布受到外部面力分布 的影响。而在端部较远处，这3中情 况下杆截面上的应力分布是一样的 。因此，对于物体局部边界上面力 分布不清楚，但面力合力已知的情 况下，边界可以放松处理，使应力 的合力与外部面力的合力相等。这 样得到的解答在远离这个局部边界 的地方可用，但在这个局部边界附 近解答不可用。
如果我们将弹性体外部面力直接当作应力来看待，则 某些与坐标轴垂直的简单边界上，其边界条件可直接 写出，不必按照公式法来写。
第二章 平面问题的基本理论 边界条件写法小结
（2）直接写法（直接在图上标出）
例2.5 写出如图所示弹性体的应力边界条件。
左竖直边界：x=0 σ x x=0 = −γ y τ xy x=0 = 0 上水平边界：= y=0 σ y y 0= = −q τ xy y 0 = τ 0 右竖直边界：x=b
P
P
P
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
低碳钢拉伸，轴力N是通过端部夹头的接触力得到的，
而接触力的分布情况是不清楚的，但面力的合成结果可以 确定，即轴力N，这个试件端部的精确的边界条件是无法写 出的，如何来求解这类问题？
为了扩大弹性力学解的适用范围，放宽这种限制，圣维南提 出了局部影响原理—圣维南原理。
1、左边式子等号两边均是单位面积上的力，而积分边界 条件两边是力或力矩；
2、左边式子是精确的，而右边积分边界条件是近似的；
3、在求解时，左边式子难以满足，而右边积分边界条件 易于满足。当小边界上的条件难于满足时，便可以用积分积 分边界条件来代替。
第二章 平面问题的基本理论
2.7 圣维南原理及其应用
第二章 平面问题的基本理论
2.7 圣维南原理及其应用
圣维南原理的面力等效替换性也可以 理解为应力的发散性，即外部面力的 作用总是趋向于发散、均匀的。
铅笔顶住手心时，只在笔尖部位有疼 痛感，远处几乎感觉不到疼痛。就是 因为笔尖处压应力大，并且在笔尖处 迅速扩散，因而其他地方感觉不到疼 痛。
用笔的另一头顶住手心，接触处疼痛 感没有笔尖顶住强烈，但其他地方还 是和用笔尖顶住时的感觉一样—没有 疼痛感。
第二章 平面问题的基本理论
2.7 圣维南原理及其应用
圣维南原理的应用
（1）有些位移边界不容易满足时，也可以用等效的分 布面力代替。
如图所示，（a）图中构件右端固定，位移边界条件，把（b）图 的解答用于（a）图时，位移边界条件不能满足。但是可以看出 （a）图右端的面力肯定可以合成一个过截面形心的集中力F，因 此根据圣维南原理，在离开两端较远处可以近似用（b）图的解 答代代替（a）图的解答。
第二章 平面问题的基本理论
2.7 圣维南原理及其应用
圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界
上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系 （主矢量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作 用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点 较远处，其影响可以忽略不计。
F
F
F/2
F/2
F/A
上式表明：
（1）等式左右两边的数值是相等的、方向是一致的。
（2）等式左边的符号可以按照应力的符号规定来确定： 应力的正方向就是应力矢量的正方向；正的应力乘以正的 力臂就是应力主矩的正方向。
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
如果给出的不是面力的分布，而是单位宽度上面力
的主矢量和主矩，则具体表达式为：
第二章 平面问题的基本理论 边界条件写法小结
（1）公式写法（课本上的“微分体法平衡法”式2-15 ） （a）确定边界的方程， （b）计算边界外法线的方向余弦l、m值， （c）计算相应边界上面力在坐标轴上的分量fx、fy， （d）带入P19式（2-15）
倾斜边界上的边界条件只能由公式法写出。
第二章 平面问题的基本理论
如图所示，单位厚度的梁，其左右两端作用有一般分 布的面力。试分析其边界条件。
按照严格的应力边界条件（2-15）式，应力分量在左右边
界上应满足条件： (σ x ) x=±l = ± f x ( y), (τ xy ) x=±l = ± f y ( y)
它要求在边界上不同点（所有y值处），应力分量必须处 处与面力分量对等。这种严格的边界条件是较难满足的。
b.直接写出等式形式（课本P23）。应力均以截面上 的正方向标上。外力主矢与应力正向合成的主矢方向 一致时，主矢等式右边直接取正号；外力主矩与正的 应力乘以正的力臂产生的力矩方向一致时，主距等式 右边直接取正号。
第二章 平面问题的基本理论 边界条件写法小结
（3）由圣维南原理写出
例2.6 如图所示悬臂梁端部受集中力P及弯矩作用，试写 出左端边界 x=0 处的应力边界条件。
∫h / 2 (σ −h/ 2
)x x=l
dy ⋅1 =
FN
h/2
∫ (σ −h/ 2
)x x=l
ydy
⋅1
=
M
h/2
∫ (τ −h/ 2
xy
) x=l
dy
⋅1
=
Fs
第二章 平面问题的基本理论
2.7 圣维南原理及其应用
将小边界上的精确边界条件与圣维南原理近似的积分
边界条件进行比较，可以得出：
(σ x )x=±l = ± f x ( y) (τ xy )x=±l = ± f y ( y)
第二章 平面问题的基本理论
2.7 圣维南原理及其应用
弹性力学问题的求解是在给定的边界条件下求解三套基
本方程。弹性力学的解必然要求物体表面的外力或者位移 满足边界条件。对于工程实际问题，构件表面面力或者位 移是很难完全满足这个要求，如图所示（面力分布情况不 清楚，但面力的合力-主矢主距清楚），力作用点处的边界 条件无法写出。这使得弹性力学解的应用将受到极大的限 制。
∫ ∫ −h / 2 (σ x ) x=±l dy ⋅1 = ± −h / 2 f x ( y)dy ⋅1
h/2
h/2
∫ ∫ σ( ) −h/ 2
x x=±l
ydy ⋅1 =
±
−h/ 2
f x ( y) ydy ⋅1
h/2
h/2
∫ ∫ −h / 2 (τ xy ) x=±l dy ⋅1 = ± −h / 2 f y ( y)dy ⋅1
圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的
面力是一个平衡力系（主矢量和主矩都等于零），那 么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处 的应力可以不计。这是因为主矢量和主矩都等于零的 面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生 显著的应力。
第二章 平面问题的基本理论 边界条件写法小结
弹性力学问题实际上是三大方程（微分方程）—泛定 方程，在定解条件—边界条件下求解的边值问题。因 此边界条件对弹性力学的解答起着至关重要的作用， 错误的边界条件会导致错误的解答，会给工程问题留 下隐患，正确写出边界条件是弹性力学求解的首要问 题。 公式写法（课本上的“微分体平衡法”式2-15） 直接写法（直接在图上标出） 应用圣维南原理法
h/2
h/2
∫ ∫ σ( ) −h/ 2
x x=±l
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ydy ⋅1 = ±
−h/ 2
f x ( y) ydy ⋅1
h/2
h/2
∫ ∫ −h / 2 (τ xy ) x=±l dy ⋅1 = ± −h / 2 f y ( y)dy ⋅1
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
h/2
h/2
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
但是当l≥h时，左右两端边界是小边界，这时可应用圣维
南原理，用如下静力等效条件来代替上述条件：在这一局 部边界上，使应力的主矢量和主矩分别等于对应的面力（ 已知）的主矢量和主矩。（绝对值相等，方向相同）
h/2
h/2
∫ ∫ −h / 2 (σ x ) x=±l dy ⋅1 = ± −h / 2 f x ( y)dy ⋅1
第二章 平面问题的基本理论 2.7 圣维南原理及其应用
静力等效 两个力系，若其主矢量相同、对同一点的主距也相同， 则这两个力系静力等效。
∑ ∑ =R = Fi Mo Mo ( Fi )
这种静力等效只是从力的平衡角度考虑的，对于刚体完全正确， 但是对于变形体一般不等效，需要将力系作用范围限定在变形 体小部分边界上，物体内部离边界较远处所产生的作用效应才 满足这种等效关系。
面力分量：fx x= ytgα = −q cosα
f y x= ytgα = q sin α
( )
σ
x
cosα
−τ xy
sin α
= -q cosα
x= ytgα
( )
τ xy cosα −σ x sin α
= q sinα
x= ytgα
第二章 平面问题的基本理论 边界条件写法小结
（2）直接写法（直接在图上标出） 只适用于特殊边界面—与坐标面平行的边界。 公式写法是将弹性体外部边界上的面力作为外力来处 理，由内部应力与外部面力的平衡来建立边界条件推 导出公式。
边界条件写法小结
例题2.4 写出图示楔形体的边界条件，楔形体底面固定在地面。
位移边界条件：底面y== h u 0= , v 0 =y h=y h
应力边界条件：
竖直边界：x=0
方向余弦 l=-1，m=0 面= 力分= 量：fx x 0= γ= y , f y x 0 0 带入式（2-15）：
σ x x=0 -γ= y , τ xy x=0 0 右斜边界：x=ytgα 方向余弦 l=cosα，m=-sinα