电磁场与电磁波(第四版)课后答案 第一章_习题

（7）A •
rr BC
=
rr A B
r •C
r ex
r ey
2
r ez
3
erx •0
ery 4
erz 1
5 0 2
1 2 3
0 4 1 8 10 60 42
5 0 2
(8)
r A
Br
r C
r C
r A
r B
r r r r r r
C
•
B
A
C•A
B
2 erx ery 2 erz 3 5 0 6 ery 4 erz
B即可由一个标量函数的梯度表示;
2)场源分布:
v
vB
=
B v
2
sin
,
JB= B 0
3) C是用直角坐标表示的，
ex ey ez
ex
C
x y z x
ey ez
y z
Ax Ay Az 3y2 2x x2 2z
ex0 0 ey0 0 ez 2x 6 y
ez 2x 6 y 0
r r r r r r
（8） A B C和A B C 。
解:
r
（1）ar A
A A
erx ery 2 erz 3 erx ery 2 erz 3 ;
1 22 32
14
r （2）A
r B
erx
1 0 ery
2 4
erz
3 1
1 62 42 53;
rr
（3）A• B 10 24 31 11;
分别与x轴和y轴相重合。Av 再求
对此回路所包
围的表面积分，验证斯托克斯定理。y
斯托克斯定理：
0, 2
2, 2
解：
r
Ñ A•
r dl
Av
•
r dS
C
S
o
蜒 r r A• dl
r ex
x
r ey
x
2
r ez
y
2
z
r •dl
C
C
2,0 x
2
2
0
0
xdx 22dy xdx 0dy 8
f y
erz
f z
vv
f A Af
补域充, 对：矢在量Av 由evρ=2 5 e，vz 2zz=0和验z=证4围散成度的定圆理柱。形区
z
证:散度定理为：
v Adv
r
Ñ A
v dS
v
s
z
v A
1
A
1 A Az 3 2; z
or
y
x
v
2 4 5
Adv 3 2 dddz d dz3 2 d 1200
解：根据下面两个重要的恒等式求解：
• A 0
(u) 0
1)
显然A是用球坐标表示的，
A
er
e
e
er
r2 sin r sin
r
r
r2 sin
r
Ar
rA r sin A sin cos
e
r sin
r cos cos
e
r
r sin sin
r
2
er sin
r
cos
Leabharlann Baidu
sin
r
cos
1.9 用12球))、 、坐求 求标在 E表 与点示矢(的-量3场,B4E,-e5xe)2r处2r52的 e,y 2E和ezE构x;成的夹角。
1),
E
25 r2
0.5;
Ex
E
ex
25 r3
(ex x
ey
y
ez z)
ex
25
3
503
0.2121
1.9 用12球))、 、坐求 求标在 E表 与点示矢(的-量3场,B4E,-e5xe)2r处2r52的 e,y 2E和ezE构x;成的夹角。
c
c
2
yd
2y2
2 y2dy
1
2 6 y2dy 14 1
（2）连接两点的直线方程为 x 2 x 8 x 6 y 4 y 1 y 2
故
rr
c Egdl Exdx Eydy ydx xdy
c
c
2
1
yd
6
y
4
6
y
4
dy
14
由此可见积分与路径无关是保守场。
vvv
1.27 三个矢量A, B,C
积分，验
A
证散度定理
解：（1）
v gA
x2
x2 y2
24x2 y2z3
x y
z
2x 2x2 y 72x2 y2z2
（2）gAv 对中心在原点的一个单位立方体的积
分
v gAdV
1 2
1 2
1 2
2x 2x2 y 72x2 y2z2 dxdydz
1
v
1 2
1 2
1 2
evr ev r sinev
evr ev
ev
1
r r
1 1 1
r sin r r r sin
Ar A r sin A
Ar A
A
1.28利用直角坐标，证明
f
v A
vv f A Af
证 令Av evx Ax evy Ay evz Az , f f (x, y, z),
v fA
evx fAx evy fAy evz fAz
fAx fAy
x
y
fAz
z
f
Ax x
Ax
f x
f
Ay y
Ay
f y
f
Az z
Az
f z
f
Ax x
f
Ay y
f
Az z
Ax
f x
Ay
f y
Az
f z
f
Ax x
Ay y
Az z
v A
erx
f x
ery
v P
v A
v A
v X
＝
v A
v X
Av－
v A
Av
v X
代p
v A
Xv，有Av
v P
pAv－
v A
2
v X
v vv
v X
pA A P v2
A
1.9 用12球))、 、坐求 求标在 E表 与点示矢(的-量3场,B4E,-e5xe)2r处2r52的 e,y 2E和ezE构x;成的夹角。
解:根据直角坐标系与球坐标系中单位矢量之间的关系 :
第一章作业
1.1
给定三Ar个矢erx 量Arer,yBr2
和Cr
r ez 3
如下：
r B
ery
4
erz
r C 求：（1）ar A ;
erx 5 erzr2 （2）A
r B
;
rr （3）A• B;
rr
（4） r
AB
; r
（5）A在B上的分量; r rr r
r
r
（6）AC;（7）A• B C 和 A B • C；
1)
v A
evr
sin
cos
evθ
cos
cos
ev
sin
2)
v B
ev z2
sin
+ ev
z2
cos
+evz 2 z
sin
3)
v C
evx
3y2 - 2x
+ evyx2 + evz 2z
问：1.哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？ 哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？
2.求出这些矢量的源分布。
r
r sin
r sin
2sin cos cos 1 2sin2 cos
r
r sin
r sin
0
A 即可由一个标量函数的梯度表示; 2)场源也分可布由: 一个A 矢= 量函A数 的0,旋度表示。
JA = A 0
2) Bv是用柱坐标表示的，
ev
ev
evz
ev
v B
z
B B Bz z2 sin
2
1 2
2
dxdz
1 2
1 2
1 2
1 2
24
x
2
y
2
1 2
3
dxdy
1 2
1 2
1 2
1 2
24x2 y2
1 2
3
dxdy
1 24
故有
v
v gAdV
1 24
vr
Ñs Agds
1.21 求矢量
v A
r ex
x
r ey
x2
r ez
y
2
z
沿xy平面上的一个边
长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两个边
C
A BA A AB ACA A AC
A AB A AC
A
B
A
C
A2
B
A2C
BC
1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积 和已矢知p 量矢 A积量 X，，那P么 A便而X可 p以确P定，该未和知已矢知量XA ，。试设求为一。
解：
v vv Q P A X,
两边用Av作叉乘
有：
v A
2),
cos
EB
25 r3
(ex x
ey y
ez z
)
ex 2 ey 2 ez
EB
0.5 22 (-2)2 12
25
(2x 2y r3 0.5 3
z)
0.8957
arccos(0.8957) 153.6
1.11求标量函数， x2 yz的梯度及 在一个指定方向的方
向
24
蜒 A（vgd3sr）Av
对此立方体的表面积分
xˆx2 yˆx2 y2 zˆ24x2 y2z3
gdsr
s
s
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2
dydz
1 2
1 2
1 2
12
1 2
2dydz
1 2 12
1 2
1 2
x
2
1 2
2
dxdz
1 2
1 2
1 2
12
x
v
v
0 00
蜒 r v A dS
ev 2 evz 2z
v 2 4
2 5
dS 2dzd 2zd d 1200
s
s
00
00
从而验证了散度定理。
r
Ñ A
•
r dl
Av
•
r dS
C
S
1.25给定矢量函数Er xˆy yˆx试求从点P1（2，1，－1）
到点P2（8，2，－1）的线积分Er gdlr （1）沿抛物线
x 2y2；（2）沿连接两点的直线。此矢量场是否为保
守场。
解（1）
rr Egdl
c
Exdx Eydy
ydx xdy
r el
r ex
导数，此方向由单位矢量
3 50
r ey
4 50
r ez
5 50定出；
求（2，3，1）点的方向导数值。
解： xˆ x2 yz yˆ x2 yz zˆ x2 yz
x
y
z
xˆ2xyz yˆx2z zˆx2 y
故沿指定方向的方向导数为
l
gerl
6xyz 50
4x2z 50
5x2 y 50
点（2，3，1）处沿erl的方向导数值
＝ 36 16 60 ＝ 112 l 50 50 50 50
1.13方程
u
x2 a2
y2 b2
cz给22 出一椭球族。求椭球表面上
任意
点的单位法向矢量。
解：由于 u xˆ 2x yˆ 2y zˆ 2z a2 b2 c2
u 2
x a2
ev
z2 cos
evz
z
2 z sin
ev
2 z cos
2z
cos
ev
2z
sin
2z
sin
evz
z2 cos z2 cos
0
v B
1
B
1 B Bz
z
1 z2 sin 1 z2 cos 2z sin
z
z2 sin z2 sin 2 sin
2 sin 0
evr evx sin cos evy sin sin evz cos
evx
x r
evy
y r
evz
z r
1 r
(evx
x
evy
y
evz
z);
知在直角坐标系中,
v E
evr
25 r2
25 r3
(evx x
evy
y
evz z),
另依题意知，在点(-3,4,-5)处, r x2 y2 z2 50
0
0
2
2
rr ex ey
v A
x y
r ez
z
erx 2 yz ery 0 erz 2x
x x2 y2z
v A
r 22 • dS
erx 2 yz ery 0 erz 2x
• erzdxdy
S
00
22
22
2xdxdy dy 2xdx 8
00
00
从而验证了斯托克斯定理，即：
C
Ax
Ay
Az
x y z
3y2 2x x2 2z 2 2 0
x
y z
2)场C源可分由布一: 个J矢c 量= 函数C的旋ez度2表x 示 6。y
球坐标中，
v A
evr
ev
ev
r2 sin r sin
r
r
evr rev r sinev
r
1
r2 sin
Ar
rA r sin A Ar rA r sin A
sin
e sin sin sin sin
r sin
e cos cos cos cos
r
0
v
A
1
r2 r
r 2 Ar
1
r sin
sin
A
1
r sin
A
1
r2 r
r2 sin cos
1 sin cos cos 1
r sin
r sin
sin
2sin cos cos cos2 sin2 cos
rr
（4）cos AB
A•B AB
11
14 42 1
11 238
AB arccosAB 135.5。;
rr （5）A在B上的分量;
r
A B AcosAB
14
11 11 238 17
r r erx （6）AC 1
ery 2
erz 3
erx 4
ery13 erz10;
5 0 2
r
erx 2 ery 40 erz 5
r A
r B
r C
=
r A
•
r C
r B
r A
•
r B
Cr
5 0 6
rr ey 4 ez
0
8
3
r ex
5
r ez
2
r ex
55
r ey
44
erz11。
1.6
证明：如果
AB
AC和AB
AC，则BC。
证：
对A
B
A
C两边取A的叉积
A
A
B
A
A
2
y b2
2
z c2
2
故椭球表面上任意点的单位法向矢量为
ern
u u
xˆ
x a2
yˆ
y b2
zˆ
z c2
x a2
2
y b2
2
z c2
2
1.18 （1）求矢量Av xˆx2 yˆx2 y2 zˆ24x2 y2z3
的
散立度方；体（的积2）分求；gAv（3v）对求中心对在此原立点方的体一的个表单面位