层次分析法AHP、ANP与熵值法(带例子和软件操作说明)

i 1
n
i
n
显然，当矩阵具有完全一致性时， 1 max n 其余特征根均为0；而当矩阵A不具有完全一致性 时，则有1 max n，其余特征根λ2，λ3，λn有如下 关系：
n
i 2 i
n
max
上述结论告诉我们，当判断矩阵不能保证具有完全 一致性时，相应判断矩阵的特征根也将发生变化， 这样就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的 一致性程度。因此，在层次分析法中引入判断矩阵 最大特征根以外的其余特征根的负平均值，作为度 量判断矩阵偏离一致性的指标，即用： max n CI n 1 检查决策者思维的一致性。CI值越大，表明判断矩 阵偏离完全一致性的程度越大；CI值越小（接近于 0），表明判断矩阵的一致性越好。
当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0； 当判断矩阵具有满意一致性时，需引入判断矩阵的平均 随机一致性指标RI值。对于1-9阶判断矩阵，RI值如下：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均 随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率CR，当 CR=CI/RI<0.10时，可以认为判断矩阵具有满意的一 致性，否则需要调整判断矩阵。
（2）构造判断矩阵
判断矩阵的一般形式
Bk C1 C 2 C n C1 C11 C12 C1n C 2 C 21 C 22 C2 n
C n C n1 Cn 2 C nn 性质：（1）Cij>0;（2）Cij=1/Cji;（3）Cii=1 此时，矩阵为正反矩阵。若对于任意i、j、k，均有 Cij*Cjk=Cik，则C为一致矩阵。
注：2，4，6，8和1/2，1/4，1/6，1/8介于其间。
对于上述例子，假定企业 领导对于资金使用这 个问题的态度是：首 先是提高企业技术水 平，其次是改善员工 物质生活，最后是调 动员工的工作积极性。 则准则层对于目标层 的判断矩阵A-B为：
A B1 B2 B3
B1 1 5 3
B2 1/5 1 1/3
λ max=5.1141 CI=(λ max-n)/(n-1)=(5.1141-5)/(5-1)= 0.1141/4=0.0285 RI（5）=1.12 CR=CI/RI=0.0285/1.12=0.0255<0.10 因此，通过一致性检验。 ③求得权重 权重即为最大特征根对应的特征向量W=[0.3697,0.0906, 0.0595,0.3697,0.8455]进行归一化后的结果， w=W./sum(W) =[0.2131,0.0522,0.0343,0.2131,0.4873]
对于判断矩阵B1，其ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ算结果为：
0.491 0.232 W 0.092 , max 5.126, CI 0.032, RI 1.12, CR 0.028 0.138 0.046
对于判断矩阵B2，其计算结果为：
0.550 0.564 , max 4.117, CI 0.039, RI 0.90, CR 0.043 W 0.118 0.263
（3）判断矩阵的一致性检验
判断矩阵的一致性，是指专家在判断指标重要性时， 各判断之间协调一致，不致出现相互矛盾的结果。 出现不一致在多阶判断的条件下，极容易发生，只 不过是不同的条件下不一致的程度上有所差别而已。 根据矩阵理论可知，如果λ满足： Ax x 则λ为A的特征值，并且对于所有aii=1，有
准确计量的场合。

应用层次分析法时，首先要把问题层次化。根据问题的性质和 要达到的目标，将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互 关联影响及其隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层 次的分析结构模型。并最终把系统分析归结为最底层，相对于最高 层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。在排 序计算中，每一层次的因素相对上一层次某一因素的单排序问题又 可简化为一系列成对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层 次分析法引入了1-9标度法，并写成判断矩阵形式。形成判断矩阵后， 即可通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，计算出 某一层对于上一层次某一个元素的相对重要性权值。在计算出某一
1-9标度方法
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 重要性等级 i，j两元素同等重要 i元素比j元素稍重要 i元素比j元素明显重要 i元素比j元素强烈重要 i元素比j元素极端重要 i元素比j元素稍不重要 i元素比j元素明显不重要 i元素比j元素强烈不重要 i元素比j元素极端不重要 Cij赋值 1 3 5 7 9 1/3 1/5 1/7 1/9
（1）构造层次分析结构
目标层 资金合理使用 A
准则层
调动职工积 极性 B1
提高企业技 术水平 B2
改善职工生 活 B3
方案层 C1 发奖 金
C2 扩建 福利设施
C3 办职 工进修班
C4 建图 书馆等
C5 引进 新设备
每一层次中的元素一般不超过9个，因同一层次中包含数 目过多的元素会给两两比较判断带来困难。
（4）层次单排序
理论上讲，层次单排序计算问题可归结为 计算判断矩阵的最大特征根及其特征向量的问 题。但一般来说，计算判断矩阵的最大特征根 及其对应的特征向量，并不需要追求较高的精 确度，因为判断矩阵本身有相当的误差范围。 而且，应用层次分析法给出的层次中各种因素 优先排序权值从本质上来说是表达某种定性的 概念。因此，一般用迭代法在计算机上求得近 似的最大特征值及其对应的特征向量。在此给 出计算矩阵最大特征根及其对应特征向量的方 根法的计算步骤：
W W1 , W2 , , Wn
T

i 1
n
AW i
nWi
其中，（AW）i表示向量AW的第i个元素。
对于判断矩阵A，其计算结果为：
0.105 W 0.637 , max 3.308, CI 0.019, RI 0.58, CR 0.033 0.258
对于判断矩阵B3，其计算结果为：
0.406 0.406 , max 4, CI 0, RI 0.90, CR 0 W 0.094 0.094
（5）层次总排序
层次B B1 层次C 0.105 C1 0.491 C2 0.232 C3 0.092 C4 0.138 C5 0.046 B2 0.637 0 0.055 0.564 0.118 0.263 B3 0.258 0.406 0.406 0.094 0.094 0 总排序W
AHP、ANP、熵值法
其中，AHP、ANP既是一种评价方法，但更 常用来计算指标权重。 而熵值法则是一种根据指标反映信息可靠程 度来确定权重的方法。
一、AHP
层次分析法（AHP）是美国著名的运筹学家Satty等人 在20世纪70年代提出的将一种定性和定量分析相结合的多准 则决策方法。这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、 影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次 结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数 学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策 问题，提供一种简便的决策方法。具体的说，它是指将决策 问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，用一种标 度对人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性和定 量分析的一种决策方法。他把人的思维过程层次化、数量化， 并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。它尤 其适合于人的定性判断起主要作用的、对决策结果难于直接
B3 1/3 3 1
1 1/ 5 1/ 3 A 5 1 3 3 1/ 3 1
同样，可得：
1 2 3 4 1/ 3 1 3 2 B1 1/ 5 1/ 3 1 1/ 2 1/ 4 1/ 2 2 1 1/ 7 1/ 5 1/ 2 1/ 3
7 5 1 1 1 1 1 3 B3 1/ 3 1/ 3 1 1/ 3 1/ 3
1 1/ 7 1/ 3 1/ 5 7 1 5 3 B2 3 1/ 5 1 1/ 3 1 5 1/ 2 3
3 3 3 3 1 1 1 1
b
j 1 3 j
cij
0.157 0.164 0.393 0.113 0.172
（6）决策
企业领导根据上述分析结果，决定各种考虑 方案的实施先后次序，或者决定分配企业留 成利润的比例。
算例
有5个指标：X1对X2明显重要；X1对X3强烈重要； X1对X4同等重要；X1对X5稍不重要。采用AHP方法 计算指标权重。 ①列出判断矩阵
①计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi
M i aij
j 1 n
②计算Mi的n次方根 W
i
Wi
1 2 n
n
Mi
③对向量 W W ,W ,,W 正规化（归一化处理）
T
Wi
Wi
W
j 1
n
j
则 即为所求的特征向量。 ④计算判断矩阵的最大特征根
max
二、ANP（网络分析法）
AHP是基于以下几个假设进行决策的，而这几个假设与某些实际 决策问题有背离： （1）将决策系统分为若干层次，上层元素对下层元素起支配作用， 同一层元素之间是相互独立的，但实际上，一般各层内部的元 素之间都存在依存关系，同时下层对上层也有反支配（反馈） 的作用； （2）决策问题可分为多个层次，上层元素对下层元素起控制，同 一层次的元素间相互独立，不存在内部的相互依赖性。而实际 决策问题中某些指标往往存在相互影响； （3）各个层次间只是存在相邻两个层次间自上向下的影响作用， 没有考虑下层对上层的反作用。非相邻层次间的相互影响也没 有考虑。而在实际决策中下层元素对上层元素有反作用（反 馈）。 ANP则取消了这些假定，在理论上允许决策者考虑复杂动态系统中 各要素的相互作用，从而更符合决策问题的实际情况。
5 1 1/ 5 1 A 1/ 7 1/ 2 5 1 3 8
1/ 3 2 1/ 5 1/ 8 1 1/ 7 1/ 9 7 1 1/ 3 9 3 1 7 1
②一致性检验 求最大特征根：在此采用MATLAB软件求取 A=[1,5,7,1,1/3;1/5,1,2,1/5,1/8;1/7,1/2,1,1/7,1/9;1,5,7,1,1/3;3,8,9,3,1] [B，D]=eig（A） 则：B = 0.3697 -0.0645 + 0.2358i -0.0645 - 0.2358i -0.2806 -0.7071 0.0906 -0.0633 - 0.0182i -0.0633 + 0.0182i 0.2303 -0.0000 0.0595 -0.0063 - 0.0620i -0.0063 + 0.0620i -0.1231 -0.0000 0.3697 -0.0645 + 0.2358i -0.0645 - 0.2358i -0.2806 0.7071 0.8455 0.9339 0.9339 0.8799 0.0000 D= 5.1141 0 0 0 0 0 -0.0177 + 0.7618i 0 0 0 0 0 -0.0177 - 0.7618i 0 0 0 0 0 -0.0786 0 0 0 0 0 -0.0000
层次相对于上一层次各个因素的单排序权值后，用上一层次因素本 身的权值加权综合，即可计算出层次总排序权值。总之，依次由上
向下即可计算出最低层因素相对于最高层的相对重要性权值或相对 优劣次序的排序值。
AHP的模型与步骤
假设某一企业经过发展，有一笔利润资金，要企业高层 领导决定如何使用。企业领导经过实际调查和员工 建议，现有如下方案可供选择： （1）作为奖金发给员工； （2）扩建员工宿舍、食堂等福利设施； （3）办员工进修班； （4）修建图书馆、俱乐部等； （5）引进新技术设备进行企业技术改造。 从调动员工工作积极性、提高员工文化技术水平和改善 员工的物质文化生活状况来看，这些方案都有其合 理因素。如何使得这笔资金更合理的使用，就是企 业领导所面临需要分析的问题。