概率统计期末复习题

设二维随机变量),(Y X 的概率密度为

101010, x ,y ,

f (x,y ), <<<<⎧=⎨

⎩其他

（1）求 , EX EY ； （2）求协方差(,)Cov X Y ；

（3）令2, 2U X Y V X Y =+=-,求协方差(,)Cov U V .

解：(1) 11

001(,),2

EX xf x y dxdy xdxdy +∞

+∞

-∞-∞===⎰⎰⎰⎰

11001

(,),2

EY yf x y dxdy ydxdy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰

(2) 11001

(,),4

EXY xyf x y dxdy xydxdy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰

(,)0Cov X Y EXY EXEY =-=

(3) 11

2

2

2001(,),3

EX x f x y dxdy x dxdy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰

11222

00

1(,),3

EY y f x y dxdy y dxdy +∞+∞-∞-∞===⎰⎰⎰⎰ 22(,) =4(2)(2)11311

=433224

Cov U V EUV EUEV

EX EY EX EY EX EY =---+-⨯--⨯=

1. 甲罐中有一个白球，二个黑球，乙罐中有一个白球，四个黑球，现掷

一枚均匀的硬币，如果得正面就从甲罐中任取一球，如果得反面就从乙罐中任取一球，若已知取的球是白球，试求此球是甲罐中取出的概率。 解：令 {}B =摸出的球是白球,12{}, {}A A ==球取自甲罐球取自乙罐,则

1212, =A A A A Ω 互不相容，且 ,

由题意知 121()=()=2P A P A ，1211

(|), (|)35

P B A P B A ==, 利用

Bayes 公式知

1111122()(|)

(|)()(|)()(|)

P A P B A P A B P A P B A P A P B A =

+

11231111

232558⨯=

⨯+⨯=

3. 设随机变量X 的密度函数为：||() ()x f x Ce x -=-∞<<+∞

（1）试确定常数C ； （2）求()1P X <； （3）求2Y X =的密度函数. 解（1）()0

221x

x f x dx Ce dx C e dx C +∞+∞+∞

---∞

-∞

====⎰

⎰⎰

得：12C =

()()12

x

f x e x -∴=-∞<<+∞

（2）()111011

112x x P X e dx e dx e

---<===-⎰⎰

（3）当0

当0≥y 时，

()()(

)

20

12y

y x

x y F y P X y P y X y e dx e dx ---

=≤=-≤≤

==⎰

⎰ ()()0002y ,

y f y F y e ,y y -<⎧⎪

'∴==⎨≥⎪⎩

4. 进行9次独立测试，测得零件加工时间的样本均值

5.5x =（秒），样本标准差

1.7s =（秒）. 设零件加工时间服从正态分布),(2σμN ，求零件加工时间的均值

μ及方差2σ置信度为0.95的置信区间.

5.食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐的标准重量为500（g ），每隔一定时间检查机器工作情况，现抽取16瓶，测得其重量，计算得平均重量502x g =，样本方差242.25s =，假设罐头重量X 服从正态分布),(2σμN ，问：机器工作是否正常？（显著性水平02.0=α, 分布表见最后一页）

解： 01:500, :500H H μμ=≠

令 (

)500

n X T S

-=

, 则 (15)T t

查的临界值 t α=2.602,

拒绝域为： || 2.602T >

（1） 将样本观测值代入T 可得

4(502500)

|| 1.231 2.6026.5

t -=

=<

从而接受原假设 0H , 即机器工作正常.

6．设总体X 的概率密度为(1),01

(;)0,x x f x θθθ⎧+<<=⎨⎩其它，其中(1)θθ>-是未知参数，

12,,,n X X X 是X 的样本，求参数θ 的矩估计量与最大似然估计量.

解 （1）矩估计量

1

10

1

()(1)2

E X x x dx θθμθθ+==⋅+=

+⎰

1

1121μθμ-⇒=

-12ˆ1

X X θ

-⇒=- 最大似然估计量

对于给定样本值12,,,,n x x x 似然函数为

1

1

()(;)(1)n n

i i i i L f x x θθθθ====+∏∏12(1)(),01n n i x x x x θθ=+<<

1()ln(1)ln n

i i lnL n x θθθ==++∑，1

()ln 01n

i i d n

lnL x d θθθ==+=+∑

1

1

ln ˆln n

i

i n

i

i n x x

θ

==+⇒=-∑∑，最大似然估计量为1

1

ln ˆln n

i

i n

i

i n X X

θ

==+=-∑∑

设总体X 的概率密度为

(1),01,

(;)0,

,x x f x θθθ⎧+<<=⎨

⎩其它 其中θ>-1为未知参数，又设x 1,x 2, ,x n 是X 的一组样本观测值，求参数θ的最大