现代控制理论课件(东北大学)
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x (t ) x1 (t ), , xn (t )
T
(4) 状态空间：以状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 为坐标轴构成 的n维空间 (5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 (t ) Ax(t ) Bu(t ) 分方程（组）：x
2016年2月5日
2016年2月5日
第2章 控制系统状态空间描述
2016年2月5日
第二章 控制系统状态空间描述
输入输出模式
状态变量模式
黑箱子
动力学特性
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.1 基本概念
2.1.1 几个定义：
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.1 基本概念
L
R2
u
iL
R1
uc
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.0 系统如图所示
L
R2
u
iL
duC diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt
uc
R1
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
整理得：
uC R1 diL u iL R1 R2 dt L L R1 R2 L R1 R2
duC R1 1 iL uC dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
第二章 控制系统状态空间描述
整理得：
uC R1 diL u iL R1 R2 dt L L R1 R2 L R1 R2
duC R1 1 iL uC dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
状态方程
dx1 R1 x2 u 1 R1R2 x1 dt L R1 R2 R1 R2 L L
(t ) f ( x(t ), u (t ), t ) x y (t ) g ( x(t ), u (t ), t )
2016年2月5日
或
f ( x, u , t ) x y g ( x, u , t )
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.1.3 状态空间表达式的状态变量图
整理得：
uC R1 diL u iL R1 R2 dt L L R1 R2 L R1 R2
duC R1 1 iL uC dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
第二章 控制系统状态空间描述
整理得：
uC R1 diL u iL R1 R2 dt L L R1 R2 L R1 R2
duC R1 1 iL uC dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
状态方程
dx1 R1 x2 uC 1 R1R2 x1 dt L R1 R2 R1 R2 L L
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
状态方程
dx1 R1 x2 uC 1 R1R2 x1 dt L R1 R2 R1 R2 L L
dx2 R1 1 x1 x2 dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
输出方程
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
2016年2月5日
现代控制理论
东北大学信息科学与工程学院 姜囡 讲师
二○一一年三月
2016年2月5日
第1章 绪论 第2章 控制系统状态空间描述 第3章 状态方程的解 第4章 线性系统的能控性和能观测性
第5章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
第6章 状态反馈和状态观测器
第7章 最优控制
第8章 状态估计
dx2 R1 1 x1 x2 dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
输出方程
2016年2月5日
y uC x2
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
写成矩阵形式
1 R1 R2 1 L R1 R2 x x R 2 C(R R ) 1 2 x1 y 0 1 x2
2.1.1 几个定义：
(1) 状态：系统过去、现在和将来的状况
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.1 基本概念
2.1.1 几个定义：
(1) 状态：系统过去、现在和将来的状况
(2) 状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.1.2 状态空间表达式的一般形式：
(1) 线性系统
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) x
y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t )
q p y R u R , xR ,
n
其中，A 为系统矩阵，B 为控制矩阵，C 为输出矩阵，D 为直 接传递矩阵。 (2) 非线性系统
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
(3) 状态向量：以系统的n个独立状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 作为分量的向量，即
x (t ) x1 (t ), , xn (t )
T
(4) 状态空间：以状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 为坐标轴构成 的n维空间 (5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 (t ) Ax(t ) Bu(t ) 分方程（组）：x (6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式： y(t ) Cx(t ) Du (t )
1 x2 x 2 x3 x 3 6 x1 3x2 2 x3 u x
则其状态图为
u
y x1 x2
x3 x2 x1 y
+
++
2 3 6
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
例2.1.2
设三阶系统状态空间表达式为
1 x2 x 2 x3 x 3 6 x1 3x2 2 x3 u x
例2.1.1
设一阶系统状态方程为 则其状态图为
ax bu x
u
b
x
x
+
a
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
例2.1.1
设一阶系统状态方程为 则其状态图为
ax bu x
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
例2.1.2
设三阶系统状态空间表达式为
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.1.2 状态空间表达式的一般形式：
(1) 线性系统
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) x
y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u(t )
q p y R u R , xR ,
n
其中，A 为系统矩阵，B 为控制矩阵，C 为输出矩阵，D 为直 接传递矩阵。
R1 1 L( R1 R2 ) x1 L u 1 x2 0 C ( R1 R2 )
第ห้องสมุดไป่ตู้章 控制系统状态空间描述
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.0 系统如图所示
L
R2
u
iL
duC diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt
uc
R1
duC diL L C R2 uC u dt dt
2016年2月5日
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
(3) 状态向量：以系统的n个独立状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 作为分量的向量，即
x (t ) x1 (t ), , xn (t )
T
(4) 状态空间：以状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 为坐标轴构成 的n维空间 (5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 (t ) Ax(t ) Bu(t ) 分方程（组）：x (6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式： y(t ) Cx(t ) Du (t ) (7) 状态空间表达式： (5)+(6).
加法器
积分器
放大器
绘制步骤：(1) 绘制积分器 (2) 画出加法器和放大器
(3) 用线连接各元件，并用箭头示出信号传递
的方向。
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
例2.1.1
设一阶系统状态方程为 则其状态图为
ax bu x
u
b
x
x
+
a
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
状态变量的特点：
(1) 独立性：状态变量之间线性独立 (2) 多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种 方案 (3) 等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异线性变换 (4) 现实性：状态变量通常取为含义明确的物理量 (5) 抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.0 系统如图所示
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.0 系统如图所示
dx2 R1 1 x1 x2 dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
整理得：
uC R1 diL u iL R1 R2 dt L L R1 R2 L R1 R2
duC R1 1 iL uC dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
则其状态图为
u
y x1 x2
x3 x2 x1
+
y
+
++
2 3 6
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.2 状态空间表达式的建立
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：
2016年2月5日
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
(3) 状态向量：以系统的n个独立状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 作为分量的向量，即
x (t ) x1 (t ), , xn (t )
T
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
(3) 状态向量：以系统的n个独立状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 作为分量的向量，即
x (t ) x1 (t ), , xn (t )
T
(4) 状态空间：以状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 为坐标轴构成 的n维空间
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
(3) 状态向量：以系统的n个独立状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 作为分量的向量，即
整理得：
uC R1 diL u iL R1 R2 dt L L R1 R2 L R1 R2
duC R1 1 iL uC dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
状态方程
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
2.1 基本概念
2.1.1 几个定义：
(1) 状态：系统过去、现在和将来的状况
(2) 状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：
a)
x(t )t t0 x(t0 )
表示系统在 时刻的状态
b) 若初值 x (t0 ) 给定，t t0 时的 u(t ) 给定， 则状态变量完全
确定系统在 t t0 时的行为。
T
(4) 状态空间：以状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 为坐标轴构成 的n维空间 (5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 (t ) Ax(t ) Bu(t ) 分方程（组）：x
2016年2月5日
2016年2月5日
第2章 控制系统状态空间描述
2016年2月5日
第二章 控制系统状态空间描述
输入输出模式
状态变量模式
黑箱子
动力学特性
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.1 基本概念
2.1.1 几个定义：
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.1 基本概念
L
R2
u
iL
R1
uc
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.0 系统如图所示
L
R2
u
iL
duC diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt
uc
R1
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
整理得：
uC R1 diL u iL R1 R2 dt L L R1 R2 L R1 R2
duC R1 1 iL uC dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
第二章 控制系统状态空间描述
整理得：
uC R1 diL u iL R1 R2 dt L L R1 R2 L R1 R2
duC R1 1 iL uC dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
状态方程
dx1 R1 x2 u 1 R1R2 x1 dt L R1 R2 R1 R2 L L
(t ) f ( x(t ), u (t ), t ) x y (t ) g ( x(t ), u (t ), t )
2016年2月5日
或
f ( x, u , t ) x y g ( x, u , t )
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.1.3 状态空间表达式的状态变量图
整理得：
uC R1 diL u iL R1 R2 dt L L R1 R2 L R1 R2
duC R1 1 iL uC dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
第二章 控制系统状态空间描述
整理得：
uC R1 diL u iL R1 R2 dt L L R1 R2 L R1 R2
duC R1 1 iL uC dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
状态方程
dx1 R1 x2 uC 1 R1R2 x1 dt L R1 R2 R1 R2 L L
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
状态方程
dx1 R1 x2 uC 1 R1R2 x1 dt L R1 R2 R1 R2 L L
dx2 R1 1 x1 x2 dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
输出方程
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状态空间表达式的建立
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二○一一年三月
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第1章 绪论 第2章 控制系统状态空间描述 第3章 状态方程的解 第4章 线性系统的能控性和能观测性
第5章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析
第6章 状态反馈和状态观测器
第7章 最优控制
第8章 状态估计
dx2 R1 1 x1 x2 dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
输出方程
2016年2月5日
y uC x2
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
写成矩阵形式
1 R1 R2 1 L R1 R2 x x R 2 C(R R ) 1 2 x1 y 0 1 x2
2.1.1 几个定义：
(1) 状态：系统过去、现在和将来的状况
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基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.1 基本概念
2.1.1 几个定义：
(1) 状态：系统过去、现在和将来的状况
(2) 状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
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基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.1.2 状态空间表达式的一般形式：
(1) 线性系统
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) x
y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u (t )
q p y R u R , xR ,
n
其中，A 为系统矩阵，B 为控制矩阵，C 为输出矩阵，D 为直 接传递矩阵。 (2) 非线性系统
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
(3) 状态向量：以系统的n个独立状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 作为分量的向量，即
x (t ) x1 (t ), , xn (t )
T
(4) 状态空间：以状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 为坐标轴构成 的n维空间 (5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 (t ) Ax(t ) Bu(t ) 分方程（组）：x (6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式： y(t ) Cx(t ) Du (t )
1 x2 x 2 x3 x 3 6 x1 3x2 2 x3 u x
则其状态图为
u
y x1 x2
x3 x2 x1 y
+
++
2 3 6
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
例2.1.2
设三阶系统状态空间表达式为
1 x2 x 2 x3 x 3 6 x1 3x2 2 x3 u x
例2.1.1
设一阶系统状态方程为 则其状态图为
ax bu x
u
b
x
x
+
a
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
例2.1.1
设一阶系统状态方程为 则其状态图为
ax bu x
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
例2.1.2
设三阶系统状态空间表达式为
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.1.2 状态空间表达式的一般形式：
(1) 线性系统
(t ) A(t ) x(t ) B(t )u (t ) x
y(t ) C (t ) x(t ) D(t )u(t )
q p y R u R , xR ,
n
其中，A 为系统矩阵，B 为控制矩阵，C 为输出矩阵，D 为直 接传递矩阵。
R1 1 L( R1 R2 ) x1 L u 1 x2 0 C ( R1 R2 )
第ห้องสมุดไป่ตู้章 控制系统状态空间描述
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.0 系统如图所示
L
R2
u
iL
duC diL 1 iL (u L ) C dt R1 dt
uc
R1
duC diL L C R2 uC u dt dt
2016年2月5日
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基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
(3) 状态向量：以系统的n个独立状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 作为分量的向量，即
x (t ) x1 (t ), , xn (t )
T
(4) 状态空间：以状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 为坐标轴构成 的n维空间 (5) 状态方程：描述系统状态与输入之间关系的、一阶微 (t ) Ax(t ) Bu(t ) 分方程（组）：x (6) 输出方程：描述系统输出与状态、输入之间关系的数 学表达式： y(t ) Cx(t ) Du (t ) (7) 状态空间表达式： (5)+(6).
加法器
积分器
放大器
绘制步骤：(1) 绘制积分器 (2) 画出加法器和放大器
(3) 用线连接各元件，并用箭头示出信号传递
的方向。
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
例2.1.1
设一阶系统状态方程为 则其状态图为
ax bu x
u
b
x
x
+
a
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基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
状态变量的特点：
(1) 独立性：状态变量之间线性独立 (2) 多样性：状态变量的选取并不唯一，实际上存在无穷多种 方案 (3) 等价性：两个状态向量之间只差一个非奇异线性变换 (4) 现实性：状态变量通常取为含义明确的物理量 (5) 抽象性：状态变量可以没有直观的物理意义
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.0 系统如图所示
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式： 例2.2.0 系统如图所示
dx2 R1 1 x1 x2 dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
整理得：
uC R1 diL u iL R1 R2 dt L L R1 R2 L R1 R2
duC R1 1 iL uC dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
则其状态图为
u
y x1 x2
x3 x2 x1
+
y
+
++
2 3 6
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
2.2 状态空间表达式的建立
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
第二章 控制系统状态空间描述
2.2 状态空间表达式的建立
2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：
2016年2月5日
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
(3) 状态向量：以系统的n个独立状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 作为分量的向量，即
x (t ) x1 (t ), , xn (t )
T
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
(3) 状态向量：以系统的n个独立状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 作为分量的向量，即
x (t ) x1 (t ), , xn (t )
T
(4) 状态空间：以状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 为坐标轴构成 的n维空间
2016年2月5日
基本概念
第二章 控制系统状态空间描述
(3) 状态向量：以系统的n个独立状态变量 x1 (t ), , xn (t ) 作为分量的向量，即
整理得：
uC R1 diL u iL R1 R2 dt L L R1 R2 L R1 R2
duC R1 1 iL uC dt C ( R1 R2 ) C ( R1 R2 )
选择状态变量：
x1 iL , x2 uC ,
状态方程
2016年2月5日
状态空间表达式的建立
2.1 基本概念
2.1.1 几个定义：
(1) 状态：系统过去、现在和将来的状况
(2) 状态变量：能够完全表征系统运动状态的最小一组变量：
a)
x(t )t t0 x(t0 )
表示系统在 时刻的状态
b) 若初值 x (t0 ) 给定，t t0 时的 u(t ) 给定， 则状态变量完全
确定系统在 t t0 时的行为。