实际问题与二次函数_详细讲解与练习(含答案)

.. .. ..
初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）
一、利用函数求图形面积的最值问题
一、围成图形面积的最值
1、 只围二边的矩形的面积最值问题
例1、 如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗
圃。

（1） 设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x
的函数关系式；
（2） 当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？
分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。

解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），
根据题意，得：x x x x y 18)18(2
+-=-=； 又∵180,0180＜x＜x ＞x ＞∴⎩
⎨⎧- （2）∵x x x x y 18)18(2+-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，
即当9)
1(2182=-⨯-=-=a b x 时，81)1(41804422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。

点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。

2、 只围三边的矩形的面积最值
例2、 如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠
墙。

问如何围，才能使养鸡场的面积最大？
分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式
解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（
250x -）（米）， 根据题意，得：x x x x y 252
1)250(2+-=-=； 又∵500,02
500＜x＜＞x x ＞∴⎪⎩⎪⎨⎧- ∵x x x x y 2521)250(2+-=-=中，a=2
1-＜0，∴y 有最大值， 即当25)21(2252=-⨯-=-=a b x 时，2625)2
1(42504422max =-⨯-=-=a b ac y 故当x=25米时，养鸡场的面积最大，养鸡场最大面积为2
625平方米。

点评：如果设养鸡场的宽为x ，上述函数关系式如何变化？请读者自己完成。

3、 围成正方形的面积最值
例3、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm 2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．
（1）解：设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm
由题意得： 17)4
20()4(22=-+x x
解得： 4,1621==x x
当161=x 时，20-x=4；当42=x 时，20-x=16
答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16厘米、4厘米。

（2）不能
理由是：设第一个正方形的边长为xcm ，则第二个正方形的边长为
)5(4
420x x -=-cm ，围成两个正方形的面积为ycm 2，
根据题意，得：25102)5(222+-=-+=x x x x y ，
.. .. ..
∵25102)5(2
22+-=-+=x x x x y 中，a= 2＞0，∴y 有最小值， 即当2
522102=⨯--=-=a b x 时，225241025244422min =⨯-⨯⨯=-=a b ac y =12.5＞12,故两个正方形面积的和不可能是12cm 2.
练习1、如图，正方形EFGH 的顶点在边长为a 的正方形ABCD 的边上，若AE=x ，正方形EFGH 的面积为y.
(1)求出y 与x 之间的函数关系式；
(2)正方形EFGH 有没有最大面积？若有，试确定E 点位置；若没有，说明理由.
二、利用二次函数解决抛物线形建筑物问题
例题1 如图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面
2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是 .
212
y x . 【解析】
试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，可设此函数解析式为：y=ax 2，利用待定系数法求解.
试题解析：设此函数解析式为：2y ax ，0a ；
那么（2，-2）应在此函数解析式上．
则2
4a 即得12a
， 那么212
y x ． 考点：根据实际问题列二次函数关系式.
练习1
某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA ，O 恰在水面中心，安置在柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA 的任一平面上，抛物线形状如图（1）所示.图（2）建立直角坐标系，水流喷出的高度y （米）与水平距离x （米）之间的关系是4
522++-=x x y .请回答下列问题： 图（1） 图（2）
.. .. ..
(1)柱子OA的高度是多少米？
(2)喷出的水流距水平面的最大高度是多少米？
(3)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不至于落在池外？
2．一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.
（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.
①求抛物线的解析式；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?
（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.
①求圆的半径；
②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?
三、利用抛物线解决最大利润问题
例题1 某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看做一次函数：y ＝－10x ＋500.
（1）设李明每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（6分）
（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3分）
（3）物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？(成本＝进价×销售量) （3分）
答案：（1）35；（2）30或40；（3）3600.
【解析】
试题分析：（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，根据利润=（定价-进价）×销售量，从而列出关系式；（2）令w=2000，然后解一元二次方程，从而求出销售单价；（3）根据函数解析式，利用一次函数的性质求出最低成本即可．
试题解析：（1）由题意得出： ()()()2W x 20y x 2010x 50010x 700x 10000=-=--+=-+-， ∵b a 100352a
=--=<， ， ∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．
.. .. ..
（2）由题意，得：210x 700x 100002000-+-=，
解这个方程得：x 1=30，x 2=40．
∴李明想要每月获得2000元的利润，销售单价应定为30元或40元．
（3）∵a 100=-<，∴抛物线开口向下. ∴当30≤x≤40时，W≥2000.
∵x≤32，∴当30≤x≤32时，W≥2000.
设成本为P （元），由题意，得：()P 2010x 500200x 10000=-+=-+，
∵k=-200＜0，∴P 随x 的增大而减小．
∴当x=32时，P 最小=3600．
答：想要每月获得的利润不低于2000元，每月的成本最少为3600元．
考点：二次函数的应用．
练习1．某玩具批发商销售每只进价为40元的玩具，市场调查发现，若以每只50元的价格销售，平均每天销售90只，单价每提高1元，平均每天就少销售3只．
（1）平均每天的销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为 ；
（2）求该批发商平均每天的销售利润W(元)与销售只x(元／只)之间的函数关系式；
（3）物价部门规定每只售价不得高于55元，当每只玩具的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少元
2．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：y 2x 80=-+. 设这种产品每天的销售利润为w 元.
（1）求w 与x 之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
3．某公司营销,A B 两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A 种产品所获利润y (万元)与所售产品x (吨)之间存在二次函数关系
2y ax bx =+.当1x =时， 1.4y = ；当3x =时， 3.6y =．
信息2：销售B 种产品所获利润y (万元)与所售产品x (吨)之间存在正比例函数关系0.3y x =． 根据以上信息，解答下列问题：(1)求二次函数解析式；
(2)该公司准备购进,A B 两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售,A B 两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
.. .. ..
4．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系近似满足一次函数：10500y x =-+．
（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？
（2）设李明获得的利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？
（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？
5．某文具店销售一种进价为10元/个的签字笔，物价部门规定这种签字笔的售价不得高于14元/个，根据以往经验：以12元/个的价格销售，平均每周销售签字笔100个；若每个签字笔的销售价格每提高1元，则平均每周少销售签字笔10个. 设销售价为x元/个.
（1）该文具店这种签字笔平均每周的销售量为个（用含x的式子表示）；
（2）求该文具店这种签字笔平均每周的销售利润w（元）与销售价x（元/个）之间的函数关系式；（3）当x取何值时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大？最大利润是多少元？
6．一汽车租赁公司拥有某种型号的汽车100辆．公司在经营中发现每辆车的月租金x(元)与每月租出的车辆数(y)有如下关系：
（1）观察表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识求出每月租出的车辆数y（辆）与每辆车的月租金x（元）之间的关系式.
（2）已知租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．用含x （x≥3000）的代数式填表:
.. .. .. 租出的车辆数未租出的车辆数
租出每辆车的月收益所有未租出的车辆每月的维护费
（3）若你是该公司的经理，你会将每辆车的月租金定为多少元，才能使公司获得最大月收益？请求出公司的最大月收益是多少元．
四、利用二次函数解决动点问题
例1如图8，如图9，在平行四边形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，
BD⊥AD. 一动点P从A出发，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路线匀
速运动，过点P作直线PM，使PM⊥AD .
(1) 当点P运动2秒时，设直线PM与AD相交于点E，求△APE的面
积；
(2) 当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A →B →C 的路线运动，且在AB 上以每秒1 cm 的速度匀速运动，在BC 上以每秒2 cm 的速度匀速运动. 过Q 作直线QN ，使QN ∥PM . 设点Q 运动的时间为t 秒(0≤t ≤10)，直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为S cm 2 .
① 求S 关于t 的函数关系式；
② 求S 的最大值.
解：(1) 当点P 运动2秒时，AP =2 cm ，由∠A =60°，知AE =1，PE =3.∴ S ΔAPE =
2
3.
(2) ① 当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则
AQ =t ，AF =2
t ，QF =
t 2
3
，AP =t +2，AG =1+2t ，PG =t 233+
. ∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =2
32
3
+
t . 当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与AD 交于点F ，则AQ =t ，AF =
2t ，DF =4-2t ，QF =t 2
3，BP =t-6，CP =10-t ，PG =3)10(t -， 而BD =34，故此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =3343108
352
-+-t t .
当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动. 设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则
CQ =20-2t ，QF =(20-2t )3，CP =10-t ，PG =3)10(t -.
∴ 此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为S =
31503302
332
+-t t .
.. .. ..
故S关于t
的函数关系式为2
2
(06)
(68)
(810)
t
S t
t
≤≤
⎪
⎪⎪
=+-≤≤
⎨
-+≤≤
⎪⎩
②当0≤t≤6时，S的最大值为
23
7
当6≤t≤8时，S的最大值为3
6
当8≤t≤10时，S的最大值为3
6
所以当t=8时，S有最大值为3
6 .
初中数学专项训练：实际问题与二次函数
参考答案
一、1
（1）y=2x2-2ax+a2(2) 有.当点E是AB的中点时，面积最大.
【解析】本题考查了二次函数的应用.
（1）先由AAS证明△AEF≌△DHE，得出AE=DH=x米，AF=DE=（a-x）米，再根据勾股定理，求出EF2，即可得到S与x之间的函数关系式；
（2）先将（1）中求得的函数关系式运用配方法写成顶点式，再根据二次函数的性质即可求解．
解：∵四边形ABCD是边长为a米的正方形，
∴∠A=∠D=90°，AD= a米．
∵四边形EFGH为正方形，
∴∠FEH=90°，EF=EH．
在△AEF 与△DHE 中，
∵∠A=∠D ，∠AEF=∠DHE=90°-∠DEH ，EF=EH
∴△AEF ≌△DHE （AAS ），
∴AE=DH=x 米，AF=DE=（a-x ）米，
∴y=EF 2=AE 2+AF 2=x 2+（a-x ）2=2x 2-2ax+ a 2， 即y=2x 2-2ax+ a 2；
（2）∵y=2x 2-2ax+ a 2=2（x-2
a
）2+2
4a ，
∴当x=
2
a
时，S 有最大值． 故当点E 是AB 的中点时，面积最大．
二、练习1 （1）
45
（2）49 （3）2
5 【解析】本题考查了二次函数的应用.
（1）本题需先根据已知条件把x=0代入抛物线的解析式，从而得出y 的值，即可求出答案． （2）通过抛物线的顶点坐标求得
（3）本题需先根据已知条件把y=0代入抛物线求出所要求的式子，再得出x 的值，即可求出答案． 解：（1）把x=0代入抛物线的解析式
得：y=
45，即柱子OA 的高度是4
5 （2）由题意得：当x=2=121-⨯-（）
时，y=49
,即水流距水平面的最大高度
（3）把y=0代入抛物线
.. .. ..
得：4
522++-x x =0，解得，x 1=12-(舍去，不合题意)，x 2=52
故水池的半径至少要5
2
米才能使喷出的水流不至于落在池外
2．（1）①2
1425
y x =-+；②10；（2）①14.5；②47． 【解析】
试题分析：（1）①利用待定系数法求函数解析式即可；②根据题意得出y=3时，求出x 的值即可； （2）①构造直角三角形利用BW 2=BC 2+CW 2，求出即可；
②在RT △WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF 2=WF 2﹣WG 2，求出即可．
试题解析：（1）①设抛物线解析式为：2
y ax c =+，∵桥下水面宽度AB 是20米，高CD 是4米，∴A （﹣
10，0），B （10，0），D （0，4），∴10004a c c +=⎧⎨=⎩，解得：1254
a c ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩，∴抛物线解析式为：
2
1425
y x =-
+； ②∵要使高为3米的船通过，∴3y =，则2
13425
x =-
+，解得：5x =±，∴EF=10米； （2）①设圆半径r 米，圆心为W ，∵BW 2=BC 2+CW 2，∴222
(4)10r r =-+，解得：14.5r =；
②在RT △WGF 中，由题可知，WF=14.5，WG=14.5﹣1=13.5，根据勾股定理知：GF 2=WF 2﹣WG 2，即GF 2=14.52﹣13.52=28，所以GF=27，此时宽度EF=47米．
考点：1．二次函数的应用；2．垂径定理的应用．
三、1．(1）y=-3x+240；(2)w=-3x2+360x-9600；(3)定价为55元时，可以获得最大利润是1125元. 【解析】
试题分析：（1）根据题意知销售量y(只)与销售价x(元／只)之间的函数关系式为y=90-3（x-50）=-3x+240；
(2)根据“总利润=每件商品的利润×销售量”可知w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；
(3)求获得最大利润，也就是求函数w=-3x2+360x-9600的最大值.
试题解析：( 1）y=90-3（x-50）即y=-3x+240；
（2）w=（x-40）y=（x-40）（-3x+240）=-3x2+360x-9600；
(3)当x≤60，y随x的增大而减小，
当x=55时，w最大=1125
所以定价为55元时，可以获得最大利润是1125元.
考点：（1）一次函数；（2）二次函数．
2．（1）2
=-+-；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售w2x120x1600
利润200元.
【解析】
试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.
试题解析：（1）由题意得：()()()2
w x20y x202x802x120x1600
=-⋅=--+=-+-，
∴w与x的函数关系式为：2
=-+-.
w2x120x1600
（2）()2
2
=-+-=--+，
w2x120x16002x30200
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200.
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
.. .. ..
考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.
3．见解析
【解析】
试题分析：（1）因为当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，代入2
y ax bx
=+
得
1.4
93 3.6
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
0.1
1.5
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，所以，二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x；
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，根据题意可列函数关系式为：W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，因为-0.1＜0，根据二次函数的性质知当m=6时，W有最大值6.6，
试题解析：（1）∵当x=1时，y=1.4；当x=3时，y=3.6，
∴
1.4
93 3.6
a b
a b
+=
⎧
⎨
+=
⎩
解得
0.1
1.5
a
b
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
所以，二次函数解析式为y=-0.1x2+1.5x；3分
（2）设购进A产品m吨，购进B产品（10-m）吨，销售A、B两种产品获得的利润之和为W元，
则W=-0.1m2+1.5m+0.3（10-m）=-0.1m2+1.2m+3=-0.1（m-6）2+6.6，
∵-0.1＜0，
∴当m=6时，W有最大值6.6，
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A、B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元．考点：1.待定系数法求解析式.2.二次函数性质.
4．（1）政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000；（3）销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
【解析】
试题分析：（1）根据每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可求得每月销售量，又由单价和成本间关系得到每件节能灯的差价，则可得到总差价.（2）求每月可获得最大利润，即为求该二次函数的最大值，将二次函数配方法，可得该函数的最大值.（3）3000w ≤同时满足25x ，根据函数图象的性
质知道，0k
随x 的增大而减小，当25x 时，该函数有最大值时，p 有最小值500.
试题解析：（1）当20x 时，105001020500300y x =-+=-⨯+=，300(1210)
3002
600，
∴政府这个月为他承担的总差价为600元。

（2）依题意得，()()()1010500106005000103040002
2w=x -x+=x +x -=-x -+⨯--，
100a ，
∴当30x
时，w 有最大值4000.
∴当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润4000． （3）由题意得：10600500030002x +x --=， 解得：1
20x ，2
40x .
100a ，抛物线开口向下，
∴结合图象可知：当2040x 时，3000w .
又
25x ，∴当2025x
时，w≥3000.
设政府每个月为他承担的总差价为p 元，
()()121010500p x =-⋅-+201000x =-+.
200k ，p 随x 的增大而减小.
∴当25x
时，p 有最小值500.
∴销售单价定为25元时，政府每个月为他承担的总差价最少为500元.
.. .. ..
【考点】1.二次函数的性质；2.二次函数的图象；3.二次函数的综合应用.
5．（1）（220－10x ）；（2）2103202200w x x =-+-（３）当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元． 【解析】
试题分析：用含x 的式子表示文具店这种签字笔平均每周的销售量为（220－10x ）个，列出函数关系式
(22010)(10)w x x =--，再运用二次函数的性质解决问题，由题意可知1014x ≤≤所以x=1４时，W 最
大为320.
试题解析：（1）（220－10x ）；
（2）)10)(10220(--=x x w 3分
2200320102-+-=x x 5分 2200320102-+-=x x w
360)16(102+--=x 6分
∵抛物线2200320102-+-=x x w 的开口向下，在对称轴直线x=16的左侧，w 随x 的增大而增大.8分 由题意可知1410≤≤x ， 9分 ∴当x=14时，w 最大为320.
∴当x=14时，该文具店这种签字笔平均每周的销售利润最大是320元. 考点：１．根据实际问题列函数关系式． ２．二次函数的性质．
6．解：（1）由表格数据可知y 与x 是一次函数关系，设其解析式为y kx b =+，
将（3000，100），（3200，96）代入得3000k b 1003200k b 96+=⎧⎨+=⎩，解得：1k 50b 160
⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩ 。

∴1
y x 16050
=-
+。

将（3500，90），（4000，80）代入检验，适合。

∴y 与x 间的函数关系是1
y x 16050
=-+。

（2）填表如下： 租出的车辆数 1
x 16050-
+ 未租出的车辆数
1
x 6050
- 租出每辆车的月收益
x 150-
所有未租出的车辆每月的维护费
x 3000-
（3）设租赁公司获得的月收益为W 元，依题意可得：
()()()2W 150x 160x 150x 3000150x 163x 24000x 3000=-+---=-+---（）（）
()2
2150x 162x 21000150x 405030705=-+-=--+
当x=4050时，Wmax=307050，
∴当每辆车的月租金为4050元时，公司获得最大月收益307050元 【解析】
试题分析：（1）判断出y 与x 的函数关系为一次函数关系，再根据待定系数法求出函数解析式。

（2）根据题意可用代数式求出出租车的辆数和未出租车的辆数即可。

（3）租出的车的利润减去未租出车的维护费，即为公司最大月收益。

.. .. .. 参考材料。