2-2 复数域数学模型-传递函数

例5 求 F (s) (s 2) 2 (s 1) 的拉氏反变换。
解：设
a b c ( s 2)2 s 2 s 1 s3 2 ( s 2) ]s 2 1 其中： a [ 2 ( s 2) ( s 1) F ( s)
s3
b
d s 3 2 [ ( s 2) ] 2 2 ds (s 2) (s 1) s 2
(2)D(s)=0包含r重根
N ( s) F ( s) ( s p1 )r ( s pr 1 ) ( s pn ) cn cr cr 1 c1 cr 1 [ ] ( s p1 )r ( s p1 )r 1 s p1 s pr 1 s pn
2-2 复数域数学模型—传递函数
项目
教学目的
内容
从时域内的微分方程形式数学模型向复数域内的 传递函数形式过渡。
教 学 重 点 熟悉传递函数的各种一般表达形式。 教 学 难 点 维方法。对典型环节传递函数的理解。
讲授技巧及注 注重微分方程同传递函数的对比。 意事项
传递函数的解析表达式和几何表达形式的联合思
解：设F ( s) c c c 1 1 2 3 ( s 1)( s 2)( s 3) s 1 s 2 s 3
其中： c1 lim[ s 1
1 1 ( s 1)] ( s 1)( s 2)( s 3) 6 1 1 c2 lim[ ( s 2)] s 2 ( s 1)( s 2)( s 3) 15 c3 lim[
例6.已知系统的微分方程式为：
d 2 y (t ) dt 2 dy(t ) 5 6 y (t ) 2 dt
并且设： y(0) 1, y ' (0) 2 ，试求微分方程的解。
解：方程两边进行拉氏变换 代入初始值变换形式可得
s 2 7s 2
2 s Y (s) sy(0) y (0) 5sY (s) 5 y(0) 6Y (s) s
st F ( s) L f t f ( t ) e dt
原函 数
且积分存在，则称F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。 简称拉氏变换。 f(t)称为 F(s)的拉氏逆变换。记为：
f t L1 F (s)
象函数
0
2.常用函数的拉氏变换
(1)例1 求单位脉冲函数 f (t ) (t ) 的拉氏变换。
其中：
cr lim[( s p1 )r F ( s)]
s p1
cr 1 lim[
s p1
d ( s p1 ) r F ( s)] ds

cr j

1 d ( j) lim[ j ( s p1 )r F ( s)] j ! s p1 ds
1 d ( r 1) c1 lim[ r 1 ( s p1 )r F ( s)] (r 1)! s p1 ds
s3 ( s 1)]s 1 2 2 ( s 2) ( s 1)
c [
1 2 2 所以： F ( s) 2 ( s 2) s 2 s 1
所以： f (t ) (t 2)e2t 2et
用拉氏变换及其反变换解微分方程的步骤
① 对微分方程进行拉氏变换，得到以s为变 量的代数方程，方程中的初始值应取系统在 t=0时刻的对应值； ② 求出系统输出变量的表达式； ③ 将输出变量的表达式展开成部分分式； ④ 对部分分式进行反变换，即得微分方程 的解。
第二章 控制系统的数学模型
第二节 复数域数学模型 —传递函数
思考？
建立系统微分方程的目的是什么？
如何求解得到的微分方程式？
对于高阶线性微分方程如何求解？
使用拉普拉斯变换法解线性微分方程有哪 些优势？
优势：
在求解方法上：计算简单 (把微积分运 算变换成代数运算或查表) ，容易求出系统 对输入的响应。 引入传递函数的概念(复数域数学模型)， 把系统的动态性能和传函的零极点联系起来， 使在复数域内(根轨迹法)和频域内(频率法) 分析和设计系统成为可能。
(6)时间比例尺(相似)定理
t L[ f ( )] aF (as) a
(7)位移定理
a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延 s 迟，则其象函数应乘以 e 。
L[ f (t )] e
s
F ( s)
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a， at 原函数应乘以 e 。即
同样求出
两端进行拉氏反变换，得
1 10 3t 2 t y (t ) 4e e 3 3
三 传递函数的概念和表达形式
1.定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换 与输入量拉氏变换的比值叫该系统的传递函数。
线性定常系统微分方程的一般形式为：
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c (t ) an c (t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
L[e f (t )] F ( s a)
at
二 拉氏反变换
1. 定义：从象函数F(s)求原函数 f(t)的运算称为拉 1 L 氏反变换。记为 [ F (s)] 。由F(s)可按下式求出
1 C j st f (t ) L [ F ( s)] F ( s )e ds(t 0) 2 j C j
1
式中C是实常数，而且大于F(s)所有极点的实部。
直接按上式求原函数太复杂，一般都用查拉氏 变换表的方法求拉氏反变换，但F(s)必须是一种能直 接查到的原函数的形式。
若F(s)不能在表中直接找到原函数，则需 要将 F(s) 展开成若干部分分式之和，而这些 部分分式的拉氏变换在表中可以查到。 展开的常用方法有：
e sin t
at
e
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at
e cos t
at
sa ( s a)2 2
4.拉氏变换的基本性质
(1)线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
(2)积分性质
1 1 1 L[ f (t )dt ] F (s) f (0) s s
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c (t ) an 1 c (t ) an c (t ) dt dt dt dm d m 1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm 1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
0
F (s) (t )e st dt (t )e s 0 dt e s 0 (t )dt e s 0 1
0 0 0
(2)例2 求阶跃函数 f (t ) R 1(t )的拉氏变换。
F ( s ) Re st dt
0
s 3
1 1 ( s 3)] ( s 1)( s 2)( s 3) 10
1 1 1 1 1 1 所以： F ( s ) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 所以： f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
(3)微分性质
L[ f n (t )] sn F (s) s n1 f (0) s n2 f (0) f n1 (0)
(4)终值定理
lim f ( t ) lim sF ( s ) t s 0
(5)初值定理
lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
如果使用比较系数法： 通分后令 (a b c)s2 (5a 3b 2c)s 6a s 2 7s 2
比较系数得
a b c 1 5a 3b 2c 7 6a 2
1 10 解得：a b4 c 3 3 1 4 10 Y ( s) 3s s 2 3( s 3)
1 1 m 1 pt L [ ] t e 由于： m ( s p) (m 1)!
1
所以：
cr r 1 cr 1 r 2 pnt p1t pr 1t f (t ) [ t t c1 ]e cr 1e cne (r 1)! (r 2)!
R st e s


0
R s
1 s
单位阶跃函数 f (t ) 1(t ) 的拉氏变换为
。
3.几个重要的拉氏变换（掌握）
f(t)
(t )
1(t )
F(s)
f(t)
sin t
1
1 s
F(s) s2 2
s s2 2

( s a)2 2
cost
t
1 s2
1 sa
denominato r
（1）D(s) =0没有重根
F(s) 总能展开成如下简单的部分分式之和：
cn c1 c2 F ( s) s p1 s p2 s pn
ci lim[ F (s )(s pi )]
s pi
1 例4 求F ( s) 的原函数。 ( s 1)( s 2)( s 3)
则a(s 1)2 bs(s 1) cs 1
对应项系数相等得a 1, b 1, c 1
1 1 1 F (s) s s 1 ( s 1) 2
f (t ) L1[ F (s)] 1 et tet
留数法
numernation
N (s) b0 s m b1s m1 bm1s bm F ( s) n (m n) n 1 D(s) a0 s a1s an1s an
2 '
s 2 7s 2 Y ( s) 2 s( s 5s 6) s( s 2)(s 3)
s 2 7s 2 a b c 设 Y ( s) s(s 2)(s 3) s s 2 s 3
s 2 7s 2 1 其中：a s( s 2)(s 3) s 0 3
s 2 7s 2 b 4 s( s 3) s 2
s 2 7s 2 10 c s( s 2) s 3 3
1 4 10 所以： Y ( s) 3s s 2 3( s 3)
两端进行拉氏反变换，得
1 10 y (t ) 4e 2t e 3t 3 3
1 例2：求 F ( s) 2 的拉氏反变换。 s ( s 1) 1 1 1 1 解： F ( s) 2 2 s ( s 1) s s s 1
f (t ) L1[ F (s)] t 1 et
比较系数法
1 例3 求F ( s) 的拉氏反变换。 2 s ( s 1) a b c 解：F ( s) s s 1 ( s 1) 2
本节课的学习思路：从多个方 位来观察我们将要研究的对象—传 递函数，为下一步深入细致的讨论 (第四章和第五章)做准备。
本节内容
拉式变换 拉式反变换 传递函数的概念和表达形式
系统传递函数的建立
典型环节的传递函数
2-2 传递函数
一 拉氏变换
1.定义：设函数 f(t)当 t 0时有定义，设
配方法
比较系数法
留数法
配方法
例1：求
F ( s) 1 ( s a)( s b)
的拉氏反变换。
解： F ( s)
1 1 1 1 ( ) ( s a)( s b) b a s a s b
at bt e e 则f (t ) L1[ F ( s)] ba