运筹学第四章线性规划的标准型及单纯形法
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26
单纯形法解题举例
单纯形表的格式：
Cj
C1 C2 … CN
CB XB b X1 x2 …. Xn
θi
C1 X1 b 1 a11 a12 …
a1n
θ1
C2 X2 B2 a21 a22 … a2n
θ2
… ……… …
……
CM XM bm am1 am2…
amn
θm
σj
σ1 σ2 … σn
27
某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各 产品的利润、各资源的限量和各产品的资源 消耗系数如下表：
下步
• 4、根据max {σj } = σK 原则确定XK 进基变量；根
据θ规则 θ = min {b’i / a’ik a’ik >0} = b’l/ a’lk 确定XL出 基变量
• 5、以a’lk 为枢轴元素进行迭代
• 6、重复第二步到第五步
32
单纯形法的进一步探讨
• 极小化问题直接求解：检验数的判别由σj ≤0
设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0
29
Cj
CB XB
0 X3 0 X4 0 X5
σj
0 X3 0 X4 120 X2
σj
0 X3 70 X1 120 X2
σj
b
360 200 300
0
240
50 30
3600
84 20 24 4280
运筹学
Operations Research
1
第４章 线性规划的标准型及单纯形法
2
线性规划的重要算法： 单纯形算法— 基本思路：从可行域的某个顶点开始， 转换到另一个更好的顶点，最终达到目标函数最优的 顶点。
1947 年由美国人 G.B.Dantzig提出，是近100 年来最成功的 10 个算法之一。
• 相应的基为可行基。 • 退化的基可行解：若某个基变量取值为零，
则称之为退化的基可行解。 • 基解的数目：最多Cmn=n!/m!(n-m)!
20
例题6 基可行解说明
maxZ=70X1+120X2
P1 P2 P3 P4 P5
9X1+4X2+X3=360
94100
4X1+5X2 +x4=200
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A= 4 5 0 1 0
0 0 0 -13.6 -5.2
θi
90 40 30
30.76 20 100
30
Cj
CB XB b
3 X1 12 -3 X2 1 -1 X5 27
6
5 X4 6 -3 X2 1 -1 X5 9
18
3 -3 0 5 -1
X1 X2 X3 X4 X5
1 0 -2 [ 2] 0 0 1 -2 0 0 0 0 -4 3 1
• 基（ p2,p3,p4 ），令非基变量x1,x5=0，则 基变量x2=30, x3=240, x4=50,可行解（P21图）
22
• （SLP）的基可行解对应于其可行域的顶 点（极点）
• 若（SLP）有最优解，则必有最优基可行 解
• 可行基解——迭代——更优的可行基解— —最优基解（单纯形法的原理）
C (c1 ,c2, , cn )
x1
X
x2 xn
x1,
x2 ,
, xn T
8
线性规划的标准型
• 矩阵式：
Obj :
MaxZ CX
S .T . AX B
X 0
B (b1 ,b2 , , bm )T
a11 a12 a1n
A
a21 am1
a22 am2
a12
amn
变为σj ≥ 0 • 人工变量法之一：大M法 人工变量价值系数M例 • 人工变量法之二：构造目标函数，分阶段求解例 • 无穷多最优解情形：非基变量检验数 σj= 0 • 退化解的情形：有两个以上 θ值相等
33
单纯形法的计算机求解
• 程序说明 • 应用举例 例题1 例题2
34
35
• 零矩阵的秩为零。 • m×n矩阵A的秩R(A)≤min{ m,n}
• 假设：约束方程组的系数矩阵A的秩为m （R(A)=m）,m<n
17
基
•基的概念：如前所述LP标准型
和式：maxZ= ∑cjxj ∑aijxj=bi xj ≥0 j=1,2,…,n
矩阵式：maxZ=CX AX=b X ≥0 约束方程的系数矩阵A的秩为m，且m<n。设 A=B+N ，B是A中mxm阶非奇异子矩阵，则称B是 LP的一个基，即：B是A中m个线性无关向量组。
10
非标准型转化举例之一
maxZ=70X1+120X2 9X1+4X2 ≤360 4X1+5X2 ≤200 3X1+10X2≤300 X1≥0 X2≥0
maxZ=70X1+120X2 9X1+4X2+X3=360
4X1+5X2 +x4=200
3X1+10X2
+x5 =300
X1≥0 X2≥0 X3 ≥0 x4
3X1+10X2+x5 =300
3 10 0 0 1
Xj≥0 j=1,2,…,5
这里m=3,n=5。 Cmn=10
21
例题6 基可行解说明
• 基（P3，P4，P5），令非基变量x1,x2=0， 则基变量x3=360, x4=200, x5=300,可行解
• 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0,x3=0基变量 x2=90,x4=-250,x5=-600.非可行解
≥0 x5 ≥0
11
非标准型转化举例之二
minZ=x1+2x2-3x3 x1+x2+x3 ≤9 -x1-2x2+x3 ≥2 3x1+x2-3x3=5 x1 ≤0 x2 ≥0 x3无约束
12
非标准型转化举例之二
minZ=x1+2x2-3x3 maxZ’=x’1-2x2+3(x’3- x”3)
x1+x2+x3 ≤9
-x’1+x2+x’3- x”3 + x4=9
-x1-2x2+x3 ≥2
x’1-2x2+x’3 - x”3 - x5= 2
3x1+x2-3x3=5
- 3x’1+x2-3(x’3 - x”3 )=5
x1 ≤0 x2 ≥0 x3无约束 x’1 ≥ 0 x2 ≥0 x’3 ≥0
x”3 ≥0 x4≥0 x5≥0
劳动力 设备 原材料 单位产品利 润（元）
产品A 9 4 3 70
产品B 资源限制 4 360工时 5 200台时 10 300公斤
120
28
• 问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ • 步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg
2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件： 人力约束 9X1+4X2≤360
13
非标准型转化举例之三
minZ=-3x1-x2+4x3 -x1+2x2+x3 =5 x1-x2+x3 ≥-6 x1 ≤0 x2 ≥0 x3无约束
14
非标准型转化举例之三
minZ=-3x1-x2+4x3 maxZ’=-3x’1+x2-4(x’3- x”3)
-x1+2x2+x3 =5
x’1+2x2+x’3- x”3 =5
0 0 -4 2 0
θi
12/2=6 27/3=9
1/2 0 -1 1 0 0 1 -2 0 0 -3/2 0 -1 0 1
-1 0 -2 0 0
31
单纯形法的计算步骤
• 1、找到初始可行基，建立单纯形表 • 2、计算检验数，若σj ≤0 则得最优解。否则转下步 • 3、若某σK ≥ 0而P’K ≤0 ，则最优解无界，否则转
70 120 0 0 0
X1 X2 X3 X4 X5
94 1 0 0 45 0 1 0 3 10 0 0 1
70 120 0 7.8 0 1 2.5 0 0 0.3 1 0
34 0 0
00 0 -0.4 1 -0.5 0 0.1
0 -12
0 0 1 -3.12 1.16 1 0 0 0.4 -0.2 0 1 0 -0.12 0.16
……………..
xm=b’m- ∑a’mjxj
n
xi bi,
aij , x j
jm1
24
单纯形法
n
一 般 性 表 示 ：xi bi , aij , x j jm1
代入
n
m
n
Z c j x j ci xi c j x j
j 1
i 1
jm1
m
m
n
n
cibi, ci
aij , x j
cjxj
i 1
i1 jm1
jm1
m
n
m
cibi,
(c j ciaij , )x j
i 1
jm1
i 1
n
Z0 j x j jm1
判 别 标 准 ： j 0， 达 到 最 大 值
25
单纯形法
• 基变换 若σj ≥ 0，则取 max{σj } = σK ，相应之非基变量XK
若非基非变零量，保将持使为Z增零加，,故X令K 原XK是进非基基。变令量X，K≠取0 零其值余， X任K意≠0b’将i / 迫a’i使k 时某,个将原破基坏变非量负为性零条，件当, XK取值超过 于是令θ = min {b’i / a’ik ，a’ik >0 } = b’L/ a’Lk 。 这时原基变量XL=0，由基变量变成非基变量 a’Lk处在变量转换的交叉点上，称之为枢轴元素
Obj : S.T .
n
MaxZ c j x j j1
n
aij x j bi
j 1
i 1,2, , m
x j 0 j 1,2, , n
7
线性规划的标准型
• 向量式：
Obj : MaxZ CX
S.T .
n
p j x j bi
j 1
i 1,2, , m
xj 0
j 1,2, , n
3
线性规划的标准型（SLP）
Maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…a2nxn=b2 ……
am1x1+am2x2+…amnxn=bm x1,x2,…,xn≥0
4
标准型的特征
• 目标函数极大化 • 约束条件为等式 • 决策变量非负
18
基解
不失一般性,设B是A的前m列,即 B=(p1,p2,…,pm）,其相对应的变量 XB=(x1,x2,…,xm)T,称为基变量；其余变量 XN=(Xm+1,…,Xn)T称为非基变量。 令所有非基变量等于零, 则X=（x1,x2,…xm,0,…,0)T称为基解 。
19
基可行解
• 基可行解：基解可正可负，负则不可行， 故称满足非负性条件的基解为基可行解。
23
单纯形法
• 最优性检验：LP经过若干步迭代，成为如下形 式：
X1+
+a’1m+1xm+1+…+a’1nxn=b’1
x2+ +a’2m+1xm+1+…+a’2nxn=b’2
……………………………..
xm+a’mm+1xm+1+…+a’mnxn=b’m
x1=b’1- ∑ a’1jxj x2=b’2- ∑a’2jxj
x1-x2+x3 ≥-6
x’1+x2-（x’3 - x”3 ）+x4= 6
x1 ≤0 x2 ≥0 x3无约束 x’1 ≥ 0 x2 ≥0 x’3 ≥0
x”3 ≥0 x4≥0
15
•秩 •基 • 基可行解
基可行解
16
秩
• 设m×n矩阵A中有一个r阶子式D不等于零， 而所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于 零，则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称 数r为矩阵A的秩，记作R(A)=r。
9
非标准型转化为标准型
• 目标函数极小化转为极大化： minZ=-max(-Z) ，一个数的极小化等价于其相反数的极 大化。
• 不等式约束的转化： ∑aijxj≤bi 加入松弛变量 ∑aijxj≥bi 减去剩余变量
• 非正变量：即xk ≤0 则令x’k =- xk 自由变量：即xk无约束，令xk= x’k- x”k
5
线性规划的标准型
• 代数式 Maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn
s.t. a11x1+a12x2+…a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…a2nxn=b2
……
am1x1+am2x2+…amnxn=bm x1,x2,…,xn≥0 （xj ≥0 j=1,2,…,n）
6
线性规划的标准型
• 和式：
单纯形法解题举例
单纯形表的格式：
Cj
C1 C2 … CN
CB XB b X1 x2 …. Xn
θi
C1 X1 b 1 a11 a12 …
a1n
θ1
C2 X2 B2 a21 a22 … a2n
θ2
… ……… …
……
CM XM bm am1 am2…
amn
θm
σj
σ1 σ2 … σn
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某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各 产品的利润、各资源的限量和各产品的资源 消耗系数如下表：
下步
• 4、根据max {σj } = σK 原则确定XK 进基变量；根
据θ规则 θ = min {b’i / a’ik a’ik >0} = b’l/ a’lk 确定XL出 基变量
• 5、以a’lk 为枢轴元素进行迭代
• 6、重复第二步到第五步
32
单纯形法的进一步探讨
• 极小化问题直接求解：检验数的判别由σj ≤0
设备约束 4X1+5X2 ≤200 原材料约束3X1+10X2 ≤300 非负性约束X1≥0 X2≥0
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Cj
CB XB
0 X3 0 X4 0 X5
σj
0 X3 0 X4 120 X2
σj
0 X3 70 X1 120 X2
σj
b
360 200 300
0
240
50 30
3600
84 20 24 4280
运筹学
Operations Research
1
第４章 线性规划的标准型及单纯形法
2
线性规划的重要算法： 单纯形算法— 基本思路：从可行域的某个顶点开始， 转换到另一个更好的顶点，最终达到目标函数最优的 顶点。
1947 年由美国人 G.B.Dantzig提出，是近100 年来最成功的 10 个算法之一。
• 相应的基为可行基。 • 退化的基可行解：若某个基变量取值为零，
则称之为退化的基可行解。 • 基解的数目：最多Cmn=n!/m!(n-m)!
20
例题6 基可行解说明
maxZ=70X1+120X2
P1 P2 P3 P4 P5
9X1+4X2+X3=360
94100
4X1+5X2 +x4=200
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A= 4 5 0 1 0
0 0 0 -13.6 -5.2
θi
90 40 30
30.76 20 100
30
Cj
CB XB b
3 X1 12 -3 X2 1 -1 X5 27
6
5 X4 6 -3 X2 1 -1 X5 9
18
3 -3 0 5 -1
X1 X2 X3 X4 X5
1 0 -2 [ 2] 0 0 1 -2 0 0 0 0 -4 3 1
• 基（ p2,p3,p4 ），令非基变量x1,x5=0，则 基变量x2=30, x3=240, x4=50,可行解（P21图）
22
• （SLP）的基可行解对应于其可行域的顶 点（极点）
• 若（SLP）有最优解，则必有最优基可行 解
• 可行基解——迭代——更优的可行基解— —最优基解（单纯形法的原理）
C (c1 ,c2, , cn )
x1
X
x2 xn
x1,
x2 ,
, xn T
8
线性规划的标准型
• 矩阵式：
Obj :
MaxZ CX
S .T . AX B
X 0
B (b1 ,b2 , , bm )T
a11 a12 a1n
A
a21 am1
a22 am2
a12
amn
变为σj ≥ 0 • 人工变量法之一：大M法 人工变量价值系数M例 • 人工变量法之二：构造目标函数，分阶段求解例 • 无穷多最优解情形：非基变量检验数 σj= 0 • 退化解的情形：有两个以上 θ值相等
33
单纯形法的计算机求解
• 程序说明 • 应用举例 例题1 例题2
34
35
• 零矩阵的秩为零。 • m×n矩阵A的秩R(A)≤min{ m,n}
• 假设：约束方程组的系数矩阵A的秩为m （R(A)=m）,m<n
17
基
•基的概念：如前所述LP标准型
和式：maxZ= ∑cjxj ∑aijxj=bi xj ≥0 j=1,2,…,n
矩阵式：maxZ=CX AX=b X ≥0 约束方程的系数矩阵A的秩为m，且m<n。设 A=B+N ，B是A中mxm阶非奇异子矩阵，则称B是 LP的一个基，即：B是A中m个线性无关向量组。
10
非标准型转化举例之一
maxZ=70X1+120X2 9X1+4X2 ≤360 4X1+5X2 ≤200 3X1+10X2≤300 X1≥0 X2≥0
maxZ=70X1+120X2 9X1+4X2+X3=360
4X1+5X2 +x4=200
3X1+10X2
+x5 =300
X1≥0 X2≥0 X3 ≥0 x4
3X1+10X2+x5 =300
3 10 0 0 1
Xj≥0 j=1,2,…,5
这里m=3,n=5。 Cmn=10
21
例题6 基可行解说明
• 基（P3，P4，P5），令非基变量x1,x2=0， 则基变量x3=360, x4=200, x5=300,可行解
• 基（p2,p4,p5）,令非基变量x1=0,x3=0基变量 x2=90,x4=-250,x5=-600.非可行解
≥0 x5 ≥0
11
非标准型转化举例之二
minZ=x1+2x2-3x3 x1+x2+x3 ≤9 -x1-2x2+x3 ≥2 3x1+x2-3x3=5 x1 ≤0 x2 ≥0 x3无约束
12
非标准型转化举例之二
minZ=x1+2x2-3x3 maxZ’=x’1-2x2+3(x’3- x”3)
x1+x2+x3 ≤9
-x’1+x2+x’3- x”3 + x4=9
-x1-2x2+x3 ≥2
x’1-2x2+x’3 - x”3 - x5= 2
3x1+x2-3x3=5
- 3x’1+x2-3(x’3 - x”3 )=5
x1 ≤0 x2 ≥0 x3无约束 x’1 ≥ 0 x2 ≥0 x’3 ≥0
x”3 ≥0 x4≥0 x5≥0
劳动力 设备 原材料 单位产品利 润（元）
产品A 9 4 3 70
产品B 资源限制 4 360工时 5 200台时 10 300公斤
120
28
• 问题：如何安排生产计划，使得获利最多？ • 步骤：
1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg
2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X2 3、确定约束条件： 人力约束 9X1+4X2≤360
13
非标准型转化举例之三
minZ=-3x1-x2+4x3 -x1+2x2+x3 =5 x1-x2+x3 ≥-6 x1 ≤0 x2 ≥0 x3无约束
14
非标准型转化举例之三
minZ=-3x1-x2+4x3 maxZ’=-3x’1+x2-4(x’3- x”3)
-x1+2x2+x3 =5
x’1+2x2+x’3- x”3 =5
0 0 -4 2 0
θi
12/2=6 27/3=9
1/2 0 -1 1 0 0 1 -2 0 0 -3/2 0 -1 0 1
-1 0 -2 0 0
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单纯形法的计算步骤
• 1、找到初始可行基，建立单纯形表 • 2、计算检验数，若σj ≤0 则得最优解。否则转下步 • 3、若某σK ≥ 0而P’K ≤0 ，则最优解无界，否则转
70 120 0 0 0
X1 X2 X3 X4 X5
94 1 0 0 45 0 1 0 3 10 0 0 1
70 120 0 7.8 0 1 2.5 0 0 0.3 1 0
34 0 0
00 0 -0.4 1 -0.5 0 0.1
0 -12
0 0 1 -3.12 1.16 1 0 0 0.4 -0.2 0 1 0 -0.12 0.16
……………..
xm=b’m- ∑a’mjxj
n
xi bi,
aij , x j
jm1
24
单纯形法
n
一 般 性 表 示 ：xi bi , aij , x j jm1
代入
n
m
n
Z c j x j ci xi c j x j
j 1
i 1
jm1
m
m
n
n
cibi, ci
aij , x j
cjxj
i 1
i1 jm1
jm1
m
n
m
cibi,
(c j ciaij , )x j
i 1
jm1
i 1
n
Z0 j x j jm1
判 别 标 准 ： j 0， 达 到 最 大 值
25
单纯形法
• 基变换 若σj ≥ 0，则取 max{σj } = σK ，相应之非基变量XK
若非基非变零量，保将持使为Z增零加，,故X令K 原XK是进非基基。变令量X，K≠取0 零其值余， X任K意≠0b’将i / 迫a’i使k 时某,个将原破基坏变非量负为性零条，件当, XK取值超过 于是令θ = min {b’i / a’ik ，a’ik >0 } = b’L/ a’Lk 。 这时原基变量XL=0，由基变量变成非基变量 a’Lk处在变量转换的交叉点上，称之为枢轴元素
Obj : S.T .
n
MaxZ c j x j j1
n
aij x j bi
j 1
i 1,2, , m
x j 0 j 1,2, , n
7
线性规划的标准型
• 向量式：
Obj : MaxZ CX
S.T .
n
p j x j bi
j 1
i 1,2, , m
xj 0
j 1,2, , n
3
线性规划的标准型（SLP）
Maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn s.t. a11x1+a12x2+…a1nxn=b1
a21x1+a22x2+…a2nxn=b2 ……
am1x1+am2x2+…amnxn=bm x1,x2,…,xn≥0
4
标准型的特征
• 目标函数极大化 • 约束条件为等式 • 决策变量非负
18
基解
不失一般性,设B是A的前m列,即 B=(p1,p2,…,pm）,其相对应的变量 XB=(x1,x2,…,xm)T,称为基变量；其余变量 XN=(Xm+1,…,Xn)T称为非基变量。 令所有非基变量等于零, 则X=（x1,x2,…xm,0,…,0)T称为基解 。
19
基可行解
• 基可行解：基解可正可负，负则不可行， 故称满足非负性条件的基解为基可行解。
23
单纯形法
• 最优性检验：LP经过若干步迭代，成为如下形 式：
X1+
+a’1m+1xm+1+…+a’1nxn=b’1
x2+ +a’2m+1xm+1+…+a’2nxn=b’2
……………………………..
xm+a’mm+1xm+1+…+a’mnxn=b’m
x1=b’1- ∑ a’1jxj x2=b’2- ∑a’2jxj
x1-x2+x3 ≥-6
x’1+x2-（x’3 - x”3 ）+x4= 6
x1 ≤0 x2 ≥0 x3无约束 x’1 ≥ 0 x2 ≥0 x’3 ≥0
x”3 ≥0 x4≥0
15
•秩 •基 • 基可行解
基可行解
16
秩
• 设m×n矩阵A中有一个r阶子式D不等于零， 而所有r+1阶子式（如果存在的话）全等于 零，则称D为矩阵A的最高阶非零子式，称 数r为矩阵A的秩，记作R(A)=r。
9
非标准型转化为标准型
• 目标函数极小化转为极大化： minZ=-max(-Z) ，一个数的极小化等价于其相反数的极 大化。
• 不等式约束的转化： ∑aijxj≤bi 加入松弛变量 ∑aijxj≥bi 减去剩余变量
• 非正变量：即xk ≤0 则令x’k =- xk 自由变量：即xk无约束，令xk= x’k- x”k
5
线性规划的标准型
• 代数式 Maxz=c1x1+c2x2+…+cnxn
s.t. a11x1+a12x2+…a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…a2nxn=b2
……
am1x1+am2x2+…amnxn=bm x1,x2,…,xn≥0 （xj ≥0 j=1,2,…,n）
6
线性规划的标准型
• 和式：