人教新课标版数学高二-数学B版选修2-2练习1.4.1曲边梯形面积与定积分(一)
人教B版选修2-2高中数学1.4.1《曲边梯形面积与定积分》ppt课件(2)
b.
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思考 你能从定积分的几何意义解释
性质3吗?
利 用 几 何 画 板,解 释"以 直 代 曲 " 逼 近" 曲 边 梯 形 面 积 的 过 程.
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编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
1.4.1 曲边梯形面积与定积分
1
从曲边梯形面积以及求变速直线运动路程
的过程可以发现,它们都可以通过"四步曲": 分割、近似代替、求和、取极限得到解决，
且都可以归结为求一个特定形式和的极限: 曲边梯形面积
S lim Δx0
n
f
i1
ξi
Δx lim n
n i1
i n
(i
1,2,
,n),每
个小区间的长度为Δx i i 1 1. nn n
2近似代替、作和
取ξ i
i n
i
1,2, ,n,则
1fxdx
0
Sn
n i1
f
i n
Δx
n i 3 i1 n
1 n
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.4.1 曲边梯形面积与定积分》8
o错误!1－错误!1－错误!＝错误!思考：以上过程中，函数f 能不能是其它曲线对应的函数？ 答：其它函数对应的过程都是一样的，只是计算时表达式有所不同。
S n ＝错误!S n ＝错误! 错误!1－错误!1－错误!＝错误!求曲边梯形的面积可以通过分割、近似代替、求和、取极限四个步骤完成．思考: 在“近似代替”中，如果认为函数f ＝2在区间[错误!，错误!]i ＝1,2，…，n 上的值近似地等于右端点错误!处的函数值f 错误!，用这种方法能求出S 的值吗？若能求出，这个值也是错误!吗？取任意ξi ∈[错误!，错误!]处的函数值f ξi 作为近似值，情况又怎样？其原理是什么？答 以上方法都能求出S ＝错误!我们解决此类问题的原理是“近似代替”和“以直代曲”，在极限状态下，小曲边梯形可以看做小矩形．小结：在区间[错误!，错误!]i ＝1,2，…，n 上，取任意ξi ∈[错误!，错误!]处的函数值f ξi 作为近似值，结果都是一样的。
反思与感悟 求曲边梯形的思想及步骤：1思想：以直代曲、逼近；2步骤：分割→近似代替→求和→取极限；3oA1,0=2OB关键：近似代替；4结果：分割越细，面积越精确．（三）定积分的概念：一般地，求由连续曲线=ff ≥0，直线=a 、=b 及轴所围成的曲边梯形的面积的方法是： 如果函数f 在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝)(1i ni f n ab ξ∑=-⎰badxx f )(⎰badxx f )()(lim 1i ni n f nab ξ∑=+∞→-dxx f ba⎰)( 特别地，当a =b 时，有⎰baf (x )dx =0。
dx x f b a）（⎰-)()()()(为常数k dx x f k dx x kf baba⎰⎰=⎰⎰⎰±=±bababadxx g dx x f dx x g x f )()()]()([)()()()(b c a dxx f dx x f dx x f cab cba<<+=⎰⎰⎰其中20D ．若函数f 在区间[a ，b ]上连续且错误!f d>0，则函数f 在区间[a ，b ]上恒正 【答案】D5．函数f ，g 均是连续函数，若错误!g d ＝3，错误!f d ＝1，错误!f d ＝－2，则错误![f ＋g ]d ＝________ 【答案】66．2021年江西九江期中计算：错误!－5d ＝________ 【答案】－67．比较错误! 错误!d 与错误! 错误!d 的大小． 【解析】设＝ 错误!，则错误!＋错误!＝1≥0． 设＝ 错误!，则错误!＋错误!＝1≥0．∴错误! 错误!d 的几何意义是长半轴长为3，短半轴长为错误!的上半个椭圆的右半部分与轴、轴所围成的平面图形错误!的面积；错误! 错误!d 的几何意义是长半轴长为3，短半轴长为错误!的上半个椭圆的右半部分与轴、轴所围成的平面图形错误!Oa b的面积．∵错误!＞错误!，∴错误!错误!d＞错误!错误!d能力提升8．一辆汽车以v＝3t2的速度行驶，这辆汽车从t＝0到t＝3这段时间内所行驶的路程为A．错误!B．1 C．3 D．27【答案】D【解析】∵＝错误!3t2d t＝错误!错误!2×错误!＝27×错误!，∴错误!3t2d t＝错误!27×错误!＝．2－d的值为A．错误! B．0 C．－错误!D．1【答案】C【解析】将[0,1]分成n等分，每个区间长度为错误!，则错误!错误!×错误!＝错误![02＋12＋…＋n－12]－错误![0＋1＋2＋…＋n－1]×错误!＝错误!×错误!－错误!×错误!×错误!＝－错误!＋错误!所以错误!2－d＝错误!错误!＝－错误!故选C．10．一质点做变速直线运动，其瞬时速度为vt＝1＋错误!tt的单位：，v的单位：m/，则该质点从t＝1 到t＝4 这一时段中所经过的位移为________m【答案】错误!【解析】错误!错误!×错误!＝错误!×错误!＝错误!－错误!∴＝错误!错误!d t＝错误!错误!＝错误!11．用定积分的几何意义求下列各式的值．1错误!错误!d； 2in d【解析】1由＝错误!，知2＋2＝4≥0，其图象如图．则错误!错误!d等于圆心角为60°的弓形CDE的面积与矩形ABCD的面积之和．∵S弓形＝错误!×错误!×22－错误!×2×2in错误!＝错误!－错误!，S矩形＝AB·BC＝2错误!，∴错误!错误!d＝2错误!＋错误!－错误!＝错误!＋错误!2∵函数＝in 在∈错误!上是奇函数，∴函数＝in 分别与＝0，＝－错误!和＝0，＝错误!围成的图形的面积相等，即in d＝0。
人教B版高中数学选修22 1.4.1 曲边梯形面积与定积分 测试(教师版)
1.4.1 曲边梯形面积与定积分（检测教师版）时间:50分钟 总分：80分班级： 姓名：一、 选择题（共6小题，每题5分，共30分）1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦(i ＝1,2，…，n )上的值可以用 ( )近似代替 A.inB ．1f n ⎛⎫⎪⎝⎭ C ．i f n ⎛⎫⎪⎝⎭D ．1n【答案】C【解析】f (x )＝x 2在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值可以用区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上每一点对应的函数值近似代替，故选C.2．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为( ) A ．1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．1,n i n i n n +-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．[]1,i i - D ．1,i i n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】在区间[1,2]上等间隔地插入n －1个点，将它等分成n 个小区间[1，1n n +]，[1n n+，2n n +]，…，1,n i n i n n +-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，[21n n -，2]，所以第i 个区间为1,n i n i n n +-+⎡⎤⎢⎥⎣⎦(i ＝1，2，…，n )． 3．计算：11||d x x -=⎰A ．11d x x -⎰B ．11d x -⎰C ．11()d d x x x x --+⎰⎰D ．110d ()d x x x x -+-⎰⎰【答案】C【解析】因为(0)||(0)x x x x x ≥⎧=⎨-<⎩， 所以10101111||d ||d ||d ()d d x x x x x x x x x x ---=+=-+⎰⎰⎰⎰⎰，故选C ．4．定积分1xdx ⎰与0⎰的大小关系是( )A. 10xdx ⎰＝0⎰ B ．1xdx ⎰>0⎰C.1xdx ⎰<⎰D ．无法确定【答案】C【解析】在同一坐标系中画出y y ＝x 的图象如图，由图可见，当x ∈[0,1]时，y的图象在y ＝x 的图象上方，由定积分的几何意义知，1xdx ⎰<⎰.5．下列等式不成立的是( ) A. ()()b a mf x ng x dx ⎡⎤+⎣⎦⎰＝m ()b a f x dx ⎰＋n ()ba g x dx ⎰ B. ()1ba f x dx ⎡⎤+⎣⎦⎰＝()ba f x dx ⎰＋b －a C. ()()b a f x g x dx ⎰＝()()b ba af x dxg x dx ⎰⎰D.2π2πsin xdx -⎰＝02π2πsin sin xdx xdx -+⎰⎰【答案】C【解析】利用定积分的性质进行判断，选项C 不成立． 例如112xdx =⎰，12013x dx =⎰，13014x dx =⎰，11132000x dx xdx x dx ≠⋅⎰⎰⎰.故选C. 6．下列命题不正确的是( ) A ．若f (x )是连续的奇函数，则()0aa f x dx -=⎰B ．若f (x )是连续的偶函数，则()()02aaaf x dx f x dx -=⎰⎰C ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则()0baf x dx >⎰D ．若f (x )在[a ，b )上连续且()0baf x dx >⎰，则f (x )在[a ，b )上恒正【答案】D【解析】对于A ，因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确；对于B ，因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确；C 显然正确；对于D ，f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．二、 填空题（共4小题，每题5分，共20分）7．已知12013x dx =⎰，22173x dx =⎰，则()2201x dx +⎰＝________.【答案】143【解析】∵220x dx ⎰＝120x dx ⎰＋221x dx ⎰＝178333+=，2012dx =⎰，∴()221x dx +⎰＝22x dx ⎰＋28141233dx =+=⎰. 8．由直线x ＝0、x ＝1、y ＝0和曲线y ＝x 2＋2x 围成的图形的面积为__________． 【答案】43【解析】将区间[0,1]n 等分，每个区间长度为1n， 区间右端点函数值为22222i i i i y n n n n ⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭.22223232111121212nn n ni i i i i i i i i i nn n n n n n ====⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑＝3116n ⨯n (n ＋1)(2n ＋1)＋()2122n n n +⨯ ＝222316n n n ++＋1n n +＝228916n n n ++，∴所求面积S ＝2228914314lim lim 63263n n n n n n n →+∞→+∞++⎛⎫=++= ⎪⎝⎭. 9.若11(2)d 3ln 2ax x x+=+⎰，则实数a =________________．【答案】2 【解析】221111111(2)d 2d d ln 1ln 3ln 2aa a aa x x x x x x xa a xx +=+=+=-+=+⎰⎰⎰，解得2a =．10.已知函数22()31f x x x =++，若11()()d 2f x x f a -=⎰成立，则实数a =________________．【答案】1-或13【解析】取32()F x x x x =++，则(1)3F =，()11F -=-， 所以11()(1)(1)4f x dx F F ---==⎰，所以2()4f a =，所以()2f a =，即23212a a ++=，解得1a =-或13． 三、解答题（共3小题，每题10分，共30分）11．已知1e e 1xdx =-⎰，221e e e xdx =-⎰，2283x dx =⎰，2122ln 2dx x =⎰.求：(1)2e x dx ⎰；(2)()220e 3x x dx +⎰；(3)211e x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 【解析】(1)2122201e e e e 1e e e 1x x x dx dx dx =+=-+-=-⎰⎰⎰.(2)()22e3xx dx +⎰＝20e xdx ⎰＋()2203x dx ⎰＝20e xdx ⎰＋2203x dx ⎰＝e 2－1＋8＝e 2＋7.(3)211e x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰＝21e x dx ⎰＋21122dx x ⎰＝e 2－e ＋ln2.12.弹簧在拉伸的过程中，力与伸长量成正比，即力F (x )=kx (k 为常数，x 是伸长量)，求弹簧从平衡位置拉长b 所做的功.【解析】将物体用常力F 沿力的方向移动距离x ，则所做的功为W =F·x . (1)分割：在区间[0，b ]上等间隔地插入1n -个点，将区间[0，b ]等分成n 个小区间：0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 记第i 个区间为()()1,1,,,2i b i b n i n n -⎡⎤⋅=⎢⎥⋯⎣⎦， 其长度为()1i b i b b x n n n-⋅∆=-=. 把在分段0,b n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,b b n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，()1,n b b b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上所做的功分别记作ΔW 1，ΔW 2，…，ΔW n . (2)近似代替： 由条件知，()()()111,2,,i i b i b b W F x k i n n n n --⎛⎫∆≈⋅∆=⋅⋅=⎪⎭⋯ ⎝.(3)求和：()()()222221111101211.22n nn i i i i b n n b kb kb kb W W k n nnn n n ==--⎛⎫≈∆=⋅⋅=++++-=⋅=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⋯⎭∑∑(4)取极限：2211lim lim lim 122nn i n n n i kb kb W W W n →+∞→+∞→+∞=⎛⎫==∆=-= ⎪⎝⎭∑. 所以得到弹簧从平衡位置拉长b 所做的功为22kb .13.求由曲线22y x =+与3y x =，0x =，2x =所围成的平面图形的面积（画出图形）． 【答案】图形见解析，平面图形的面积为1S =．【解析】画出曲线22y x =+与3y x =，则下图中的阴影部分即为所要求的平面图形．解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩，可得12x x ==或．故平面图形的面积为322312221201133(2)3d 3(2)d (2)|(2)|3223x x x x S x x x x x x x x =+-+-+=+-+--⎰⎰1=，所以所求图形的面积为1．。
2019版数学人教B版选修2-2训练：1.4.1 曲边梯形面积与定积分 Word版含解析
姓名，年级：时间：1.4定积分与微积分基本定理1.4.1曲边梯形面积与定积分1当n很大时,函数f（x）=x2在区间[i-1n ,in]上的值,可以用下列中的哪一项来近似代替()A。
f(1n )B.f(2n)C.f(in)D.f(0)答案：C2下列等式成立的是（)A.∫ba 0dx=b−aB.∫baxdx=12C.∫1-1|x|dx=2∫1|x|dxD.∫ba(x+1)dx=∫baxdx答案：C3由曲线y=x2—1,直线x=0,x=2和x轴围成的封闭图形（如图）的面积是（)A.∫2(x2−1)dxB.|∫2x2-1)dx|C.∫2|x2−1|dxD.∫1-1(x2−1)dx+∫21(x2−1)dx答案:C4用定积分表示下列阴影部分的面积（不要求计算）:（1)S1= (图①）;（2)S2= （图②）;（3)S3= （图③）。
)∫ππ3sin xdx(2)∫2-412x2dx（3)−∫94(-x12)dx5不用计算,根据图形,比较下列各式的大小：（1)∫10xdx∫1x2dx(图①);（2)∫10xdx∫21xdx(图②).〉(2)〈6若∫π2cos xdx=1,则由x=0,x=π,f(x)=sin x及x轴围成的图形的面积为.,知f（x)=sin x,x∈[0，π］的图象与x轴围成的图形的面积等于g(x）=cos x，x∈[0,π2]的图象与x轴围成的图形的面积的2倍.所以答案:应为2.7利用定积分的几何意义计算∫2(2x+1)dx.相当于求f(x)在区间[a,b]上的定积分（或定积分的绝对值）。
,所求定积分为阴影部分的面积，且面积为12×(1+5)×2=6,故∫ 20(2x +1)dx =6.8利用定积分的定义计算∫ 10(x2+2)dx. 。
［0，1］分成n 等份,分点和小区间的长度分别为x i =i n (i =1,2,…，n —1),Δx i =1n (i =1,2,…,n )，取ξi =in (i =1,2,…，n ）, 作积分和∑i=1n f(ξi)Δxi =∑i=1n(ξi 2+2)Δxi =∑i=1n[(i n )2+2]·1n =1n 3∑i=1n i2+2=1n 3·16n(n +1)(2n +1)+2 =16(1+1n )(2+1n)+2. ∵λ=1n ,当λ→0时，n →+∞, ∴∫ 10(x2+2)dx =lim n →+∞∑i=0n f(ξi)Δxi =lim n →+∞[16(1+1n )(2+1n )+2]=13+2=73.。
高中数学人教B版选修2-2学案：1.4.1 曲边梯形面积与定积分(二)
1.4.1曲边梯形面积与定积分(二)明目标、知重点1.了解定积分的概念，会用定义求定积分.2.理解定积分的几何意义.3.掌握定积分的基本性质．定积分的概念、几何意义及性质探究点一定积分的概念思考1分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点．答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2怎样正确认识定积分ʃb a f(x)d x?答(1)定积分ʃb a f(x)d x是一个数值(极限值)．它的值仅取决于被积函数与积分上、下限，另外ʃb a f (x )d x 与积分区间[a ，b ]息息相关，不同的积分区间，所得值也不同．(2)定积分就是和的极限lim n→∞∑i ＝1nf (ξi )·Δx ，而ʃb a f (x )d x 只是这种极限的一种记号，读作“函数f (x )从a 到b 的定积分”．(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)．例1利用定积分的定义，计算ʃ10x 3d x 的值．解令f (x )＝x 3. (1)分割在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n .(2)近似代替、求和 取ξi ＝in(i ＝1,2，…，n )，则ʃ10x 3d x ≈S n ＝∑ni ＝1f (i n)·Δx＝∑ni ＝1 (i n)3·1n＝1n 4∑n i ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n )2. (3)取极限ʃ10x 3d x ＝lim n →∞S n＝lim n →∞14(1＋1n )2＝14. 反思与感悟(1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤．(2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积． 跟踪训练1用定义计算ʃ21(1＋x )d x .解(1)分割：将区间[1,2]等分成n 个小区间⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋in (i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为 Δx ＝1n.(2)近似代替、求和：在⎣⎡⎦⎤1＋i －1n ，1＋in 上取点ξi ＝1＋i －1n (i ＝1,2，…，n )，于是f (ξi )＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，从而得∑i ＝1n f (ξi )Δx ＝i ＝1n (2＋i －1n )·1n ＝i ＝1n ⎝⎛⎭⎫2n ＋i －1n 2＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋1n 2·n (n －1)2＝2＋n －12n.(3)取极限：S ＝limn →∞⎝⎛⎭⎫2＋n －12n ＝2＋12＝52. 因此ʃ21(1＋x )d x ＝52. 探究点二定积分的几何意义思考1从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么ʃb a f (x )d x 表示什么？ 答当函数f (x )≥0时，定积分ʃb a f (x )d x 在几何上表示由直线x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积．思考2当f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≤0时，ʃb a f (x )d x 表示的含义是什么？若f (x )有正有负呢？答如果在区间[a ，b ]上，函数f (x )≤0时，那么曲边梯形位于x 轴的下方(如图①)．由于b －a n>0，f (ξi )≤0，故f (ξi )b －a n ≤0.从而定积分ʃb a f (x )d x ≤0，这时它等于如图①所示曲边梯形面积的相反值，即ʃb af (x )d x ＝－S .当f (x )在区间[a ，b ]上有正有负时，定积分ʃb a f (x )d x 表示介于x 轴、函数f (x )的图象及直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )之间各部分面积的代数和(在x 轴上方的取正，在x 轴下方的取负)．(如图②)，即ʃb a f (x )d x ＝－S 1＋S 2－S 3.例2用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛01(3x ＋2)d x ；(2)322sin ;xdx ππ⎰(3)⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ； (4)⎠⎛ab (x －a )(b －x )d x (b >a )．解(1)如图1阴影部分面积为(2＋5)×12＝72， 从而⎠⎛01(3x ＋2)d x ＝72.(2)如图2，由于A 的面积等于B 的面积， 从而322sin xdx ππ⎰＝0.(3)令f (x )＝|x ＋1|＋|x －1|－4，作出f (x )在区间[－3,3]上的图象，如图3所示，易知定积分⎠⎛3－3f (x )d x 表示的就是图中阴影部分的面积的代数和．∵阴影部分的面积S 1＝S 3＝1，S 2＝6， ∴⎠⎛－33 (|x ＋1|＋|x －1|－4)d x ＝1＋1－6＝－4. (4)令y ＝f (x )＝(x －a )(b －x )，则有(x －a ＋b 2)2＋y 2＝(b －a 2)2(y ≥0)，f (x )表示以(a ＋b2，0)为圆心，半径为b －a 2的上半圆，而这个上半圆的面积为S ＝12πr 2＝π2(b －a 2)2＝π(b －a )28，由定积分的几何意义可知⎠⎛ab(x －a )(b －x )d x ＝π(b －a )28.反思与感悟利用几何意义求定积分，关键是准确确定被积函数的图象，以及积分区间，正确利用相关的几何知识求面积．不规则的图象常用分割法求面积，注意分割点的准确确定． 跟踪训练2利用几何意义计算下列定积分： (1)ʃ3－39－x 2d x ；(2)ʃ3－1(3x ＋1)d x .解(1)在平面上y ＝9－x 2表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆，其面积为S ＝12·π·32. 由定积分的几何意义知ʃ3－39－x 2d x ＝92π. (2)由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0，以及y ＝3x ＋1所围成的图形，如图所示：ʃ3－1(3x ＋1)d x 表示由直线x ＝－1，x ＝3，y ＝0以及y ＝3x ＋1所围成的图形在x 轴上方的面积减去在x 轴下方的面积，∴ʃ3－1(3x ＋1)d x ＝12×(3＋13)×(3×3＋1)－12(－13＋1)×2＝503－23＝16. 探究点三定积分的性质思考1定积分的性质可作哪些推广？ 答定积分的性质的推广①ʃb a [f 1(x )±f 2(x )±…±f n (x )]d x ＝ʃb a f 1(x )d x ±ʃb a f 2(x )d x ±…±ʃb a f n (x )d x ；②ʃb a f (x )d x ＝ʃc 1a f (x )d x ＋ʃc 2c 1f (x )d x ＋…＋ʃb c n f (x )d x (其中n ∈N ＋)．思考2如果一个函数具有奇偶性，它的定积分有什么性质？ 答奇、偶函数在区间[－a ，a ]上的定积分①若奇函数y ＝f (x )的图象在[－a ，a ]上连续不断，则ʃa －a f (x )d x ＝0. ②若偶函数y ＝g (x )的图象在[－a ，a ]上连续不断，则ʃa －a g (x )d x ＝2ʃa 0g (x )d x .例3计算ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x 的值． 解如图，由定积分的几何意义得ʃ3－39－x 2d x ＝π×322＝9π2，ʃ3－3x 3d x ＝0，由定积分性质得ʃ3－3(9－x 2－x 3)d x ＝ʃ3－39－x 2d x －ʃ3－3x 3d x ＝9π2. 反思与感悟根据定积分的性质计算定积分，可以先借助于定积分的定义或几何意义求出相关函数的定积分，再利用函数的性质、定积分的性质结合图形进行计算． 跟踪训练3已知ʃ10x 3d x ＝14，ʃ21x 3d x ＝154，ʃ21x 2d x ＝73，ʃ42x 2d x ＝563，求： (1)ʃ203x 3d x ；(2)ʃ416x 2d x ；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x . 解(1)ʃ203x 3d x ＝3ʃ20x 3d x ＝3(ʃ10x 3d x ＋ʃ21x 3d x )＝3×(14＋154)＝12；(2)ʃ416x 2d x ＝6ʃ41x 2d x ＝6(ʃ21x 2d x ＋ʃ42x 2d x )＝6×(73＋563)＝126；(3)ʃ21(3x 2－2x 3)d x ＝ʃ213x 2d x －ʃ212x 3d x＝3ʃ21x 2d x －2ʃ21x 3d x ＝3×73－2×154 ＝7－152＝－12.1．下列结论中成立的个数是() ①ʃ10x 3d x ＝i ＝1n i 3n 3·1n；②ʃ10x 3d x ＝lim n ＋∞i ＝1n (i －1)3n3·1n ； ③ʃ10x 3d x ＝lim n ＋∞i ＝1n i 3n 3·1n. A ．0B ．1C ．2D ．3 答案C解析②③成立．2．定积分ʃb a f (x )d x 的大小()A ．与f (x )和积分区间[a ，b ]有关，与ξi 的取法无关B ．与f (x )有关，与区间[a ，b ]以及ξi 的取法无关C ．与f (x )以及ξi 的取法有关，与区间[a ，b ]无关D ．与f (x )、积分区间[a ，b ]和ξi 的取法都有关 答案A3．根据定积分的几何意义，用不等号连接下列式子：①ʃ10x d x ________ʃ10x 2d x ； ②ʃ204－x 2d x ________ʃ202d x .答案①>②<4．若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案3 解析令f (x )＝x 2. (1)分割将区间[0，T ]n 等分，则Δx ＝T n .(2)近似代替、求和 取ξi ＝T in(i ＝1,2，…，n )，S n ＝i ＝1n (T i n)2·T n ＝T 3n 3∑i ＝1n i 2＝T 3n 3(12＋22＋…＋n 2)＝T 3n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6＝T 36(1＋1n )(2＋1n )． (3)取极限S ＝lim n →∞T 36×2＝T 33＝9,∴T 3＝27，∴T ＝3. [呈重点、现规律]1．定积分ʃb a f (x )d x 是一个和式i ＝1nb －anf (ξi )的极限，是一个常数． 2．可以利用“分割、近似代替、求和、取极限”求定积分；对于一些特殊函数，也可以利用几何意义求定积分．3．定积分的几何性质可以帮助简化定积分运算．。
高中数学人教b版选修2-2学案：1.4.1 曲边梯形面积与定积分 含解析
1．4 定积分与微积分基本定理1．4.1 曲边梯形面积与定积分1．了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程．(重点)2．掌握定积分的概念，会用定义求定积分．(难点)3．理解定积分的几何意义与性质．(易混点)[基础·初探]教材整理1 曲边梯形阅读教材P36，完成下列问题．由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形(如图1-4-1)．图1-4-1【答案】y＝f(x)教材整理2 定积分的定义阅读教材P38，完成下列问题．设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上(如图1-4-2)．用分点a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝b把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n －1.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi ，作和式I n ＝∑i ＝0n －1f(ξi )Δx i ，当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把________________叫做____________________上的定积分，记作∫b af(x)dx ，即∫b af(x)dx ＝lim λ→0∑i ＝0n －1f(ξi )Δx i .其中f(x)叫做________，a 叫____________，b 叫________，f(x)dx 叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a ，b]上________．图1-4-2【答案】 和式I n 的极限 函数f(x)在区间[a ，b] 被积函数 积分下限 积分上限 可积教材整理3 定积分的性质与几何意义 阅读教材P 39，完成下列问题． 1．定积分的性质(1)⎠⎛a b cf(x)dx ＝____________________________(c 为常数)．(2)设f(x)，g(x)可积，则⎠⎛a b [f(x)±g(x)]dx ＝⎠⎛abf(x)dx ±________________________.【答案】 1.(1)c ⎠⎛a b f(x)dx (2)⎠⎛a b g(x)dx2．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有________，那么定积分⎠⎛a b f(x)dx 表示由__________________所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分⎠⎛ab f(x)dx 的几何意义．【答案】 f(x)≥0 直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0和曲线y ＝f(x)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)⎠⎛a b f(x)dx ＝⎠⎛ab f(t)dt.( )(2)⎠⎛a b f(x)dx 的值一定是一个正数．( ) (3)⎠⎛a b (x 2＋2x )dx ＝⎠⎛a b x 2dx ＋⎠⎛a b 2x dx.( )【答案】 (1)√ (2)× (3)√ 2．填空(1)由y ＝0，y ＝cos x ，x ＝0，x ＝π2围成的图形的面积用定积分的形式表示为__________．(2) ⎠⎛-11f(x)dx ＝⎠⎛-10f(x)dx ＋__________.(3)⎠⎛012x dx__________⎠⎛022x dx.(填“<”“＝”或“>”) 【答案】 (1) ⎠⎜⎛0π2cos xdx (2)⎠⎛01f(x)dx (3)< [质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]。
人教B版选修(2-2)1.4.1《曲边梯形面积与定积分》word练习题4
X曲边梯形面积与定积分得分 ________一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分) 21.函数y=x cosx 的导数,,,,,,,,,,,,,,, 【A. y =2xcosx — x 1 2s inx2 .B. y =2xcosx+x snx2C. y' =x cosx — 2xsi nx 2 .D. y =xcosx — x sinx 2.下列结论中正确的是 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,, 【 A.导数为零的点一定是极值点B. 如果在X o 附近的左侧f'(x) 0，右侧f'(x) ::: 0，那么f (X o )是极大值C. 如果在X 。
附近的左侧f '(x)，右侧f'(x) :: 0，那么f(Xo )是极小值D. 如果在x 0附近的左侧f'(x) ：：：0,右侧f'(x)・0，那么f(x 0)是极大值3兀3. 曲线y=cosx(0—X "，与坐标轴围成的面积是，，，，，”，,”2【 】5A.4B.C.3D.2234. 函数 f(x) =3x-4x , [0,1]的最大值是，”,，，，，，，，，，，，，【1A.1B.C.0D.-1[25.如果10N 的力能使弹簧压缩10cm ，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 6cm 处，则克服弹力所做的功为 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，【A . 0.28JB. 0.12JC. 0.26JD. 0.18J6.给出以下命题: b⑴若 f (x)dx 0，则 f(x)>0 ；asin xdx 二4 ；⑶f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以aT 为周期的函数，则.f (x)dx-a TT f(x)dx ；其中正确命题的个数为,A. 1B. 2C. 3D. 0 7.若函数f (X) x 2 mx 1 是 R 上的单调函数，则实数 m 的取值范围是A. 】1 (-+oc ) (3，)1 B.(一：弓 8.设 0< a <b ，且 1亠 1亠x f (X) = 1——」，则下列大小关系式成立的是9.函数f(x) =ax3 4-b 在区间(v ,0)内是减函数，贝U a,b 应满足”,”，”,【 】A. a ::: 0且 b = 0且b R10. f (x)与g(x)是R 定义在上的两个可导函数，若f(x)与g(x)满 足八))))))))))))))))))))))))))))))))))【】A. f(X)二 g(x)B. f(x)-g(x)为常数函数c. f (x)二g(x) =0D. f(x) g(x)为常数函数211. (2007江苏)已知二次函数f (x) = ax bx c 的导数为f (x)， f (0) 0 ,对于任意实数x，有f(x > ),则f (1 昇 的丿 最小值0 )为丿 7 )))))))))))))))))))))))))【】53A. 3B.c. 2D.2212. (2007江西理)设函数f (x)是R 上以 5为周期的可导偶函数，则曲线 y = f(x)在 x =5处的切线的斜率为( )11A.--B. 0c.—D .555二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)13. 10.曲线y=2x 3— 3x 2共有 _____ 个极值.16.已知函数f (x) = x3ax 2 bx c 在x = -2处取得极值，并且它的图象与直线2y= _3x ' 3在点(1, 0)处相切，则函数 f (x)的表达式为 _____________ ____ __ m.314.已知 f (x)为一次函数，且 _______________ f (x) =x +2J ° f(t)dt ，贝U f (x) =a +bI —A.f(a )< f ()<f( ab )2— a ■ bC. f ( ..ab )< f ()<f (a )a + brB. f ()<f (b)< f (. ab )2a + b[~~c. a ■ 0 且 b = 0 D . a ■ 0f (x)与g (x)满足 f (x) = g (x)，则 15.若 f (x) = ef (1 -2t) -f(1)三、解答题(共74分)17.(本小题满分10分)一物体沿直线以速度v(t) = 2t-3 (t的单位为秒,v的单位为：米/秒)的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程？18.(本小题满分12分)已知曲线y = x3+ x—2在点P o处的切线11平行直线4x—y—仁0 ,且点P o在第三象限，⑴求P o的坐标；⑵若直线I _ h ,且I也过切点P o ,求直线l的方程.3 219.(本小题满分12分)已知函数f(x)二ax (a -1)x 48(^ 2)x b的图象关于原点成中心对称，试判断f(x)在区间1-4,4上的单调性，并证明你的结论•120.(本小题满分14 分)已知函数f(x)=l nx (x 式0),函数g(x)=—；—+ af"(x)(x^0) f(x)⑴当x = 0时，求函数y = g(x)的表达式；⑵若a 0,函数y=g(x)在(0,=)上的最小值是2 ,求a的值;27y x 与函数y = g(x)的图象所围成图形的面积⑶在⑵的条件下，求直线3 621. (本小题满分 12 分)设 a > 0 , f(x)=x_1_ln 2x 2alnx(x .O).(I)令F(x)二xf (x)，讨论F(x)在(0,^)内的单调性并求极值； (H)求证：当 x 1 时，恒有 x .In 2x_2alnx J .22. (本小题满分14分)已知函数 f(x)=e x-kx, x R(I)若k 二e ,试确定函数f (x)的单调区间；(n)若k 0，且对于任意R , f(x) 0恒成立，试确定实数 k 的取值范围；n(川)设函数 F(x) = f(x) f(-x)，求证：F(1)F(2)|||F(n) (e n12円n N ).3、将半径为R 的球加热，若球的半径增加 R ，则球体积的平均变化率为(2 ^4 3^4A 4 兀 R 2"A R +4兀 R +_ 兀(A R )B 、 4 兀 R 2+4兀 R 边R +_ 兀33数学科学段测试(导数部分)一、选择题(12小题，共36分)1、 设曲线y = x 2A (0,- 2)2、 抛物线y=x?在点M (— 2 B 、45°A 30° •x -2在点M 处切线斜率为3,则点M 的坐标为B 、( 1,1、4C 0) C 、(0, 0)D 的切线的倾斜角是 ()、(1,1) (、60° D 、90° 3“R )2C4. R 2R D 、4. R 24、 函数y=x 3— 3x 在［—1, 2］上的最小值为 （）A 2B 、一 2C 、0D — 45、 设函数f x 的导函数为f x ，且f x = x 22x f 1 ,则f 0等于（）A 0B 、_4C 、_2D 、26已知曲线y 」x 3在点P （2,8），则过P 点的切线方程为（）3 3 A 、3x -12y _16 二 0 B 、12x-3y -16=0 C 、 3x-12y 16 = 0 D 12x_3y16=07、 已知f （x ） = x 3+ ax 2+ （a + 6）x + 1有极大值和极小值，则a 的取值范围为（）A 、— 1<a<2B 、— 3<a<6C 、a<— 1 或 a>2D 、a<— 3 或 a>68、 设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如下图所示，贝U 导函数 y=f0） 可能为 （）值范围是1 1A 、kB 0 ：：： k _ —3 310、 函数y=xlnx 的单调递减区间是A 、（ e 4，+x ）B 、（ — X ，e 4） 11、 方程x 3— 6x 2+9x — 10=0的实根个数是A . 3B . 2C . 112、对于R 上可导的任意函数f （x ），且f '（1） = 0若满足（x — 1） f（ x ）>0,则 必有（）A f (0) + f (2) ：(1)B 、f (0) + f ⑵ -2f (1)C 、f (0) + f (2) >2f (1) D、f (0) + f (2) -2f (1)二、填空题（4小题，共16分）13、【文】已知函数y=x 3-3x ，则它的单调递增区间是 _________________13、【理】 计算定积分： 2（x sinx ）dx = _________________14、 已知函数y =lnsinx 和y 二a 2x 的导函数分别是 ___________ 、 ____________ < 15、 【文】一质点在直线上从时刻t=0秒以速度v （t ）二t 2-4t • 3 （米/秒）运动,则该质点在时刻t=3秒时运动的路程为 ___________________ 。
人教B版选修22高中数学141《曲边梯形面积与定积分》同步练习2
曲边梯形面积与定积分一、选择题1.给出如下命题：①错误！超链接引用无效。
(错误！超链接引用无效。
为常数且错误!超链接引用无效。
)；②错误！超链接引用无效.；③曲线错误！超链接引用无效。
,错误！超链接引用无效。
错误!超链接引用无效.，与直线错误!超链接引用无效.围成的两个封闭区域的面积之和为错误！超链接引用无效。
其中真命题的错误!超链接引用无效.个数为（）Ａ.错误！超链接引用无效。
Ｂ。
错误！超链接引用无效。
Ｃ。
错误!超链接引用无效。
Ｄ.错误!超链接引用无效.答案:Ｂ2.错误!超链接引用无效。
等于()Ａ。
错误！超链接引用无效。
Ｂ.错误！超链接引用无效。
Ｃ.错误！超链接引用无效。
Ｄ。
错误！超链接引用无效。
答案：Ｃ3。
若某产品一天内的产量是时间错误！超链接引用无效。
的函数，若已知产量的变化率为错误!超链接引用无效。
，那么从第3小时到第6小时期间内的产量为（）Ａ.错误！超链接引用无效。
Ｂ。
错误！超链接引用无效.Ｃ.错误！超链接引用无效。
Ｄ.错误！超链接引用无效。
答案：Ｄ4.错误！超链接引用无效。
,则错误！超链接引用无效。
的最大值是(）Ａ.错误!超链接引用无效。
Ｂ.错误！超链接引用无效。
Ｃ.错误！超链接引用无效.Ｄ。
错误！超链接引用无效。
答案：Ｂ二错误!超链接引用无效.、填空题错误！超链接引用无效。
5.若错误!超链接引用无效。
是一次函数,且错误！超链接引用无效。
,错误！超链接引用无效.,那么错误！超链接引用无效。
的值是。
答案:错误！超链接引用无效.6。
物体按照规律错误！超链接引用无效。
错误！超链接引用无效。
做直线运动,设介质的阻力与速度成正比,且速度等错误！超链接引用无效.于错误！超链接引用无效。
时,阻力为错误！超链接引用无效.,则物体从错误!超链接引用无效。
到错误!超链接引用无效。
阻力所做的功等于.答案:错误！超链接引用无效。
三、解答题7。
在曲线错误!超链接引用无效。
上某一点错误！超链接引用无效.处作一切线使之与曲线以及错误！超链接引用无效。
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集(全册 共65页 附答案)
【人教B版】高中数学选修2-2学案全集（全册共65页附答案）目录1.2 导数的运算1.3.1 利用导数判断函数的单调性1.3.2 利用导数研究函数的极值1.3.3 导数的实际应用1.4.1 曲边梯形面积与定积分1.4.2 微积分基本定理2.1.1 合情推理2．1.2 演绎推理2.2.1 综合法与分析法2.2.2 反证法2.3 数学归纳法3.1.2 复数的概念3.1.3 复数的几何意义3.2.1 复数的加法与减法3.2.2 复数的乘法3.2.3 复数的除法1.2 导数的运算1．掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 2．熟练运用导数的运算法则．3．正确地对复合函数进行求导，合理地选择中间变量，认清是哪个变量对哪个变量求导数．1．基本初等函数的导数公式表y ＝f (x ) y′＝f′(x )(1)求导公式在以后的求导数中可直接运用，不必利用导数的定义去求． (2)幂函数的求导规律：求导幂减1，原幂作系数．【做一做1－1】给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y′＝133x ；③若y ＝1x2，则y′＝－2x －3；④若y ＝f (x )＝3x ，则f′(1)＝3；⑤若y ＝cos x ，则y′＝sin x ；⑥若y ＝sin x ，则y′＝cos x ．其中正确的个数是( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【做一做1－2】下列结论中正确的是( )．A ．(log a x )′＝a xB ．(log a x )′＝ln 10xC ．(5x )′＝5xD ．(5x )′＝5xln 5 2．导数的四则运算法则(1)函数和(或差)的求导法则： 设f (x )，g (x )是可导的，则(f (x )±g (x ))′＝__________，即两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的____________．(2)函数积的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，则[f (x )g (x )]′＝____________，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数．由上述法则立即可以得出[Cf (x )]′＝Cf′(x )，即常数与函数之积的导数，等于常数乘以____________．(3)函数的商的求导法则：设f (x )，g (x )是可导的，g (x )≠0，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝________________.(1)比较：[f (x )g (x )]′＝f′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )，注意差异，加以区分．(2)f (x )g (x )≠f ′(x )g ′(x )，且⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′≠g (x )f ′(x )＋f (x )g ′(x )g 2(x ).(3)两函数的和、差、积、商的求导法则，称为可导函数四则运算的求导法则．(4)若两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． 若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．例如，设f (x )＝sin x ＋1x ，g (x )＝cos x －1x，则f (x )，g (x )在x ＝0处均不可导，但它们的和f (x )＋g (x )＝sin x ＋cos x 在x ＝0处可导． 【做一做2】下列求导运算正确的是( )．A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 3．复合函数的求导法则对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f [g (x )]．如函数y ＝(2x ＋3)2是由y ＝u 2和u ＝2x ＋3复合而成的．复合函数y ＝f [g (x )]的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为 y′x ＝y′u ·u ′x .即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．对于复合函数的求导应注意以下几点：(1)分清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量．(2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量进行求导的，而其中要特别注意的是中间变量的导数．如(sin 2x )′＝2cos 2x ，而(sin 2x )′≠cos 2x .(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数．如求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的导数，设y ＝sin u ，u ＝2x ＋π3，则y′x ＝y′u ·u ′x ＝cos u ·2＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (4)复合函数的求导熟练后，中间步骤可省略不写． 【做一做3】函数y ＝ln(2x ＋3)的导数为________．1．如何看待导数公式与用定义法求导数之间的关系？剖析：导数的定义本身给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限定义的，因此求导数总是归结到求极限，这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，利用导数公式就可以比较简捷地求出函数的导数．2．导数公式表中y′表示什么？剖析：y′是f′(x )的另一种写法，两者都表示函数y ＝f (x )的导数． 3．如何理解y ＝C (C 是常数)，y′＝0；y ＝x ，y′＝1?剖析：因为y ＝C 的图象是平行于x 轴的直线，其上任一点的切线即为本身，所以切线的斜率都是0；因为y ＝x 的图象是斜率为1的直线，其上任一点的切线即为直线本身，所以切线的斜率为1.题型一 利用公式求函数的导数 【例题1】求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x 3；(4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x2(1－2cos 2x4)．分析：熟练掌握常用函数的求导公式．运用有关的性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数．反思：通过恒等变形把函数先化为基本初等函数，再应用公式求导． 题型二 利用四则运算法则求导 【例题2】求下列函数的导数：(1)y ＝x 4－3x 2－5x ＋6； (2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝x －1x ＋1.分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，然后进行求导．反思：对于函数求导问题，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，必须注意变换的等价性，避免不必要的运算错误．题型三 求复合函数的导数 【例题3】求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n(x ∈N ＋)；(2)y ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5；(3)y ＝sin 3(4x ＋3)；(4)y ＝x cos x 2.分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，其中还应特别注意中间变量的关系，求导后，要把中间变量转换成自变量的函数．反思：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量．易犯错误的地方是混淆变量，或忘记中间变量对自变量求导．复合函数的求导法则，通常称为链条法则，因为它像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环．题型四 易错辨析易错点：常见函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的求导法则等，记忆不牢或不能够灵活运用，所以在求导时容易出错．牢记公式、灵活应用法则是避免求导出错的关键．【例题4】求函数y ＝12(e x ＋e －x)的导数．错解：y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(e x ＋e －x )′＝12(e x ＋e －x )′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x ＋e －x)．1下列各组函数中导数相同的是( )． A ．f (x )＝1与f (x )＝xB ．f (x )＝sin x 与f (x )＝cos xC ．f (x )＝1－cos x 与f (x )＝－sin xD ．f (x )＝x －1与f (x )＝x ＋12已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )． A ．193 B ．103 C ．133 D ．1633函数y ＝cos xx的导数是( )．A ．－sin xx2 B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 24设y ＝1＋a ＋1－x (a 是常数)，则y′等于( )．A ．121＋a ＋121－xB ．121－xC ．121＋a －121－xD ．－121－x5已知抛物线y ＝ax 2＋bx －5(a ≠0)，在点(2,1)处的切线方程为y ＝－3x ＋7，则a ＝________，b ＝________.答案：基础知识·梳理1．nxn －1a xln a1x ln acos x －sin x 【做一做1－1】B 由求导公式可知，①③④⑥正确． 【做一做1－2】D2．(1)f′(x )±g′(x ) 导数和(或差) (2)f′(x )g (x )＋f (x )g′(x ) 函数的导数 (3)fx g x －f x gxg 2x【做一做2】B 由求导公式知，B 选项正确.⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x′＝x ′＋(x －1)′＝1－x －2＝1－1x2.(3x )′＝3x ln 3，(x 2cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 【做一做3】y′＝22x ＋3函数y ＝ln(2x ＋3)可看作函数y ＝ln u 和u ＝2x ＋3的复合函数，于是y′x ＝y′u ·u ′x ＝(ln u )′·(2x ＋3)′＝1u ×2＝22x ＋3.典型例题·领悟【例题1】解：(1)y′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x . (2)y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2. (4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y′＝(log 2x )′＝1x ln 2. (5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y′＝cos x .【例题2】解：(1)y′＝(x 4－3x 2－5x ＋6)′＝(x 4)′－3(x 2)′－5x ′－6′＝4x 3－6x －5.(2)y′＝(x ·tan x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·sin x cos x ′＝x ·sin x ′·cos x －x ·sin x cos x ′cos 2x＝sin x ＋x ·cos x ·cos x ＋x ·sin 2xcos 2x＝sin x ·cos x ＋x ·cos 2x ＋x ·sin 2x cos 2x ＝12sin 2x ＋x cos 2x ＋x sin 2x cos 2x ＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . (3)方法1：y′＝[(x ＋1)(x ＋2)]′(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)′＝[(x ＋1)′(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋2)′](x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(x ＋2＋x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2) ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11.方法2：y ＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， y′＝3x 2＋12x ＋11.(4)方法1：y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ＋1′＝x －1′x ＋1－x －1x ＋1′x ＋12＝x ＋1－x －1x ＋12＝2x ＋12.方法2：y ＝1－2x ＋1， y′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ＋1′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋1′＝－2′x ＋1－2x ＋1′x ＋12＝2x ＋12.【例题3】解：(1)y′＝[(2x ＋1)n]′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 5′＝5·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x ′＝5x4x ＋16.(3)y′＝[sin 3(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)[sin(4x ＋3)]′＝3sin 2(4x ＋3)·cos(4x ＋3)·(4x ＋3)′＝12sin 2(4x ＋3)cos(4x ＋3)．(4)y′＝(x cos x 2)′＝x ′·cos x 2＋(cos x 2)′·x＝cos x 2－2x 2sin x 2.【例题4】错因分析：y ＝e －x 的求导错误，y ＝e －x 由y ＝e u与u ＝－x 复合而成，因此其导数应按复合函数的求导法则进行．正解：令y ＝e u ，u ＝－x ，则y′x ＝y′u ·u ′x ，所以(e －x )′＝(e u )′(－x )′＝e －x×(－1)＝－e －x，所以y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x ＋e －x ′＝12[(e x )′＋(e －x )′]＝12(e x －e －x )． 随堂练习·巩固1．D2．B f′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f′(－1)＝3a －6＝4，∴a ＝103.3．C y′＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x ·x ′x ＝－x sin x －cos xx ＝－x sin x ＋cos xx 2.4．D 由x 是自变量，a 是常数，可知(1＋a )′＝0，所以y′＝(1＋a )′＋(1－x )′＝[(1－x )12]′＝12(1－x )－12·(1－x )′＝－121－x .5．－3 9 ∵y′＝2ax ＋b ，∴y′|x ＝2＝4a ＋b ，∴方程y －1＝(4a ＋b )(x －2)与方程y ＝－3x ＋7相同，即⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，1－a ＋b ＝7，即4a ＋b ＝－3，又点(2,1)在y ＝ax 2＋bx －5上， ∴4a ＋2b －5＝1.即4a ＋2b ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋b ＝－3，4a ＋2b ＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝9.1.3.1 利用导数判断函数的单调性1．理解可导函数单调性与其导数的关系，会用导数确定函数的单调性． 2．通过比较体会用导数求函数单调区间的优越性．用函数的导数判定函数单调性的法则1．如果在(a ，b )内，f′(x )＞0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调增区间；2．如果在(a ，b )内，f′(x )＜0，则f (x )在此区间是______，(a ，b )为f (x )的单调减区间．(1)在(a ，b )内，f′(x )＞0(＜0)只是f (x )在此区间是增(减)函数的充分条件而非必要条件．(2)函数f (x )在(a ，b )内是增(减)函数的充要条件是在(a ，b )内f′(x )≥0(≤0)，并且f′(x )＝0在区间(a ，b )上仅有有限个点使之成立．【做一做1－1】已知函数f (x )＝1＋x －sin x ，x ∈(0,2π)，则函数f (x )( )． A ．在(0,2π)上是增函数 B ．在(0,2π)上是减函数C ．在(0，π)上是增函数，在(π，2π)上是减函数D ．在(0，π)上是减函数，在(π，2π)上是增函数【做一做1－2】设f′(x )是函数f (x )的导数，f′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象最有可能是( )．1．函数的单调性与其导数有何关系？剖析：(1)求函数f(x)的单调增(或减)区间，只需求出其导函数f′(x)＞0(或f′(x)＜0)的区间．(2)若可导函数f(x)在(a，b)内是增函数(或减函数)，则可以得出函数f(x)在(a，b)内的导函数f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．2．利用导数判断函数单调性及单调区间应注意什么？剖析：(1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题时只能在定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点．(3)如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字隔开．题型一求函数的单调区间【例题1】求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x－x3；(2)f(x)＝x ax－x2(a＞0)．分析：先求f′(x)，然后解不等式f′(x)＞0得单调增区间，f′(x)＜0得单调减区间．反思：运用导数讨论函数的单调性需注意如下几点：(1)确定函数的定义域，解决问题时，只能在函数的定义域内，通过讨论函数导数的符号，来判断函数的单调区间；(2)在对函数划分单调区间时，要注意定义域内的不连续点和不可导点；(3)在某一区间内f′(x)＞0(或f′(x)＜0)是函数f(x)在该区间上为增(或减)函数的充分不必要条件．题型二根据函数的单调性求参数的取值范围【例题2】已知函数f(x)＝2ax－1x2，x∈(0,1]，若f(x)在x∈(0,1]上是增函数，求a 的取值范围．分析：函数f(x)在(0,1]上是增函数，则f′(x)≥0在(0,1]上恒成立．反思：函数f(x)在区间M上是增(减)函数，即f′(x)≥0(≤0)在x∈M上恒成立．题型三证明不等式【例题3】已知x＞1，求证：x＞ln(1＋x)．分析：构造函数f(x)＝x－ln(1＋x)，只要证明在x∈(1，＋∞)上，f(x)＞0恒成立即可．反思：利用可导函数的单调性证明不等式，是不等式证明的一种重要方法，其关键在于构造一个合理的可导函数．此法的一般解题步骤为：令F(x)＝f(x)－g(x)，x≥a，其中F(a)＝f(a)－g(a)＝0，从而将要证明的不等式“当x＞a时，f(x)＞g(x)”转化为证明“当x＞a时，F(x)＞F(a)”．题型四易错辨析易错点：应用导数求函数的单调区间时，往往因忘记定义域的限制作用从而导致求解结果错误，因此在求函数的单调区间时需先求定义域．【例题4】求函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调减区间．错解：f′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x ，令4x 2－1x ＜0，得x ＜－12或0＜x ＜12，所以函数f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.1在区间(a ，b )内f′(x )＞0是f (x )在(a ，b )内为增函数的( )． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2 B ．(π，2π)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，5π2 D ．(2π，3π)3若f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 为增函数，则一定有( )．A ．b 2－4ac ≤0 B．b 2－3ac ≤0C ．b 2－4ac ≥0 D．b 2－3ac ≥04如果函数f (x )＝－x 3＋bx (b 为常数)在区间(0,1)上是增函数，则b 的取值范围是__________．5函数y ＝－13x 3＋x 2＋5的单调增区间为________，单调减区间为________．答案：基础知识·梳理 1．增函数 2．减函数 【做一做1－1】A f′(x )＝1－cos x ，当x (0,2π)时，f′(x )＞0恒成立，故f (x )在(0,2π)上是增函数．【做一做1－2】C 由f′(x )的图象知，x (－∞，0)或x (2，＋∞)时，f′(x )＞0，故f (x )的增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，同理可得f (x )的减区间为(0,2)．典型例题·领悟【例题1】解：(1)f (x )′＝1－3x 2.令1－3x 2＞0，解得－33＜x ＜33.因此函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33. 令1－3x 2＜0，解得x ＜－33或x ＞33.因此函数f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞. (2)由ax －x 2≥0得0≤x ≤a ，即函数的定义域为[0，a ]．又f (x )′＝ax －x 2＋x ×12(ax －x 2)－12·(a －2x )＝－4x 2＋3ax 2ax －x2， 令f (x )′＞0，得0＜x ＜3a 4；令f (x )′＜0，得x ＜0或x ＞34a ，又x [0，a ]，∴函数f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3a 4，单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 4，a .【例题2】解：由题意，得f′(x )＝2a ＋2x3.。
人教新课标版数学高二-人教数学(B)选修2-2检测 1.4.1曲边梯形面积与定积分
一、选择题1．把区间[1,3]n等分，所得n个小区间，每个小区间的长度为()A.1n B.2nC.3n D.12n【解析】区间长度为2，n等分后每个小区间的长度都是2n，故选B.【答案】 B2．在求由函数y＝1x与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n个小区间，则第i个小区间为()A．[i－1n，in] B．[n＋i－1n，n＋in]C．[i－1，i] D．[in，i＋1n]【解析】把区间[1,2]等分成n个小区间后，每个小区间的长度为1n，且第i个小区间的左端点不小于1，故选B.【答案】 B3．设函数f(x)在区间[a，b]上连续，用分点a＝x0<x1<…<x i－1<x i<…<x n＝b，把区间[a，b]等分成n个小区间，在每个小区间[x i－1，x i]上任取一点ξi(i＝1,2，…，n)，作和式，其中Δx为小区间的长度．那么和式S n的大小() A．与f(x)和区间[a，b]有关，与分点的个数n和ξi的取法无关B．与f(x)和区间[a，b]和分点的个数n有关，与ξi的取法无关C．与f(x)和区间[a，b]和ξi的取法有关，与分点的个数n无关D．与f(x)和区间[a，b]和分点的个数n和ξi的取法都有关【解析】S n即为实际的S近似代替后的和式，其与f(x)、区间[a，b]、分点个数、ξi的取法均有关．【答案】 D4．下列值等于1的是( ) A.⎠⎛01x d x B.⎠⎛01(x ＋1)d x C.⎠⎛011d x D.⎠⎛0112d x 【解析】 根据定积分的几何意义可求得： ⎠⎛01x d x ＝12×1×1＝12，⎠⎛01(x ＋1)d x ＝12×(1＋2)×1＝32，⎠⎛011d x ＝1×1＝1，⎠⎛0112d x ＝1×12＝12，故选C.【答案】 C5．汽车以10米/秒的速度行驶，在某处需要减速停车，设汽车以加速度－2米/秒2刹车，若把刹车时间5等分，则从开始刹车到停车，汽车刹车距离的过剩估计值(取每个小区间的左端点对应的函数值)为( )A ．80米B ．60米C ．40米D ．30米【解析】 由题意知，v (t )＝v 0＋at ＝10－2t . 令v (t )＝0，得t ＝5，即t ＝5秒时，汽车将停车．将区间[0,5]5等分，用每个小区间的左端点的函数值近似替代每个小区间上的平均速度，可得汽车刹车距离的过剩近似值为S ＝(10＋10－2×1＋10－2×2＋10－2×3＋10－2×4)×1＝30(米)．【答案】 D 二、填空题 6.的值为________．【解析】 ＝3×(1＋2＋3＋…＋10)＝165.【答案】 1657．曲线y ＝x 2与直线x ＝0，x ＝1，y ＝1所围成的图形的面积可用定积分表示为________．【解析】 如图所示，阴影部分的面积可表示为⎠⎛011d x －⎠⎛01x 2d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x . 【答案】 ⎠⎛01(1－x 2)d x8．汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 做变速直线运动时，第1 s 到第2 s 间的1 s 内经过的路程是________m.【解析】 由题意知，所求路程为直线x ＝1，x ＝2，y ＝0与y ＝3x ＋2所围成的直角梯形的面积，故S ＝12×(5＋8)×1＝6.5.【答案】 6.5 三、解答题9．利用分割，近似代替，求和，取极限的办法求函数y ＝1＋x ，x ＝1，x ＝2的图象与x 轴围成梯形的面积并用梯形的面积公式加以验证．【解】 f (x )＝1＋x 在区间[1,2]上连续，将区间[1,2]分成n 等份，则每个区间的长度为Δx i ＝1n ，在[x i －1，x i ]＝[1＋i －1n ，1＋in ]上取ξi ＝x i －1＝1＋i －1n (i ＝1,2,3，…，n )，于是f (ξi )＝f (x i －1)＝1＋1＋i －1n ＝2＋i －1n ，则S ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞(52－12n )＝52.如下进行验证：如图所示：梯形的面积公式 S ＝12×(2＋3)×1＝52.10．火箭发射后t s 的速度为v (t )(单位：m/s)，假定0≤t ≤10，对函数v (t )，按v (t 1)Δt ＋v (t 2)Δt ＋…＋v (t n )Δt 所作的和具有怎样的实际意义．【解】 将区间[0,10]等分成n 个小区间，每个小区间长度为Δt ，在每个小区间上取一点，依次为：t 1，t 2，t 3，…，t i ，…，t n ，虽然火箭的速度不是常数，但在一个小区间内其变化很小，所以用v (t i )代替第i 个区间上的速度，这样v (t i )Δt ≈火箭在第i 个时间段内运行的路程．从而s n ＝v (t 1)·Δt ＋…＋v (t i )·Δt ＋…＋v (t n )Δt ≈s (火箭在10 s 内运行的路程)， 这就是函数v (t )在时间区间[0,10]上按v (t 1)Δt ＋v (t 2)Δt ＋…＋v (t n )Δt 所求的和的实际背景．当分割无限变细(Δt 无限趋向于0)时，s n 就无限趋向于火箭在10 s 内运行的总路程．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ∈[－2，2)，2x ，[2，π)，cos x ，[π，2π]，求f (x )在区间[－2,2π]上的积分．【解】。
高中数学 第1章 1.4第1课时 曲边梯形面积与定积分课时
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第1章 1.4第1课时 曲边梯形面积与定积分课时作业 新人教B 版选修2-2一、选择题1．设f (x )是连续函数，且为偶函数，在对称区间[－a ，a ]上的积分⎠⎛－a af (x )d x ，由定积分的几何意义得⎠⎛－a af (x )d x 的值为( )A ．0B ．2⎠⎛－a 0f (x )d x C. ⎠⎛－a 0f (x )d x D ．⎠⎛0a f (x )d x[答案] B[解析] 偶函数图象关于y 轴对称，对称区间上面积相等．2．求由曲线y ＝e x，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2] B ．[0,2] C ．[1,2] D ．[0,1][答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝exy ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1.所以积分区间为[0,2]．故选B.3.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛011d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的面积．4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i －1n 近似代替；③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 代替f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[答案] C [解析] 用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d x D ．⎠⎛0112d x [答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x是( )A.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·b －anC.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33B ．32C.34D ．1[答案] A8．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－a af (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.二、填空题9.lim n →＋∞⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n写成定积分是________．[答案] ⎠⎛01x d x10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝________.[答案] 1511．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积 三、解答题12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形可知：(1)sin x d x ；(2)⎠⎛-42 12x 2d x ；(3)－⎠⎛49(－x 12 )d x .一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1nB ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2nC ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫i n D ．f (0)[答案] C2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛ab f (x )d x ( )A ．一定为正B ．一定为负C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负D ．以上结论都不对 [答案] A[解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.4．已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.二、填空题5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ⎠⎛2π0|sin x |d x6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 367．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛-22 4－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛-224－x 2d x ＝π·222＝2π.(2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.9．求由直线x ＝0，x ＝2，y ＝0及曲线y ＝x 3围成的曲边梯形的面积．(提示：此处用到了求和公式13＋23＋…＋n 3＝(1＋2＋…＋n )2＝[n n ＋12]2)[解析] 将[0,2]平均分成n 等份，每份2n ，第i 个小曲边梯形的面积S 1＝2n ·(2i n)3，S＝lim n →＋∞ 2n [(2n )3＋(4n )3＋…＋(2n n )3]＝lim n →＋∞ 16n4(13＋23＋…＋n 3)＝lim n →＋∞4n ＋12n 2＝4.。
高中数学人教B版选修2-2学案1.4.1 曲边梯形面积与定积分 Word版含解析
．定积分与微积分基本定理．曲边梯形面积与定积分．了解曲边梯形及其面积的含义；了解求曲边梯形面积的“分割、近似代替、求和、取极限”的基本过程．(重点)．掌握定积分的概念，会用定义求定积分．(难点)．理解定积分的几何意义与性质．(易混点)[基础·初探]教材整理曲边梯形阅读教材，完成下列问题．由直线＝，＝(≠)，＝和曲线所围成的图形称为曲边梯形(如图--)．图--【答案】＝()教材整理定积分的定义阅读教材，完成下列问题．设函数＝()定义在区间[，]上(如图--)．用分点＝＜＜＜…＜－＜＝把区间[，]分为个小区间，其长度依次为Δ＝＋－，＝，…，－.记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于时，所有的小区间长度都趋近于.在每个小区间内任取一点ξ，作和式＝(ξ)Δ，当λ→时，如果和式的极限存在，我们把叫做上的定积分，记作()，即()＝(ξ)Δ.其中()叫做，叫，叫，()叫做被积式．此时称函数()在区间[，]上．图--【答案】和式的极限函数()在区间[，]被积函数积分下限积分上限可积教材整理定积分的性质与几何意义阅读教材，完成下列问题．．定积分的性质()()＝(为常数)．()设()，()可积，则[()±()]＝()±.【答案】.()() ()()．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[，]上函数()连续且恒有，那么定积分()表示由所围成的曲边梯形的面积．这就是定积分()的几何意义．【答案】()≥直线＝，＝，＝和曲线＝()．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)()()＝().( )()()的值一定是一个正数．( )()(＋)＝＋.( )【答案】()√()×()√．填空。
数学：1.4.1《曲边梯形面积与定积分》同步练习(2)(新人教B版选修2-2)
曲边梯形面积与定积分一、选择题1．给出如下命题： ①abbadx dt b a ==-⎰⎰（a b ，为常数且a b <）；②π4-==⎰⎰； ③曲线sin y x =，[02π]x ∈，，与直线0y =围成的两个封闭区域的面积之和为2． 其中真命题的个数为（ ） Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3答案：Ｂ 2．3204x dx -⎰等于（ ）Ａ．213Ｂ．223Ｃ．233Ｄ．253答案：Ｃ3．若某产品一天内的产量是时间t 的函数，若已知产量的变化率为a =第3小时到第6小时期间内的产量为（ ）Ａ．12Ｂ．32-Ｃ．6+Ｄ．6-答案：Ｄ 4．0(sin cos sin )xy t t dt α=+⎰，则y 的最大值是（ ）Ａ．1Ｂ．2Ｃ．72-Ｄ．0答案：Ｂ 二、填空题5．若()f x 是一次函数，且1()5f x dx =⎰，1017()6x fx dx =⎰，那么21()f x dx x⎰的值是． 答案：43ln 2+6．物体按照规律24(m)x t =做直线运动，设介质的阻力与速度成正比，且速度等于10m/s 时，阻力为2N ，则物体从0x =到2x =阻力所做的功等于．答案：J 15-三、解答题7．在曲线2(0)y x x =≥上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围成图形的面积为112，试求： （1）切点A 的坐标；（2）过切点A 的切线方程．解：（1）设切点200()A x x ，，切线斜率为002x x k y x ='==，∴切线方程为2002()y x x x x -=-，令0y =，得02x x =．00222320000211[(2)]1212x x x s x dx x x x x dx x ∴=+--==⎰⎰，解得01x =，∴切点A 的坐标为(11)，；（2）将(11)A ，代入切线方程，得12(1)y x -=-， 整理，得21y x =-． 即所求切线方程为21y x =-．8．已知质量为m 的物体，将该物体发射升空脱离地球，求证：物体脱离地球时所做的功为MmW GR=（其中M ， R 分别为地球的质量和半径，G 为引力常数）． 证明：引力2MmF G x=，F ∴使物体自R 运动到L 时所做的功为21LL L RR MmW Cdx GMm x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎰11GMm R L ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故物体脱离地球时所做的功为11lim lim L L l W W GMm R L →+∞→+∞⎛⎫==-⎪⎝⎭MmGR=．。
人教新课标版数学高二-人教B版选修2-2练习 1.4.1 曲边梯形面积与定积分(二)
1.4.1曲边梯形面积与定积分(二)一、基础过关1．下列命题不正确的是() A．若f(x)是连续的奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0B．若f(x)是连续的偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d xC．若f(x)在上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0D．若f(x) 在上连续且ʃb a f(x)d x>0，则f(x)在上恒正2．定积分ʃ31(－3)d x等于() A．－6 B．6 C．－3 D．33．已知定积分ʃ60f(x)d x＝8，且f(x)为偶函数，则ʃ6－6f(x)d x等于() A．0 B．16 C．12 D．84．定积分ʃ20x2d x的值等于()A．1 B．2 C．3 D．45．计算ʃ4016－x2d x等于() A．8πB．16πC．4πD．32π6．下列等式不成立的是() A．ʃb a d x＝mʃb a f(x)d x＋nʃb a g(x)d xB．ʃb a d x＝ʃb a f(x)d x＋b－aC．ʃb a f(x)g(x)d x＝ʃb a f(x)d x·ʃb a g(x)d xD．ʃ2π－2πsin x d x＝ʃ0－2πsin x d x＋ʃ2π0sin x d x二、能力提升7．由y＝sin x，x＝0，x＝－π，y＝0所围成图形的面积写成定积分的形式是S＝________. 8．计算定积分ʃ1－14－4x2d x＝________.9．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)：(1)S1＝________(如图1)；图1(2)S2＝________(如图2)；图210．用定积分的意义求下列各式的值：(1)ʃ30(2x ＋1)d x ；(2)ʃ32－321－x 2d x .11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x ∈[0，2)4－x ， x ∈[2，3)52－x 2， x ∈[3，5]，求f (x )在区间上的定积分．三、探究与拓展12．利用定积分的几何意义求ʃ2－2f (x )d x ＋ʃπ2－π2sin x cos x d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1(x ≥0)3x －1(x <0).答案1．D 2．A 3．B 4．A 5．C 6．C 7．－ʃ0－πsin x d x 8．π 9．(1)ʃππ3sin x d x (2)ʃ2－4x 22d x 10．解 (1)在平面上，f (x )＝2x ＋1为一条直线，ʃ30(2x ＋1)d x 表示直线f (x )＝2x ＋1，x ＝0，x ＝3与x 轴围成的直角梯形OABC 的面积，如图(1)所示，其面积为S ＝12(1＋7)×3＝12.根据定积分的几何意义知ʃ30(2x ＋1)d x ＝12.(2)由y ＝1－x 2可知，x 2＋y 2＝1(y ≥0)图象如图(2)，由定积分的几何意义知ʃ32－321－x 2d x 等于圆心角为120°的弓形CED 的面积与矩形ABCD 的面积之和．S 弓形＝12×23π×12－12×1×1×sin 23π＝π3－34，S 矩形＝|AB |·|BC | ＝2×32×12＝32， ∴ʃ32－321－x 2d x ＝π3－34＋32＝π3＋34. 11．解 由定积分的几何意义得ʃ20x d x ＝12×2×2＝2， ʃ32(4－x )d x ＝12×(1＋2)×1＝32， ʃ53(52－x 2)d x ＝12×2×1＝1. ∴ʃ50f (x )d x ＝ʃ20x d x ＋ʃ32(4－x )d x ＋ʃ53(52－x 2)d x ＝2＋32＋1＝92.12．解 ʃ2－2f (x )d x ＋ʃπ2－π2sin x cos x d x ＝ʃ0－2(3x －1)d x ＋ʃ20(2x －1)d x ＋ʃπ2－π2sin x cos x d x ， ∵y ＝sin x cos x 为奇函数， ∴ʃπ2－π2sin x cos x d x ＝0， 利用定积分的几何意义，如图，∴ʃ0－2(3x －1)d x ＝－7＋12×2＝－8. ʃ20(2x －1)d x ＝3＋12×1＝2. ∴ʃ2－2f (x )d x ＋ʃπ2－π2sin x cos x d x ＝2－8＋0＝－6.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-2 1.4.1 曲边梯形面积与定积分》4
教学设计《曲边梯形的面积与定积分》辽宁省实验中学营口分校裴大新一、教学内容解析本节课是人教B版选修2-2第一章第4节定积分与微积分基本定理中第一小节的第一课时。
定积分对学生来说是一个全新的概念，学习起来略显困难，不过在此之前，学生已学习在“割圆术”中接触过不足近似值和过剩近似值的知识，这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用；本章后面的微积分基本定理是对本节内容的升华，在高考中占有一定的分量。
本节内容的学习主要是为让学生理解定积分的概念。
同时，通过定积分概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化，数形结合的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。
二、教学目标1、知识与技能目标：（1）借助于几何直观体会定积分的基本思想：分割、以直代曲、逼近了解定积分的概念；（2）能用定积定义求简单的定积分；（3）通过定积分定义理解掌握定积分的几何意义和性质。
2、过程与方法目标：通过体验解决问题的过程，体现定积分的使用价值，加强观察能力和归纳能力，强化数形结合和化归思想的思维意识，达到将数学和其他学科进行转化融合的目的。
3、情感态度与价值观目标：通过教学过程中的观察、思考、总结，养成自主学习的良好学习习惯，培养数学知识运用于生活的意识。
三、教学重点与难点1、重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．2、难点：定积分的概念、定积分的几何意义．四、教学过程 1．创设情景我们学过如何求正方形、长方形、三角形等的面积，这些图形都是由直线段围成的。
那么，如何求曲线围成的平面图形的面积呢？将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形，用小矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积，再求出n 个小矩形的面积和Sn ，当n 接近无穷大时Sn 接近曲边梯形的面积S 。
微积分思想——无穷分割下的极限思想=2、直线=1和轴所围成的曲边梯形（此时特殊为曲边三角形） 的面积。
（1）分割在区间[]0,1上等间隔地插入1n -个点，将区间[0等分成n 个小区间：10,n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12,n n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦记第i 个区间为1,(1,2,,)i i i n n n -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其长度为11i i x n n n-∆=-=分别过上述1n -个分点作x 轴的垂线，从而得到n 个小曲边梯形， 他们的面积分别记作：1S ∆，2S ∆，…，n S ∆，显然，1ni i S S ==∆∑（2）近似代替记()2f x x =，如图所示，当n 很大，即x ∆很小时，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上，可以认为函数()2f x x =的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1i n-处的函数值1i f n -⎛⎫ ⎪⎝⎭，从图形上看，就是用平行于x 轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1,i i n n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上，用小矩形的面积i S '∆近似的代替i S ∆，即在局部范围内“以直代曲”，则有221111(1,2,,)i i i i i S S f x x i n n n n n---⎛⎫⎛⎫⎛⎫'∆≈∆=∆=∆== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ①（3）求和 由①，（4）取极限分别将区间[]0,1等分8，16，2021等份（如图），可以看到，当n 趋向于无穷大时，即x ∆趋向于0时，1111132n S n n ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭趋向于S ，从而有1111111lim lim lim 11323nn n n n i i S S f n n n n →∞→∞→∞=-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===--= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑事实上，许多问题都可以归结为求这种特定形式和的极限 2、定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间,在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=,作和式：()()11n nii i i b af x f nξξ==-∆=∑∑当n →+∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。
2016-2017学年高二数学人教B版选修2-2同步练习1.4.1《曲边梯形面积与定积分》(1)
§1.4 定积分与微积分基本定理1.4.1 曲边梯形面积与定积分(一)一、基础过关1．当n 很大时，函数f(x)＝x 2在区间[i －1n ，i n]上的值，可以近似代替为 ( )A ．f(1n) ` B ．f(2n ) C ．f(i n ) D ．f(0)2．在等分区间的情况下f(x)＝11＋x 2(x∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是( )A.lim n→＋∞∑n i ＝1[11＋i n 2·2n ] B.lim n→＋∞∑ni ＝1[11＋2i n 2·2n ] C.lim n→＋∞∑n i ＝1 (11＋i 2·1n) D.lim n→＋∞∑n i ＝1[11＋i n 2·n] 3．把区间[a ，b] (a<b)n 等分之后，第i 个小区间是( )A ．[i －1n ，i n] B ．[i －1n (b －a)，i n(b －a)] C ．[a ＋i －1n ，a ＋i n] D ．[a ＋i －1n (b －a)，a ＋i n (b －a)] 4．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为( )A.13B.12 C ．1 D.32二、能力提升5．如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为( )A ．0.5 JB ．1 JC ．50 JD ．100 J6．若做变速直线运动的物体v(t)＝t 2，在0≤t≤a 内经过的路程为9，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7.∑n i ＝1 i n＝________. 8．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]等分成n 个小区间，则第i 个区间为________．9．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为______．10．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积．11．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t]内物体下落的距离．三、探究与拓展12．某物体做变速运动，设该物体在时间t的速度为v(t)＝6t2，求物体在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程s.答案1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．C7.n ＋128．[n ＋i －1n ，n ＋i n] 9．5510．解 令f(x)＝x 2.(1)分割将区间[0,2]n 等分，分点依次为x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝－n ，x n ＝2. 第i 个区间为[2i －2n ，2i n ](i ＝1,2，…，n)，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n. (2)近似代替、求和取ξi ＝2i n(i ＝1,2，…，n)， S n ＝∑ni ＝1f(2i n )·Δx ＝∑n i ＝1 (2i n )2·2n ＝8n 3∑ni ＝1i 2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2) ＝8n 3·＋＋6＝43(2＋3n ＋1n 2)． (3)取极限S ＝li m n→＋∞S n ＝li m n→＋∞ 43(2＋3n ＋1n 2) ＝83， 即所求曲边梯形的面积为83. 11．解 (1)分割：将时间区间[0，t]分成n 等份．把时间[0，t]分成n 个小区间，则第i 个小区间为[i －1n t ，it n](i ＝1,2，…，n)， 每个小区间所表示的时间段Δt ＝it n －i －1n t ＝t n， 在各个小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n)．(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程． 在[i －1n t ，it n]上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n)， 可取ξi 使v(ξi )＝g·i －1nt 近似代替第i 个小区间上的速度， 因此在每个小区间上自由落体Δt ＝t n内所经过的距离可近似表示为 Δs i ≈g·i －1n t·t n(i ＝1,2，…，n)． (3)求和：s n ＝∑n i ＝1Δs i ＝∑ni ＝1g·i －1n t·t n ＝gt 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝12gt 2(1－1n)． (4)取极限：s ＝lim n→＋∞ 12gt 2(1－1n )＝12gt 2. 即在时间区间[0，t]内物体下落的距离为12gt 2. 12．解 (1)分割：将区间[1,2]等分割成n 个小区间[1＋i －1n ，1＋i n](i ＝1,2，…，n)，区间长度为Δt ＝1n ，每个时间段内行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n)，则s n ≈∑i ＝1n Δs i . (2)近似代替：ξi ＝1＋i －1n(i ＝1,2，…，n)， Δs i ≈v(1＋i －1n )·Δt ＝6·(n n ＋i －1)2·1n＝6n ＋i －2(i ＝1,2，…，n)．(3)求和：s n ＝∑i ＝1n 6n ＋i －2≈∑i ＝1n 6n ＋＋i－＝6n(1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n )＝6n(1n －12n)＝3. (4)取极限：s＝lims n＝3.n→＋∞。
版高中数学人教B版选修22学案1.4.1曲边梯形面积及定积分一
1．4.1曲边梯形面积与定积分(一)明目标、知要点 1.认识“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法.2.会求曲边梯形的面积及变力所做的功．1．曲边梯形的面积( 1)曲边梯形：曲线与平行于y轴的直线和x轴所围成的图形称为曲边梯形(如图①所示)．( 2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成好多小区间，从而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似取代小曲边梯形的面积，获得每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值乞降，就获得曲边梯形面积的近似值(如图②所示)．求曲边梯形面积的步骤：①切割，②近似取代，③乞降，④取极限．n－12．曲边三角形或曲边梯形的面积：S＝lim f(xi)x，战胜弹簧的拉力的变力所做的功：Wn→＋∞i＝0＝lim n－1f(xi)x.n→＋∞i＝0 [情境导学]任何一个平面图形都有面积，此中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．以以下图的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？研究点一求曲边梯形的面积思虑1如何计算以下两图形的面积？答①直接利用梯形面积公式求解．②转变成三角形和梯形求解．S，图形与2我们熟习的“直边图形”有什么差别？答已知图形是由直线x＝1，y＝0和曲线y＝x2所围成的，可称为曲边梯形，曲边梯形的一条边为曲线段，而“直边图形”的全部边都是直线段．思虑3能否将求曲边梯形的面积问题转变成求“直边图形”的面积问题？(归纳主要步骤)答(如图)可以经过把区间[0,1]分成好多小区间，将曲边梯形拆分为一些小曲边梯形，对每个小曲边梯形“以直代曲”，即用矩形的面积近似取代小曲边梯形的面积，获得每个小曲边梯形面积的近似值，对这些近似值进行乞降，就获得曲边梯形面积的近似值，跟着拆分愈来愈细，近似程度会愈来愈好．求曲梯形的面可以通切割、近似取代、乞降、取极限四个步完成．思虑4在“近似取代”中，假如函数f(x)＝x 2在区[i－1，i](i＝1,2，⋯，n)上的近n n似地等于右端点i的函数f(i)，用种方法能求出S的？若能求出，个也是1？n n3取任意ξ∈[i－1，ii n n]的函数f(ξi)作近似，状况又怎？其原理是什么？1答都能求出S＝3.我解决此的原理是“近似取代”和“以直代曲”，在极限状下，小曲梯形可以看做小矩形．例1求由直x＝0，x＝1，y＝0和曲y＝x2所成的形的面．解(1)切割将区[0,1]均分n个小区：11223i－1i]，⋯，[n－1，1]，[0，]，[，]，[，]，⋯，[，nn n n n n nni i－11每个小区的度x＝n－n＝n.各分点作x的垂，把曲梯形分成 n个小曲梯形，它的面分作S1，S2，⋯，S n.近似取代在区[i－1，i](i＝1,2，⋯，n)上，以i－1的函数i－12作高，小区的度x＝1作n n n n n底的小矩形的面作第i个小曲梯形的面，即i－121S i≈()·.n n乞降曲梯形的面近似n S i ≈ni －12 1S ＝(n)·i ＝1i ＝1n1 12 1 2 2 1n －1 2 1＝0·＋() ·＋() ·＋⋯＋(n) ·nn n n nnn13[12＋22＋⋯＋(n －1)2] 11 13(1－n )(1－2n )．取极限曲梯形的面11 11S ＝lim(1－)(1－)＝.n→∞3n 2n 3反思与感悟求曲梯形的思想及步：(1)思想：以直代曲、迫近； (2)步：切割→近似取代→乞降→取极限；(3)关：近似取代；(4)果：切割越，面越精确．追踪1求由抛物y ＝x 2与直y ＝4所成的曲梯形的面．解∵y ＝x 2偶函数，象关于 y 称，∴所求曲梯形的面抛物 y ＝x 2(x ≥0)与直x ＝0，y ＝4所形面S 暗影的2倍，下边求S 暗影．y ＝x 2x ≥0由，y ＝4得交点(2,4)，如所示，先求由直x ＝0，x ＝2，y ＝0和曲y ＝x 2成的曲梯形的面．切割将区[0,2]n 均分，x ＝2，取ξ＝2i －1.nin(2)近似取代乞降n 2i －1 2 2S n ＝[n]·i ＝1n83[12＋22＋32＋⋯＋(n －1)2]n 81 1＝ 3(1－n )(1－2n )．取极限S ＝limS n ＝lim81 －18 .(1－)(12n )＝ n →∞n→∞3 n3∴ ∴所求平面形的面 S 暗影＝2×4－83＝163.∴ 2S 暗影＝32，3即抛物y ＝x 2与直y ＝4所成的形面323.研究点二 求力做功 思虑 求速运的行程解法和曲梯形的面有什么系？ 答 求速直运的行程， 方法和步似于求曲梯形的面， 依旧利用以直代曲 的思想，将速直运化匀速直运，求解程：切割、近似取代、求 和、取极限．例2 如，将一簧从均衡地点拉到离均衡地点 em ，求战胜力所做的功．解 在性限度内，拉伸()簧所需的力与簧拉伸()的度成正比，即F(x)＝kx(N)，此中k 比率系数．e e 2en －1e 将[0，e]n 均分，x ＝n ，分点挨次 x 0＝0，x 1＝n ，x 2＝n ，⋯，x n －1＝n，x n ＝e.当n 很大，在分段[x i ，x i ＋1]所用的力kx i ，所做的功W i ≈kx iex ＝kx i .n从0到e 所做的功W 近似地等于n －1 n －1 n －1ieeW i ＝kx i ·Δx ＝k ··i ＝0i ＝0i ＝0nnke 2n 2[0＋1＋2＋⋯＋(n －1)]ke 2nn －1ke 21＝n 2·2 ＝ 21－n .∴簧从均衡地点拉到 e 所做的功：n －12W ＝limW i ＝ke.n→＋∞i ＝02ke 2答战胜力所做的功 2 J.反思与感悟以“不代”的方法，把力做功化求常力做功．追踪2有一汽在笔挺的公路上速行，在刻 t 的速度v(t)＝3t 2＋2(位：km/h)，那么汽在 0≤t ≤2(位：h)段行家的行程S(位：km)是多少？解(1)切割在区[0,2]上等隔地插入 n －1 个分点，将它分成 n 个小区，第i 个小区[2i －1，2i](i ＝1,2，⋯，n)，其度 t ＝2i －2i －1＝2.每个段上行的行程S i (innnnnn＝1,2，⋯，n)，然有S ＝S i .i ＝1(2)近似取代 取ξ＝2iin (i ＝1,2，⋯，n)．于是S i ≈ΔS ′i ＝v(2i 2i 2＋2] 2)·Δt ＝[3() ·nnn24i 2 4n 3＋n (i ＝1,2，⋯，n)． 乞降nn24i 2 4242 ＋2 2 2S n ＝S ′i ＝(3 ＋)＝3(1＋⋯＋n)＋4i ＝1 i ＝1n nn＝ 24nn ＋1 2n ＋1 ＋43 · 6n1 18(1＋n )(1＋2n )＋4.从而获得 S 的近似 S ≈S n . 取极限S ＝limS n ＝lim11)＋4]＝8＋4＝12. [8(1＋)(1＋2n n →＋∞n →＋∞n所以段行家的行程12km.1．把区[1,3]n 均分，所得n 个小区的度均()1 231A.nB.nC.nD.2n 答案 B分析区[1,3]的度2，故n 均分后，每个小区的度均2 n.2．函数f(x)＝x 2在区i －1，i上()nnA ．f(x)的化很小B．f(x)的值变化很大C．f(x)的值不变化D．当n很大时，f(x)的值变化很小答案D分析当n很大，即x很小时，在区间[i－1，i]上，可以以为f(x)＝x2的值变化很小，近n n似地等于一个常数．3．在“近似取代”中，函数f(x)在区间[x i，x i＋1]上的近似值等于() A．只好是左端点的函数值f(x i)B．只好是右端点的函数值f(x i＋1)C．可以是该区间内任一点的函数值∈[x，x＋1]) f(ξi)(ξi i iD．以上答案均正确答案C4．求由曲线y＝1x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5均分，则2面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．答案 1.02分析将区间5均分所得的小区间为66778899，[1，]，[，]，[，]，[，]，[，2]55555555于是所求平面图形的面积近似等于136＋49＋64＋811×255＝1.02.10(1＋25252525)＝1025[呈要点、现规律]求曲边梯形面积和汽车行驶的行程的步骤：切割：n均分区间[a，b]；近似取代：取点ξi∈[x i－1，x i]；(3)n－1b－a 乞降：f(ξi)·；i＝0n(4)取极限：s＝lim n－1b－af(ξi)·n.“近似取代”也可以用较大的矩形来取代曲边梯形，为了计n→∞i＝0算方便，可以取区间上的一些特别点，如区间的端点(或中点)．学习不是一时半刻的事情，需要平常累积，需要平常的好学苦练。
人教B版选修22高中数学141《曲边梯形面积与定积分》同步练习4
曲边梯形面积与定积分得分一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分）1、函数y=x2co sx的导数为…………………………………………………………………【】A、y′=2x co sx－x2s i nxB、y′=2x co sx+x2s i nxC、y′=x2co sx－2xs i nxD、y′=x co sx－x2s i nx2、下列结论中正确的是……………………………………………………………………【】A、导数为零的点一定是极值点…………………………………………………………【】B、如果在错误！超链接引用无效.附近的左侧错误！超链接引用无效。
，右侧错误！超链接引用无效。
，那么错误！超链接引用无效。
是极大值C、如果在错误！超链接引用无效.附近的左侧错误！超链接引用无效.,右侧错误!超链接引用无效。
,那么错误！超链接引用无效.是极小值D、如果在错误!超链接引用无效。
附近的左侧错误！超链接引用无效。
，右侧错误!超链接引用无效。
，那么错误！超链接引用无效。
是极大值3、曲线错误！超链接引用无效。
与坐标轴围成的面积是…………………………………【】A、4B、错误！超链接引用无效。
C、3D、24、函数错误!超链接引用无效.,错误!超链接引用无效.的最大值是…………………………………………【】A、1B、错误！超链接引用无效。
C、0 错误！超链接引用无效。
D、-15、如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处,则克服弹力所做的功为…………………………………………………………【】A 、0、28J B、0、12J C、0、26J D、0、18J6、给出以下命题:⑴若错误！超链接引用无效。
，则f(x)>0; ⑵错误!超链接引用无效。
;⑶f （x)的原函数为F(x）,且F（x）是以T为周期的函数，则错误！超链接引用无效。
；其中正确命题的个数为…【】A、1B、2C、3D、07、若函数错误！超链接引用无效.是R上的单调函数，则实数m的取值范围是………【】A、错误!超链接引用无效。
人教B版高中数学选修2-2课件1.4.1曲边梯形面积与定积分
n
x 0, f (xi )x S i 1
(n )
Oa
xi-1 xi xi
x
bx
从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:
分割---以直代曲----求和------逼近.
小矩形面积和Sn
n i 1
f (xi )x
n i 1
ba f (xi ) n
的面积?
y
yf (x)
S1
b
y a
fg((x))dx
b
S2
g ( x)dx
a
O aa
bx
b
b
S S1 S2
a
f (x)dx
g(x)dx
a
说明
• 本课件是根据网上老师们的作品结合 新课标的教材改编而成。
y
个曲边三角形的面积为:
S
lim
n
Sn
lim
n
1 6
1
1 n
2
1 n
Sn
n i1
Si'
n i1
f (i 1)x n
n i1
(i 1)2 n
1 n
0
1 n
1 2 n
1 n
2 n
2
1 n
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
Oa
b f (x)dx
c
f (x)dx
b f (x)dx。
a
a
c
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§1.4 定积分与微积分基本定理
1.4.1 曲边梯形面积与定积分(一)
一、基础过关
1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n
]上的值，可以近似代替为 ( ) A ．f (1n
) ` B ．f (2n ) C ．f (i n ) D ．f (0)
2．在等分区间的情况下f (x )＝11＋x 2
(x ∈[0,2])及x 轴所围成的曲边梯形面积和式的极限形式正确的是
( ) A.lim n →＋∞∑n i ＝1
[11＋(i n )2·2n ] B.lim n →＋∞∑n i ＝1
[11＋(2i n )2·2n ] C.lim n →＋∞∑n i ＝1 (11＋i 2·1n
) D.lim n →＋∞∑n i ＝1[11＋(i n
)2·n ] 3．把区间[a ，b ] (a <b )n 等分之后，第i 个小区间是
( ) A ．[i －1n ，i n
] B ．[i －1n (b －a )，i n
(b －a )] C ．[a ＋i －1n ，a ＋i n
] D ．[a ＋i －1n (b －a )，a ＋i n
(b －a )] 4．一物体沿直线运动，其速度v (t )＝t ，这个物体在t ＝0到t ＝1这段时间内所走的路程为
( )
A.13
B.12 C ．1 D.32
二、能力提升
5．如果1 N 的力使弹簧伸长1 cm ，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm ，拉力所做的功为
( )
A ．0.5 J
B ．1 J
C ．50 J
D ．100 J
6．若做变速直线运动的物体v (t )＝t 2，在0≤t ≤a 内经过的路程为9，则a 的值为 ( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7.∑n i ＝1 i n
＝________. 8．在求由抛物线y ＝x 2＋6与直线x ＝1，x ＝2，y ＝0所围成的平面图形的面积时，把区间[1,2]
等分成n 个小区间，则第i 个区间为________．
9．已知某物体运动的速度为v ＝t ，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的
函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为______．
10．求直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积．
11．已知自由落体的运动速度v ＝gt ，求在时间区间[0，t ]内物体下落的距离．
三、探究与拓展
12．某物体做变速运动，设该物体在时间t的速度为v(t)＝6
t2，求物体在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程s.
答案
1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．C
7.n ＋12
8．[n ＋i －1n ，n ＋i n
] 9．55
10．解 令f (x )＝x 2.
(1)分割
将区间[0,2]n 等分，分点依次为
x 0＝0，x 1＝2n ，x 2＝4n ，…，x n －1＝2(n －1)n
，x n ＝2. 第i 个区间为[2i －2n ，2i n ](i ＝1,2，…，n )，每个区间长度为Δx ＝2i n －2i －2n ＝2n
. (2)近似代替、求和
取ξi ＝2i n
(i ＝1,2，…，n )， S n ＝∑n
i ＝1f (2i n )·Δx ＝∑n i ＝1 (2i n )2·2n ＝8n 3∑n i ＝1i 2＝8n 3(12＋22＋…＋n 2) ＝8n 3·n (n ＋1)(2n ＋1)6
＝43(2＋3n ＋1n 2)． (3)取极限
S ＝li m n →＋∞S n ＝li m n →＋∞ 43(2＋3n ＋1n 2
) ＝83
， 即所求曲边梯形的面积为83
. 11．解 (1)分割：将时间区间[0，t ]分成n 等份．
把时间[0，t ]分成n 个小区间，
则第i 个小区间为[i －1n t ，it n
](i ＝1,2，…，n )， 每个小区间所表示的时间段
Δt ＝it n －i －1n t ＝t n
， 在各个小区间物体下落的距离记作Δs i (i ＝1,2，…，n )．
(2)近似代替：在每个小区间上以匀速运动的路程近似代替变速运动的路程．
在[i －1n t ，it n
]上任取一时刻ξi (i ＝1,2，…，n )， 可取ξi 使v (ξi )＝g ·i －1n
t 近似代替第i 个小区间上的速度， 因此在每个小区间上自由落体Δt ＝t n
内所经过的距离可近似表示为 Δs i ≈g ·i －1n t ·t n
(i ＝1,2，…，n )． (3)求和：
s n ＝∑n i ＝1Δs i ＝∑n
i ＝1g ·i －1n t ·t n ＝gt 2n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝12gt 2(1－1n
)． (4)取极限：s ＝lim n →＋∞ 12gt 2(1－1n )＝12
gt 2. 即在时间区间[0，t ]内物体下落的距离为12
gt 2. 12．解 (1)分割：将区间[1,2]等分割成n 个小区间[1＋i －1n ，1＋i n
](i ＝1,2，…，n )，区间长度为Δt ＝1n ，每个时间段内行驶的路程记为Δs i (i ＝1,2，…，n )，则s n ≈∑i ＝1
n Δs i . (2)近似代替：ξi ＝1＋i －1n
(i ＝1,2，…，n )， Δs i ≈v (1＋i －1n )·Δt ＝6·(n n ＋i －1)2·1n ＝6n (n ＋i －1)2
(i ＝1,2，…，n )．
(3)求和：
s n ＝∑i ＝1n
6n (n ＋i －1)2≈∑i ＝1n 6n (n ＋i )(n ＋i －1) ＝6n (1n －1n ＋1＋1n ＋1－1n ＋2＋…＋12n －1－12n
)＝6n (1n －12n )＝3. (4)取极限：
s ＝lim n →＋∞s n ＝3.。