2019-2020年高考数学三角函数(一) (1)

2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数（一）
1. 【山东肥城】已知函数22()2sin 2sin ()6
f x x x π
=--，x R ∈.
（1）求函数()y f x =的对称中心；
（2）已知在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
(
)262B b c
f a
π++=
，ABC ∆△ABC 周长的最大值.
【解析】
()1cos 21cos 2()cos(2)cos 263f x x x x x
ππ⎡
⎤=----=--⎢⎥⎣
⎦
1cos 22cos 222
x x x =
+-
12cos 2sin(2)226
x x x π=
-=-. （1）令26
x k π
π-
=（k Z ∈），则212
k x ππ
=
+（k Z ∈）， 所以函数()y f x =的对称中心为(
,0)212
k ππ
+k Z ∈；
（2）由(
)262B b c f a π++=
，得sin()62b c
B a
π++=，即1sin cos 222b c B B a ++=，
sin cos B a B b c +=+，
sin sin cos sin sin A B A B B C +=+，
sin sin cos sin A B B A B =+， 又因为sin 0B ≠，
cos 1A A -=，即1
sin()6
2
A π
-=
， 由0A π<<，得56
6
6
A π
π
π-<-
<
， 所以6
6
A π
π
-
=
，即3
A π
=
，
又ABC ∆
所以3a A ==，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
2cos ()3a b c bc A b c bc b c bc =+-=+-=+-22
2
3()()()44
b c b c b c +≥+-+=
，即6b c +≤，
当且仅当b c =时取等号，所以周长的最大值为9.
2.【河北衡水】已知函数()22sin cos 2cos f x a x x b x c =++()0,0a b >>，满足
02f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，且当[]0,x π∈时，()f x 在6x π=取得最大值为52.
（1）求函数()f x 在[]0,x π∈的单调递增区间；
（2）在锐角△ABC 的三个角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且
()3
2
f C =，求2222
22a b c a b c +++-的取值范围.
【解析】
（1）易得()55sin 2366f x x π⎛⎫=
++ ⎪⎝⎭，整体法求出单调递增区间为0,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
； （2）易得3C π
=，则由余弦定理可得2222222222a b c a b ab a b c ab +++-=+-21b a a b ⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
，
由正弦定理可得2sin sin 3sin sin A b B a A A π⎛⎫
- ⎪
⎝⎭=
=11,22tan 22A ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，所以[)222
222
3,4a b c a b c ++∈+-.
3.【山东青岛】已知向量1cos ,2a x ⎛⎫=- ⎪⎝
⎭r
，,cos 2)b x x =r
，x R ∈，设函数
()f x a b =⋅r r .
（1）求f (x )的最小正周期； （2）求函数f (x )的单调递减区间；
（3）求f (x )在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值.
【解析】
1()cos ,2f x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭,cos 2)x x ⋅
1
sin cos 22x x x =-
1
2cos 222
x x =
- cos
sin 2sin
cos 26
6
x x π
π
=-
sin 26x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.
（1）()f x 的最小正周期为222
T π
π
πω
==
=，即函数()f x 的最小正周期为π. （2）函数sin(2)6
y x π
=-
单调递减区间：
32222
6
2
k x k π
π
π
ππ+≤-
≤
+，k Z ∈， 得：
53
6
k x k π
π
ππ+≤≤
+，k Z ∈， ∴所以单调递减区间是5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈.
（3）∵02x π
≤≤，
∴526
66
x π
π
π
-
≤-
≤
. 由正弦函数的性质， 当26
2
x π
π
-=
，即3
x π
=
时，()f x 取得最大值1.
当26
6
x π
π
-=-
，即0x =时，1(0)2
f =-
， 当5266x π
π-
=，即2
x π
=时，122
f π⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小值为1
2
-. 因此，()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值是1，最小值是12-.
4.【浙江余姚】已知函数)6cos(sin sin )(2π
-+=x x x x f .
（1）求函数f (x )的最小正周期；
（2）求f (x )在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值．
【解析】
（1）由题意得⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-+=6cos sin sin )(2πx x x x f
)sin 2
1
cos 23(sin sin 2x x x x ++= x x x cos sin 23
sin 232+= x x 2sin 43)2cos 1(43+-= 4
3)2cos 232sin 21(23+-=
x x 4
3)32sin(23+-=
πx )(x f ∴的最小正周期为π （2）⎥⎦
⎤⎢⎣⎡∈2,0πx Θ，
3
23
23
ππ
π
≤
-
≤-
∴x ∴当3
32π
π
-
=-
x ，即0=x 时，0)(min =x f ；
当2
3
2π
π
=
-
x ，即12
5π
=
x 时， 4332)(max +=x f
综上，得0=x 时，)(x f 取得最小值，为0； 当12
5π
=x 时，)(x f 取得最大值，为4332+
5.【山东青岛】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3
cos 3
b A a
c +=． （1）求cos B ；
（2）如图，D 为△ABC 外一点，若在平面四边形ABCD 中，2D B ∠=∠，且1AD =，3CD =，6BC =，求AB 的长．
【解析】
解：（1）在ABC ∆中，由正弦定理得3
sin cos sin sin B A A C +
=， 又()C A B π=-+，所以3
sin cos sin sin()B A A A B +
=+， 故3
sin cos sin sin cos cos sin B A A A B A B +
=+， 所以3
sin cos sin 3
A B A =
， 又(0,)A π∈，所以sin 0A ≠，故3cos 3
B =
（2）2D B ∠=∠Q ，2
1cos 2cos 13
D B ∴=-=- 又在ACD ∆中， 1AD =， 3CD =
∴由余弦定理可得222
12cos 1923()123
AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=， ∴23AC =， 在ABC ∆中， 6BC =
， 23AC =， 3cos B =
， ∴由余弦定理可得2
2
2
2cos AC AB BC AB BC B =-+⋅， 即2
3126263
AB AB =+-⋅⨯⨯，化简得2
2260AB AB --=，解得32AB =． 故AB 的长为32．
6.【江苏泰州】如图，在△ABC 中，2
ABC π
∠=
，
3
ACB π
∠=
，1BC =.P 是△ABC 内一点，且2
BPC π
∠=
.
（1）若6
ABP π
∠=，求线段AP 的长度；
（2）若23
APB π
∠=，求△ABP 的面积.
【解析】
（1）因为6
PBC π
∠=
，所以在Rt PBC ∆中，
2
BPC π
∠=
，1BC =，3
PBC π
∠=
，所以12
PB =
， 在APB ∆中，6
ABP π
∠=
，1
2
BP =
，3AB =，所以 2222cos AP AB BP AB BP PBA =+-⋅⋅∠ 1137323424=+
-⋅⋅⋅=，所以7AP =； （2）设PBA α∠=，则PCB α∠=，在Rt PBC ∆中，2
BPC π
∠=
，1BC =，
PCB α∠=，
所以sin PB α=，在APB ∆中，ABP α∠=，sin BP α=，3AB =
，23
APB π
∠=
， 由正弦定理得：
sin 31
sin 22sin
sin 33ααππα=⇒⎛⎫- ⎪⎝⎭
31cos sin 22αα⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 3sin cos αα⇒=
，又2223
sin cos 1sin 7
ααα+=⇒= 1
sin 2
ABP S AB BP ABP ∆⇒=⋅⋅∠21333sin 214α==.
8.【辽宁抚顺】已知向量m ⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=14,x sin π，n ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=34,x cos π，()=x f ⋅m n （1）求出f (x )的解析式，并写出f (x )的最小正周期，对称轴，对称中心；
（2）令()⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=6πx f x h ，求h (x )的单调递减区间；
（3）若m //n ，求f (x )的值．
【解析】
（1）()=x f n m ⋅344+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=ππx cos x sin
3222134221+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-=
ππx sin x sin 1cos 232x =-+ 所以()x f 的最小正周期π=T ，对称轴为()Z k k
x ∈=
,2
π 对称中心为()Z k k ∈⎪⎭
⎫
⎝⎛+,3,24ππ （2）()332216+⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx cos x f x h
令Z k k x k ∈≤-
≤+-,23
22ππ
ππ 得Z k ,k x k ∈+≤
≤+-
ππ
ππ
6
3
所以()x h 的单调减区间为Z k ,k ,k ∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++-ππππ63
（3）若m //n ，则3sin cos 44x x ππ⎛
⎫
⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭ 即314=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-πx tan 2tan =∴x
()1cos 232f x x =-+()22
1sin cos 32x x =-+222
21sin cos 32sin cos x x x x -=⋅++ 10
33
31tan 1tan 212
2=++-⋅=x x
9.【辽宁抚顺】已知函数()12322-+=x cos x cos x sin x f ，()R x ∈． （1）求函数()x f 的最小正周期及在区间⎥⎦⎤
⎢⎣⎡20π,上的最大值和最小值；
（2）若()56
0=x f ，x 0∈⎥⎦⎤
⎢⎣⎡24ππ,，求cos 2x 0的值．
【解析】
（1）由f (x )＝x cos x ＋2cos 2x －1，
得f (x )x cos x )＋(2cos 2x －1)
x ＋cos 2x ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+62πx ，
所以函数f (x )的最小正周期为π 16221676
26
2
0≤⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+≤-∴≤
+
≤∴
≤
≤πππ
π
π
x sin ,x ,x Θ 所以函数f (x )在区间⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡20π,上的最大值为2，最小值为－1
（2）由（1）可知f (x 0)＝2sin ⎪⎭
⎫
⎝
⎛+620πx
又因为f (x 0)＝
65，所以sin ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+620πx ＝35.
由x 0∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ,，得2x 0＋6π∈⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡6732ππ,
从而cos ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+620πx ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+--62102πx sin ＝－45
所以cos 2x 0＝cos ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+6620ππx ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+620πx cos 6π＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛
+620πx sin 6π
10.【广西桂林】已知()24sin sin 42x f x x π⎛⎫
=++ ⎪⎝⎭
()()cos sin cos sin 1x x x x +--.
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）常数0ω>，若函数()y f x ω=在区间2,23ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上是增函数，求ω的取值
范围；
（3）若函数()()()12122g x f x af x af x a π⎡⎤
⎛⎫=+---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的最大值为2，求实数ω的值.
【解析】
（1）()2221cos sin cos sin 12f x x x x x π⎡⎤
⎛⎫=-++--
⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
()222sin sin 12sin 12sin x x x x =++--=.
∴2T π=. （2）()2sin f
x x ωω=.
由222
2
k x k π
π
πωπ-≤≤+
得
22,22k k x k Z π
πππω
ωωω
-
≤≤+∈， ∴()f
x ω的递增区间为22,,22k k k Z π
πππω
ωωω⎡⎤-
+∈⎢⎥⎣⎦
∵()f
x ω在2,
23ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣
⎦
上是增函数，
∴当0k =时，有2,,2322ππππωω⎡⎤⎡⎤-
⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
. ∴0,,222,23ωπ
πωππω
⎧
⎪>⎪
⎪-
≤-⎨⎪⎪≥⎪⎩解得304ω<≤ ∴ω的取值范围是30,4
⎛⎤ ⎥⎝
⎦
.
（3）()1
sin 2sin cos 12
g x x a x a x a =+---. 令sin cos x x t -=，则2
sin 21x t =-.
∴2
2
111122y t at a t at a =-+--=-+-2
2
1242a a t a ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭
.
∵sin cos 24t x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭，由42x ππ-≤≤得244x πππ-≤-≤，
∴21t -≤≤. ①当
22a <-，即22a <-时，在2t =-max 1222y a ⎫=--⎪⎭.
由12222a ⎫--=⎪⎭，解得()
8
221227221
a ==->-+). ②当212
a
-≤≤，即222a -≤≤时，2max 142a y a =
-，由21242a a -= 得2
280a a --=解得2a =-或4a =（舍去）.
③当
12a >，即2a >时，在1t =处max 12a y =-，由122
a
-=得6a =. 综上，2a =-或6a =为所求.
11.【江苏无锡】如图所示，△ABC 是临江公园内一个等腰三角形．．．．．形状的小湖（假设湖岸是笔直的），其中两腰60CA CB ==米，2
cos 3
CAB ∠=
.为了给市民营造良好的休闲环境，公园管理处决定在湖岸AC ，AB 上分别取点E ，F （异于线段端点），在湖上修建一条笔直的水上观光通道EF （宽度不计），使得三角形AEF 和四边形BCEF 的周长相等.
（1）若水上观光通道的端点E 为线段AC 的三等分点（靠近点C ），求此时水上观光通道EF 的长度；
（2）当AE 为多长时，观光通道EF 的长度最短？并求出其最短长度.
【解析】
（1）在等腰ABC ∆中，过点C 作CH AB ⊥于H ， 在Rt ACH ∆中，由cos AH CAB AC ∠=
，即2
603
AH =，∴40AH =，80AB =， ∴三角形AEF 和四边形BCEF 的周长相等.
∴AE AF EF CE BC BF EF ++=+++，即()()606080AE AF AE AF +=-++-， ∴100AE AF +=.
∵E 为线段AC 的三等分点（靠近点C ），∴40AE =，60AF =， 在AEF ∆中，
222222
2cos 4060240602003
EF AE AF AE AF CAB =+-⋅∠=+-⋅⋅⋅=，
∴2000205EF =
=米.
即水上观光通道EF 的长度为205.
（2）由（1）知，100AE AF +=，设AE x =，AF y =，在AEF ∆中，由余弦定理，
得
()2222224102cos 33EF x y x y CAB x y xy x y xy =+-⋅∠=+-=+-. ∵22502x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭
，∴()2222102100505033EF ≥-⨯=⨯. ∴5063
EF ≥，当且仅当x y =取得等号， 所以，当50AE =米时，水上观光通道EF 的长度取得最小值，最小值为
5063米. 12.【江苏苏州】如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =，4AD =.点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =. 现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M 、N 分别在边AB ，AD 上.
（1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；
（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值.
【解析】
（1）在直角NFP ∆中，因为3PF
=FPN θ∠=， 所以3NF θ=，
所以()
1113322NAP S NA PF θ∆=⋅=+， 在直角MEP ∆中，因为1PE =，3EPM π
θ∠=-，
所以tan 3ME πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 所以113tan 1223AMP S AM PE πθ∆⎡⎤⎛⎫=⋅=+-
⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎦， 所以NAP AMP S S S ∆∆=+31tan tan 3223πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
. （2）因为31tan tan 3223S πθθ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭()
33tan tan 32213tan θθθ-=+++， 令13tan t θ=+，由0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，得[]1,4t ∈， 所以2343323323S t t t
⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭343322333t t ≥⨯⨯+=+， 当且仅当233t =时，即23tan 3
θ-=时等号成立， 此时，233AN =，min 323
S =+， 答：当233AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为323
+. 13.【江苏苏州】如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=
，AB AD ⊥，AB =1. （1）若3AB BC =u u u r u u u r g ，求△ABC 的面积；
（2）若22BC =，5AD =，求CD 的长度.
【解析】 （1）因为3AB BC =u u u r u u u r g ，所以3BA BC =-u u u r u u u r g ，
即cos 3BA BC ABC ⋅∠=-u u u r u u u r ， 又因为34ABC π∠=，1AB =，所以31cos 34
BC π⨯=-u u u r ，则32BC =u u u r ， 所以13sin 22
ABC S AB BC ABC ∆=⋅∠=u u u r u u u r . （2）在ABC ∆中，由余弦定理得：
222
32cos 4AC AB BC AB BC π=+-⋅2182122132⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 解得：13AC =，
在ABC ∆中，由正弦定理得：
sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，即213sin 13
BAC ∠=， 所以213cos cos sin 213CAD BAC BAC π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭
， 在ACD ∆中，由余弦定理得：
2222cos CD AD AC AD AC CAD =+-⋅∠，即32CD = .
14.【山东栖霞】已知函数()()sin =+f x A x ωϕ0,0,22⎛
⎫>>-< ⎪⎝⎭
A ππωϕ<的部分图象如图所示，
B ，
C 分别是图象的最低点和最高点，2
44=+BC π.
（1）求函数f (x )的解析式；
（2）将函数()=y f x 的图象向左平移3
π个单位长度，再把所得图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数()=y g x 的图象，求函数()2=y g x 的单调递增区间.
15.【山东滕州】已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,)2A πωϕ>><的部分图
象如图所示.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）把函数()y f x =图象上点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6
π个单位，得到函数()y g x =的图象，求关于x 的方程()(02)g x m m =<<在11[,]33x ππ
∈-时所有的实数根之和.。