数列求和的几种方法
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问题：什么时候用倒序相加的方法求数列和？
倒序对应项相加均相等时，往往用倒序相加的方法。 例如：等差数列前n项和。
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3
练习(： 2003s)设f x 1 ，利用课本中
2x 2 推导等差数列n项 前和的公式的方法求 ，得 可
f 5 f 4 f 0f 5 f 6
的值为 3 2 。
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4
2、错位相减法
例 2 ：: 求 1 22 2 22 3 3 2 n n
an
n
1 2n
问题：什么时候用错位相减的方法求数列和？
an 等差数 等 列比数列
问题：错位相减法求数列和的步骤？
(1) 在原前n项和的基础上，乘以一个公比 q ；
(2) 两式错位相减。
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5
练习：求： (1) Sn １ 203004000 n10n1
数列求和的几种方法
——申春燕
2009.9
可编辑ppt
1
复习：
1、等差数列的前n项和公式：
Sn
(a1
an)n 2
“倒序相加”
2、等比数列的前n项和公式：
Sn
a1 1qn 1q
q 1 “错位相减”
Sn na1
q 1
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2
1、倒序相加
例 1 ：: 求 si21 nsi2n 2si2n 3 si2n 89
(2) Sn 12a3a2......nan1
a0 a 1 a 0且 a 1
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6
3、拆项分组求和
例 3：已知 an的 数 通 列 项a公 n1n 式 0n 为。
Sn.求：
练习： (1)求数列 9， 9： 9， 99 ， 9， 999（n个9) 的和．
(2)求Sn lg13 lg1320lg1304 0 lg130800 lg1302nn11 ．
3
3
1
5
2n
1
12 n
1
.
(4)求：
S
n
1 2
5 4
9 8
......
4n 2n
3.
5 求：
S n
1
3 2
5 4
7 8
......
(1) n1
2n 2n
1
1
.
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11
问题：什么时候用拆项分组求和的方法求数列和？
通过拆项，能将数列转化成两个或若干个等差或等比数
列的和或差的形式来求和。
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7wenku.baidu.com
4、拆项抵消
例 4 ： 求 1 12： 2 13 n n 1 1
1 11
an nn1nn1
问题：什么时候用拆项抵消的方法求数列和？
将数列的每一项（实际就是通项）拆分成两项，
在求和时除前、后若干项外，中间各项能够相互抵消。
主要适用于通项公式为分式的形式：
分子是常数，分母是两个公差相等的等差数列的积。
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8
练习：
(1)已知 an
2n
1
1 2n
，求：
3
S
n
.
(2)已知 an
n n
12 12
1， 求： 1
Sn.
(3)求Sn
1
1 1 2
1
1 2
3
1
2
1 3
n
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9
例 5：求：
Sn 211
1 3
1 ... ... 1
2 2 3
n1
. n
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10
练习：
(1)求数列 ： 1 1 ，2 1 ，3 1 3 9 27
，， n
1 3n
的和
S
．
n
(2)求数列 ： 1，11，111，，11 1 （ n个1) 的和
S
．
n
(3)求：
S
n
1 1
倒序对应项相加均相等时，往往用倒序相加的方法。 例如：等差数列前n项和。
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3
练习(： 2003s)设f x 1 ，利用课本中
2x 2 推导等差数列n项 前和的公式的方法求 ，得 可
f 5 f 4 f 0f 5 f 6
的值为 3 2 。
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2、错位相减法
例 2 ：: 求 1 22 2 22 3 3 2 n n
an
n
1 2n
问题：什么时候用错位相减的方法求数列和？
an 等差数 等 列比数列
问题：错位相减法求数列和的步骤？
(1) 在原前n项和的基础上，乘以一个公比 q ；
(2) 两式错位相减。
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练习：求： (1) Sn １ 203004000 n10n1
数列求和的几种方法
——申春燕
2009.9
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1
复习：
1、等差数列的前n项和公式：
Sn
(a1
an)n 2
“倒序相加”
2、等比数列的前n项和公式：
Sn
a1 1qn 1q
q 1 “错位相减”
Sn na1
q 1
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1、倒序相加
例 1 ：: 求 si21 nsi2n 2si2n 3 si2n 89
(2) Sn 12a3a2......nan1
a0 a 1 a 0且 a 1
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3、拆项分组求和
例 3：已知 an的 数 通 列 项a公 n1n 式 0n 为。
Sn.求：
练习： (1)求数列 9， 9： 9， 99 ， 9， 999（n个9) 的和．
(2)求Sn lg13 lg1320lg1304 0 lg130800 lg1302nn11 ．
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3
1
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2n
1
12 n
1
.
(4)求：
S
n
1 2
5 4
9 8
......
4n 2n
3.
5 求：
S n
1
3 2
5 4
7 8
......
(1) n1
2n 2n
1
1
.
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问题：什么时候用拆项分组求和的方法求数列和？
通过拆项，能将数列转化成两个或若干个等差或等比数
列的和或差的形式来求和。
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4、拆项抵消
例 4 ： 求 1 12： 2 13 n n 1 1
1 11
an nn1nn1
问题：什么时候用拆项抵消的方法求数列和？
将数列的每一项（实际就是通项）拆分成两项，
在求和时除前、后若干项外，中间各项能够相互抵消。
主要适用于通项公式为分式的形式：
分子是常数，分母是两个公差相等的等差数列的积。
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练习：
(1)已知 an
2n
1
1 2n
，求：
3
S
n
.
(2)已知 an
n n
12 12
1， 求： 1
Sn.
(3)求Sn
1
1 1 2
1
1 2
3
1
2
1 3
n
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例 5：求：
Sn 211
1 3
1 ... ... 1
2 2 3
n1
. n
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练习：
(1)求数列 ： 1 1 ，2 1 ，3 1 3 9 27
，， n
1 3n
的和
S
．
n
(2)求数列 ： 1，11，111，，11 1 （ n个1) 的和
S
．
n
(3)求：
S
n
1 1