江苏专2019版版高考数学一轮复习第六章数列6.1数列的有关概念课件
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高考数学
第六章 数 列
§6.1 数列的有关概念
知识清单
2.数列的确定 (1)递推关系 如果已知数列的第1项(或前k项),且从第2项(或第k+1项)起的任一项an与 它的前一项an-1(或前k项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公 式就叫做这个数列的一个递推公式.对于一个数列{an},可由初始条件:a 1,a2,…,ak(k≥1),递推公式:an+k=f(an,an+1,…,an+k-1)(其中f可用解析式表示)来 确定.初始条件和递推公式构成一个递推关系. (2)通项公式 如果数列{an}的第n项an与④ 序号n 之间的关系可以用一个式子来 表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
≥2),即an= n 2 2(nn ≥2),又当n=1时,a1=1也适合上式,故an=
n(n2 ∈ nN*),
2
所以 1 = 2 =2
a n n2 n
+2×
1 3
+…14 +2×
,1从 而1
n n
1
+
+1 +1 …+1
a1 a2 a3
=21×10 11=1
.
1
1 11
20 11
=2× 1
(3)前n项和公式 Sn=a1+a2+…+an称为数列{an}的前n项和,由Sn可求出通项an.已知Sn,则an=
S1,n 1, ⑤ Sn Sn1 ,n2.
方法技巧
方法 1 用归纳法推出数列的通项公式
1.归纳法是由特殊到一般的方法,由数列的前几项找出其共同规律,横看 “各项之间的关系”,纵看“项的各部分与项数n的关系”,从而确定数 列的通项公式. 2.对用图形表示的数列,归纳其通项公式时要抓住以下两点: (1)前后两个图形的数值关系(即递推关系); (2)由递推关系求通项公式(或先求前几项,再归纳出通项公式). 3.对由数组成的数列,归纳其通项公式时要抓住以下几点: (1)将前几项化为相同的结构; (2)利用常见正整数组成的数列推测出各项的部分与项数n的关系;
得此数列的一个通项公式为an=(-1)n
(2n,
1)
(n
n 1)2
来自百度文库
即an=(-1)n 2n3. 3n2 n 1
(n 1)2
方法 2 利用Sn与an的关系进行an与Sn的转换
1.数列的通项an与前n项和Sn的关系是:
an= SS1n Sn (1n(n1)2, ). 2.由Sn求an时,要分n=1和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用
统一的式子表示,若不能,则分段表示为an= SS1n Sn (1n(n1)2,).
例2 若数列{an}的前n项和Sn= 2 an+1 ,则{an}的通项公式是an=
.
33
解析
由Sn=
2 3
an+13
得:当n≥2时,Sn-231=
a13 n-1+
,∴当n≥2时,an=-2an-1,又n=
1
21
(2)各项乘 9 ,变为9,99,999,9 999,…,各项再加上1,又变为10,100,1 000,10
5
000,…,这一数列的通项公式为bn=10n,由此可得原数列的一个通项公式
为an= 5 (10n-1).
9
(3)观察所给数列的各项,发现有这样几个特点:①符号负正相间;②整数 部分的绝对值依次为1,3,5,7,9,…;③分数部分的分母为从2开始的正整 数的平方;④分数部分的分子构成首项为1的正整数列.综合这些特点可
3.换元法:若已知a1且an=pan-1+b(n≥2,p≠0且p≠1),则令bn=an+λ
λ
,可p b得1 b n=pbn-1(n≥2),即数列{bn}为等比数列.
4.迭代法:将an-1=f(an-2)代入an=f(an-1)得到an与an-2的关系,再将an-2=f(an-3)代
入,……,直到将a2=f(a1)代入为止,寻求规律求出通项公式.
-a1)=an-a1=f(n)+f(n-1)+…+f(3)+f(2),即an=a1+f(2)+f(3)+…+f(n-1)+f(n).
2.累乘法:若已知a1且
a
a
n
n
1
=f(n)(n≥2),则
a n · a n · 1…·
a n1 a n2
a a
3·a
2a
2 1
=f(n)·f(n-1)·…·f
(3)·f(2),即an=a1·f(2)·f(3)·…·f(n-1)·f(n).
33
时,S1=a1= a1+ ,a1=1,∴{an}是以1为首项,-2为公差的等差数列.∴an=(-2)
n答-1. 案 (-2)n-1
方法 3 由递推关系求数列的通项公式
1.累加法:若已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2),则(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2
(3)确定项的符号特征; (4)适时运用“因式分解”“±1”的技巧. 例1 已知数列的前几项,写出下面数列的一个通项公式: (1)1,3,7,15,31,…; (2)5,55,555,5 555,…; (3)-1 1 ,32 ,-3 5 4,7 ,5-9 ,….
4 9 16 25 36
解析 (1)各项分别加上1,变为2,4,8,16,32,…,其通项公式为bn=2n,故原数 列的一个通项公式为an=2n-1.
a 10
+2× 1
1 2
1 2
1 3
答案 2 0
11
方法 4 数列的单调性和最大(小)值
1.数列的单调性可以通过比较相邻两项的大小来判定,即an+1-an>0⇔{an} 是递增数列,an+1-an<0⇔{an}是递减数列. 2.数列作为特殊的函数,可以用函数的单调性来研究数列的单调性,即若 函数f(x)单调,则an=f(n)单调.但是an=f(n)单调,不等价于函数f(x)在[1,+∞) 上单调. 3.求数列的最大(小)项,可用数列的单调性来解决,也可用函数的方法来 解决,但要注意n∈N*.
例3 (2015江苏,11,5分)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数
列
1 an
前 10项的和为
.
解析 由已知得,a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,……,an-an-1=n-1+1(n≥2),
则有an-a1=1+2+3+…+n-1+(n-1)(n≥2),因为a1=1,所以an=1+2+3+…+n(n
例4 (1)(2016江苏新海高级中学月考,13)已知数列{an}的通项公式为an
第六章 数 列
§6.1 数列的有关概念
知识清单
2.数列的确定 (1)递推关系 如果已知数列的第1项(或前k项),且从第2项(或第k+1项)起的任一项an与 它的前一项an-1(或前k项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公 式就叫做这个数列的一个递推公式.对于一个数列{an},可由初始条件:a 1,a2,…,ak(k≥1),递推公式:an+k=f(an,an+1,…,an+k-1)(其中f可用解析式表示)来 确定.初始条件和递推公式构成一个递推关系. (2)通项公式 如果数列{an}的第n项an与④ 序号n 之间的关系可以用一个式子来 表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
≥2),即an= n 2 2(nn ≥2),又当n=1时,a1=1也适合上式,故an=
n(n2 ∈ nN*),
2
所以 1 = 2 =2
a n n2 n
+2×
1 3
+…14 +2×
,1从 而1
n n
1
+
+1 +1 …+1
a1 a2 a3
=21×10 11=1
.
1
1 11
20 11
=2× 1
(3)前n项和公式 Sn=a1+a2+…+an称为数列{an}的前n项和,由Sn可求出通项an.已知Sn,则an=
S1,n 1, ⑤ Sn Sn1 ,n2.
方法技巧
方法 1 用归纳法推出数列的通项公式
1.归纳法是由特殊到一般的方法,由数列的前几项找出其共同规律,横看 “各项之间的关系”,纵看“项的各部分与项数n的关系”,从而确定数 列的通项公式. 2.对用图形表示的数列,归纳其通项公式时要抓住以下两点: (1)前后两个图形的数值关系(即递推关系); (2)由递推关系求通项公式(或先求前几项,再归纳出通项公式). 3.对由数组成的数列,归纳其通项公式时要抓住以下几点: (1)将前几项化为相同的结构; (2)利用常见正整数组成的数列推测出各项的部分与项数n的关系;
得此数列的一个通项公式为an=(-1)n
(2n,
1)
(n
n 1)2
来自百度文库
即an=(-1)n 2n3. 3n2 n 1
(n 1)2
方法 2 利用Sn与an的关系进行an与Sn的转换
1.数列的通项an与前n项和Sn的关系是:
an= SS1n Sn (1n(n1)2, ). 2.由Sn求an时,要分n=1和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况可否用
统一的式子表示,若不能,则分段表示为an= SS1n Sn (1n(n1)2,).
例2 若数列{an}的前n项和Sn= 2 an+1 ,则{an}的通项公式是an=
.
33
解析
由Sn=
2 3
an+13
得:当n≥2时,Sn-231=
a13 n-1+
,∴当n≥2时,an=-2an-1,又n=
1
21
(2)各项乘 9 ,变为9,99,999,9 999,…,各项再加上1,又变为10,100,1 000,10
5
000,…,这一数列的通项公式为bn=10n,由此可得原数列的一个通项公式
为an= 5 (10n-1).
9
(3)观察所给数列的各项,发现有这样几个特点:①符号负正相间;②整数 部分的绝对值依次为1,3,5,7,9,…;③分数部分的分母为从2开始的正整 数的平方;④分数部分的分子构成首项为1的正整数列.综合这些特点可
3.换元法:若已知a1且an=pan-1+b(n≥2,p≠0且p≠1),则令bn=an+λ
λ
,可p b得1 b n=pbn-1(n≥2),即数列{bn}为等比数列.
4.迭代法:将an-1=f(an-2)代入an=f(an-1)得到an与an-2的关系,再将an-2=f(an-3)代
入,……,直到将a2=f(a1)代入为止,寻求规律求出通项公式.
-a1)=an-a1=f(n)+f(n-1)+…+f(3)+f(2),即an=a1+f(2)+f(3)+…+f(n-1)+f(n).
2.累乘法:若已知a1且
a
a
n
n
1
=f(n)(n≥2),则
a n · a n · 1…·
a n1 a n2
a a
3·a
2a
2 1
=f(n)·f(n-1)·…·f
(3)·f(2),即an=a1·f(2)·f(3)·…·f(n-1)·f(n).
33
时,S1=a1= a1+ ,a1=1,∴{an}是以1为首项,-2为公差的等差数列.∴an=(-2)
n答-1. 案 (-2)n-1
方法 3 由递推关系求数列的通项公式
1.累加法:若已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2),则(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2
(3)确定项的符号特征; (4)适时运用“因式分解”“±1”的技巧. 例1 已知数列的前几项,写出下面数列的一个通项公式: (1)1,3,7,15,31,…; (2)5,55,555,5 555,…; (3)-1 1 ,32 ,-3 5 4,7 ,5-9 ,….
4 9 16 25 36
解析 (1)各项分别加上1,变为2,4,8,16,32,…,其通项公式为bn=2n,故原数 列的一个通项公式为an=2n-1.
a 10
+2× 1
1 2
1 2
1 3
答案 2 0
11
方法 4 数列的单调性和最大(小)值
1.数列的单调性可以通过比较相邻两项的大小来判定,即an+1-an>0⇔{an} 是递增数列,an+1-an<0⇔{an}是递减数列. 2.数列作为特殊的函数,可以用函数的单调性来研究数列的单调性,即若 函数f(x)单调,则an=f(n)单调.但是an=f(n)单调,不等价于函数f(x)在[1,+∞) 上单调. 3.求数列的最大(小)项,可用数列的单调性来解决,也可用函数的方法来 解决,但要注意n∈N*.
例3 (2015江苏,11,5分)设数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N*),则数
列
1 an
前 10项的和为
.
解析 由已知得,a2-a1=1+1,a3-a2=2+1,a4-a3=3+1,……,an-an-1=n-1+1(n≥2),
则有an-a1=1+2+3+…+n-1+(n-1)(n≥2),因为a1=1,所以an=1+2+3+…+n(n
例4 (1)(2016江苏新海高级中学月考,13)已知数列{an}的通项公式为an