定积分的概念 说课稿 教案 教学设计

定积分的概念
教材分析
《定积分的概念》从曲边梯形的面积及变速直线运动的共同特征概括出定积分的概念，它是学生学习定积分的基础，为学习定积分的应用作好铺垫．因此这节课有承前启后的作用，是本章的重点内容之一．本节课的重点是：理解并掌握定积分的概念、定积分的几何意义．理解定积分的概念是难点．主要是这种“以曲代直”“逼近”的思想方法在学生的头脑中并没有与之相联系的认知结构，只有将头脑中原有的认知结构加以改组和顺应，在几节课内达到深刻理解这种思想方法是难点所在．
课时分配
1课时．
教学目标
知识与技能目标
通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；借助于几何直观的基本思想，理解定积分的概念．
过程与方法目标
培养学生的逻辑思维能力和创新意识．
情感、态度与价值观
激发学生主动探索学习的精神．
重点难点
重点：定积分的概念、定积分的几何意义．
难点：定积分概念的理解．
教学过程
引入新课
提出问题：回忆前面曲边梯形的面积、变速运动的路程等问题的解决方法与步骤．
活动成果：分割→近似代替→求和→取极限
活动设计：将以下问题及其解决步骤通过多媒体投影到屏幕上．
物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，求它在a ≤t ≤b 内的位移s.步骤如下： (1)分割：用分点a ＝t 0<t 1<t 2<…<t n ＝b 将时间区间[a ，b]等分成n 个小区间[t i －1，t i ](i ＝1,2，…，n)，其中第i 个时间区间的长度为Δt ＝t i －t i －1，物体在此时间段内经过的路程为Δs i .
(2)近似代替：当Δt 很小时，在[t i －1，t i ]上任取一点ξi ，以v(ξi )来代替[t i －1，t i ]上各时刻的速度，则Δs i ≈v(ξi )·Δt i .
(3)求和：s ＝
1
n
i
i S
=∆∑≈∑i ＝1
n
v (ξi )Δt.
(4)取极限：Δt →0时，上式右端的和式作为s 近似值的误差会趋于0，因此s ＝0
lim t ∆→∑i ＝1n
v
(ξi )Δt.
探究新知
提出问题1：请同学们对求曲边梯形的面积和变速运动的路程两个实例的四个步骤对比分析，找出共同点．
活动设计：先让学生独立思考，再分小组讨论、交流．
活动成果：1.二者都通过四个步骤——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题； 2．解决这两个问题的思想方法是相同的，都采用了“逼近”的思想．
总结：类似的问题都可以通过这种方法来解决，而且最终结果都可以归结为这种类型的和式的极限．
提出问题2：你能不能类似地将在区间[a ，b]上连续的问题函数f(x)的最终结果归结为这种类型的和式的极限．
活动设计：学生先独立思考，必要时允许学生合作、讨论、交流．
学情预测：开始学生的回答可能不全面、不准确，但在教师的不断补充、纠正下，会趋于完善．
活动成果：师生共同概括出定积分的概念： 一般地，设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点 a ＝x 0<x 1<x 2<…<x i －1<x i <…<x n ＝b
将区间[a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n)，作和式：
∑i ＝1
n f (ξi )Δx ＝∑i ＝1
n
b －a
n f(ξi )，
当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，那么称该常数为函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分．记为⎠⎛
a
b f(x)dx ，即
⎠⎛a
b f(x)dx ＝
lim n →∞∑n
i ＝1
b －a
n f(ξi )， 其中f(x)称为被积函数，x 叫做积分变量，[a ，b]叫做积分区间，b 叫做积分上限，a 叫做积分下限，f(x)dx 叫做被积式．
教师补充以下几点：(1)定积分⎠⎛a b f(x)dx 是一个常数；(2)定积分⎠⎛a
b f(x)dx 是一种特定形
式的和式∑i ＝1n
b －a n f(ξi )的极限，即⎠⎛a b f(x)dx 表示当n →∞时，和式∑i ＝1
n b －a n f(ξi )所趋向的定值；
(3)对区间[a ，b]的分割是任意的，只要保证每一小区间的长度都趋向于0就可以了；(4)考虑到定义的一般性，ξi 是第i 个小区间上任意取定的点，但在解决实际问题或计算定积分时，可以把ξi 都取为每个小区间的左端点(或都取为右端点)，以便得出结果．
设计意图
通过上述操作、思考问题使学生建立起对定积分的初步、直观的认识，并训练和培养学生的抽象概括能力．
提出问题3：你能说说定积分的几何意义吗？
活动设计：学生独立解决，必要时，教师指导、提示．
学情预测：如果学生回答此问题有困难，可提示学生回顾求曲边梯形面积的例子． 活动成果：结合课本本节图1.57总结定积分⎠⎛a
b f(x)dx(f(x)≥0)的几何意义：
如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分⎠⎛a
b f(x)dx 表示由直线x ＝a ，
x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．
提出问题4：思考课本本节的探究问题． 活动设计：学生独立思考，并给出答案．
活动成果：通过对定积分几何意义的理解，学生不难考虑到如何用定积分表示位于x 轴上方的两条曲线y ＝f 1(x)，y ＝f 2(x)与直线x ＝a ，x ＝b 围成的平面图形面积．由于图中用虚线给出了辅助线，学生易得到阴影部分的面积为S ＝⎠⎛a b f 1(x)dx －⎠⎛a
b f 2(x)dx.
教师引导学生根据定积分的定义，可以得出定积分的如下性质：
性质1：⎠⎛a b kf(x)dx ＝k ⎠⎛a
b f(x)dx(k 为常数)；
性质2：⎠⎛a b [f 1(x)±f 2(x)]dx ＝⎠⎛a b f 1(x)dx±⎠⎛a
b f 2(x)dx ；
性质3：⎠⎛a
b f(x)dx ＝⎠⎛a
c f(x)dx ＋⎠⎛c
b f(x)dx(其中a<c<b)．
提出问题5：性质1等式两边的两个定积分上、下限和被积函数分别是什么？ 活动设计：以提问的形式让学生直接作答．
提出问题6：你能从定积分的几何意义解释性质3吗？ 活动设计：学生思考、交流、探索解决问题．
学情预测：若学生解决问题有困难，教师可辅助学生用图象的方法帮助学生从几何直观上感知性质3的成立．
活动成果：教师指出性质3为定积分对积分区间的可加性，它对把区间[a ，b]分成有限个(两个以上)小区间的情形也成立．给出以上3个性质，便于我们计算定积分．
理解新知
1．用定义求定积分的一般方法是：
①分割：n 等分区间[a ，b]；②近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；③求和：∑i ＝1
n
b －a
n f(ξi )；
④取极限：⎠⎛
a
b f(x)dx ＝
lim n →∞
∑i ＝1
n
b －a
n f(ξi )． 2．一般情况下，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是介于x 轴、函数f(x)的图形以及直线x ＝a ，x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号．即∫b a f(x)dx ＝x 轴上方面积－x 轴下方的面积．
运用新知
例1利用定积分的定义，计算定积分∫10x 3dx 的值．
解：令f(x)＝x 3. (1)分割
在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，i
n
](i ＝1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝i n －i －1n ＝1n
.
(2)近似代替、求和
取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n)，则∫10x 3dx ≈S n ＝∑i ＝1n (i n )3
·1n ＝1n 4∑i ＝1
n i 3＝1n 4·n 2(n ＋1)24＝14(1＋1n
)2.
(3)取极限
∫10x 3
dx ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 14
(1＋1n )2＝14. 例2根据定积分的几何意义推出下列定积分的值．
(1)∫10xdx ；(2)∫R 0R 2－x 2dx.
思路分析：如果在区间[a ，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分∫b a f(x)dx 表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积．(1)中的定积分的值即为由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝x 所围成的图形的面积；(2)中的定积分的值为由直线x ＝0，x ＝R ，y ＝0和曲线y ＝R 2－x 2所围成的图形的面积．
解：(1)由图象可知，由直线x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝x 所围成的图形为一个直角三角形，两条直角边边长均为1，则面积为12×1×1＝12，所以∫10xdx ＝12
. (2)由图象可知，由直线x ＝0，x ＝R ，y ＝0和曲线y ＝R 2－x 2所围成的图形面积即为圆x 2＋y 2＝R 2面积的14，则面积为14πR 2，所以∫R 0R 2－x 2
dx ＝14
πR 2
. 变练演编
例 计算定积分∫20x 3
dx 的值，并从几何上解释这个值表示什么？ 解：计算定积分∫20x 3dx 的值：
(1)分割
在区间[0,2]上等间隔地插入n －1个点，将区间[0,2]等分成n 个小区间[2(i －1)n ，2i n ](i ＝
1,2，…，n)，每个小区间的长度为Δx ＝2i n －2(i －1)n ＝2
n
.
(2)近似代替、求和
取ξi ＝2i
n
(i ＝1,2，…，n)，则
∫20x 3dx ≈S n ＝
∑i ＝1n
(2i n )3·2n ＝16n 4∑i ＝1
n i 3＝16n 4·n 2(n ＋1)24＝4(1＋1
n
)2. (3)取极限
∫20x 3dx ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞
4(1＋1n )2
＝4. 由定积分的几何意义，可知这个值表示由直线y ＝0，x ＝0，x ＝2和曲线y ＝x 3所围成
的图形的面积．
活动设计：学生在理解例1和例2的基础上，独立完成此例练习． 设计意图
设置本题意在让学生进一步理解定积分的定义和其几何意义，训练学生思维的灵活性． 达标检测
1. lim n →∞ 1n [cos πn ＋cos 2πn ＋…＋cos (n －1)πn ＋cos nπn ]写成定积分的形式，可记为( )
A ．∫π0cosxdx B.1
π∫π0cosxdx
C ．∫10cosxdx
D ．∫π0cosx x
dx 2．用定积分表示由曲线y ＝x 3和直线y ＝x 所围成的图形面积． 3．当f(x)≥0时，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是__________； 当f(x)≤0时，定积分∫b a f(x)dx 的几何意义是__________． 4．根据定积分的几何意义，求∫2－2
4－x 2dx 的值． 答案：1.B 2.∫10(x －x 3)dx.
3．由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积 由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0和曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数
4．2π.
课堂小结
1．知识收获：(1)定积分的概念；(2)定义法求简单的定积分；(3)定积分的几何意义． 2．方法收获：联想、归纳、总结的思想方法． 3．思维收获：从特殊到一般．。