圆锥曲线中的方程思想

圆锥曲线问题中的方程思想（第一次课）

丹东市教师进修学院 宋润生

【命题趋势分析】

在解决数学问题时，对于一些形式上看似以非方程的问题出现，但经过一定的数学变换或构造，这一非方程问题就转化为方程形式并应用方程的有关性质处理这一问题，进而使数学问题得到很好的解决，这一思想方法称之为“方程的思想方法”。

圆锥曲线是解析几何重要内容，也是数学思想方法的重要载体，“方程的思想方法”在圆锥曲线中有着广泛的应用，也是高考考查的重点内容。全国新课标Ⅱ卷连续三年（2013、2014、2015年）的圆锥曲线解答题都考了利用“相关的点满足曲线方程”的解题方法。 【新课讲解】

1．（2013全国新1卷理10）已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点

F 的直线交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为

A ．

22

14536

x y += B ．

22

13627x y += C ．

22

12718x y += D ．

22

1189

x y += 答案：D 解：

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x +=，122y y +=-，

1212101

132

y y x x ---==--．由

2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，相减得1212

221212

110y y y y a b x x x x +-+⋅⋅=+-，所以222a b =．因为229a b -=，所以2

18a =，29b =．

【新课练习】

2．（2010全国新理10）已知双曲线E 的中心为原点，)0,3(F 是E 的焦点，过F 的直线l 与

E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为

A ．

22

136

x y -= B ．

22

145x y -= C ．

22163x y -= D ．22

154

x y -= 答案：B

解：

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1224x x +=-，1230y y +=-，

1212150

1123

y y x x ---==---．

设22

22:1x y E a b -=，则2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，相减得1

212221212

110y y y y a b x x x x +--⋅⋅=+-，所以2254a b =，因为229a b +=，所以24a =，25b =．

3．（2013全国新2卷理20（Ⅰ））平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22

2219(0)

x y a b a b

+=>>

右焦点的直线0x y +=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1

2

，求M 的方程． 解：

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，12

12

1y y x x -=--，

由此可得2121221212

()1()b x x y y a y y x x +-=-=+-，因为1202x x x +=，1202y y y +=，001

2y x =，所以

222a b =，又由题意知，M

的右焦点是，故223a b -=，因此26a =，23b =，所

以M 的方程是22

163

x y +=． 【新课讲解】

4．（2015年2卷理20）（本小题满分12分）

已知椭圆C ：2

2

2

9m y x =+)0(>m ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．

（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点),3

(

m m

，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 解：

（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，l 的斜率为k ，则222119x y m +=，222229x y m +=，

相减得221222129y y x x -=--，所以22

12121222

121212

9OM y y y y y y k k x x x x x x +--===-+--； （Ⅱ）由（Ⅰ）得直线OM 方程是9y x k =-

，设:()3

m

l y m k x -=-，则2

2(3)327M k k m x k -=+，9y x k =-代入2

229m y x =+得P x =OAPB 能为平行四边形，则线段AB 与线段OP 相互平分，从而2P M x x =，即

2

2(3)2327k k m

k -=+，解得14k =，24k =，因为点),3(m m 在第一象

限且在椭圆C 外面，故0k >，因此存在14k =或24k =使得四边形OAPB 能为平行四边形． 【新课练习】

5．（2015年1卷理5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2

212

x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若12

MF MF ⋅

＜0，则y 0的取值范围是

A ．(

B ．(

C ．(33-

D ．( 答案：A 解：

因为12(F F ，220012

x y -=，所以222

12000331MF MF x y y ⋅=+-=- ，

由20310y -<，得0(y ∈． 6．（2014全国新2卷理20，本小题满分12分）

设12,F F 分别是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴

垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．

（Ⅰ）若直线MN 的斜率为

3

4

，求C 的离心率；