圆锥曲线中的方程思想

圆锥曲线问题中的方程思想（第一次课）
丹东市教师进修学院 宋润生
【命题趋势分析】
在解决数学问题时，对于一些形式上看似以非方程的问题出现，但经过一定的数学变换或构造，这一非方程问题就转化为方程形式并应用方程的有关性质处理这一问题，进而使数学问题得到很好的解决，这一思想方法称之为“方程的思想方法”。

圆锥曲线是解析几何重要内容，也是数学思想方法的重要载体，“方程的思想方法”在圆锥曲线中有着广泛的应用，也是高考考查的重点内容。

全国新课标Ⅱ卷连续三年（2013、2014、2015年）的圆锥曲线解答题都考了利用“相关的点满足曲线方程”的解题方法。

【新课讲解】
1．（2013全国新1卷理10）已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点
F 的直线交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为
A ．
22
14536
x y += B ．
22
13627x y += C ．
22
12718x y += D ．
22
1189
x y += 答案：D 解：
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则122x x +=，122y y +=-，
1212101
132
y y x x ---==--．由
2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，相减得1212
221212
110y y y y a b x x x x +-+⋅⋅=+-，所以222a b =．因为229a b -=，所以2
18a =，29b =．
【新课练习】
2．（2010全国新理10）已知双曲线E 的中心为原点，)0,3(F 是E 的焦点，过F 的直线l 与
E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为(12,15)N --，则E 的方程式为
A ．
22
136
x y -= B ．
22
145x y -= C ．
22163x y -= D ．22
154
x y -= 答案：B
解：
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1224x x +=-，1230y y +=-，
1212150
1123
y y x x ---==---．
设22
22:1x y E a b -=，则2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，相减得1
212221212
110y y y y a b x x x x +--⋅⋅=+-，所以2254a b =，因为229a b +=，所以24a =，25b =．
3．（2013全国新2卷理20（Ⅰ））平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22
2219(0)
x y a b a b
+=>>
右焦点的直线0x y +=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1
2
，求M 的方程． 解：
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)P x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，12
12
1y y x x -=--，
由此可得2121221212
()1()b x x y y a y y x x +-=-=+-，因为1202x x x +=，1202y y y +=，001
2y x =，所以
222a b =，又由题意知，M
的右焦点是，故223a b -=，因此26a =，23b =，所
以M 的方程是22
163
x y +=． 【新课讲解】
4．（2015年2卷理20）（本小题满分12分）
已知椭圆C ：2
2
2
9m y x =+)0(>m ，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．
（Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点),3
(
m m
，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 解：
（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，l 的斜率为k ，则222119x y m +=，222229x y m +=，
相减得221222129y y x x -=--，所以22
12121222
121212
9OM y y y y y y k k x x x x x x +--===-+--； （Ⅱ）由（Ⅰ）得直线OM 方程是9y x k =-
，设:()3
m
l y m k x -=-，则2
2(3)327M k k m x k -=+，9y x k =-代入2
229m y x =+得P x =OAPB 能为平行四边形，则线段AB 与线段OP 相互平分，从而2P M x x =，即
2
2(3)2327k k m
k -=+，解得14k =，24k =，因为点),3(m m 在第一象
限且在椭圆C 外面，故0k >，因此存在14k =或24k =使得四边形OAPB 能为平行四边形． 【新课练习】
5．（2015年1卷理5）已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2
212
x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若12
MF MF ⋅
＜0，则y 0的取值范围是
A ．(
B ．(
C ．(33-
D ．( 答案：A 解：
因为12(F F ，220012
x y -=，所以222
12000331MF MF x y y ⋅=+-=- ，
由20310y -<，得0(y ∈． 6．（2014全国新2卷理20，本小题满分12分）
设12,F F 分别是椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴
垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ．
（Ⅰ）若直线MN 的斜率为
3
4
，求C 的离心率；
（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b ． 解：
（Ⅰ）根
据c = 及题设知2
(,)b M c a
，223b ac =，将222b a c =-代入
223b ac =，解得
12
c a = ，2c a =-（舍去），故C 的离心率为12；
（Ⅱ）由题意，原点O 为12F F 的中点，2MF y ∥轴，
所以直线2MF 与y 轴的交点(0,2)D 是线段2MF 的中点，故24b a
=，即2
4b a =，①由1||5||MN F N =，得112DF F N = ，设11(,)N x y ，则112()22c x c y --=⎧⎨-=⎩ ，即1
1321x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，代入C 的方程，得2229114c a b +=，②将
①及c 22
9(4)1144a a a a
-+=，解得7a =，2
428b a ==，故7a =
，b =
【课后完成】
1．人教B 选2-1教材P70练习B1；人教B 选2-1教材P70练习2-5A1． 2．人教B 选2-1教材P74巩固与提高7． 3．人教B 选2-1教材P69例题4． 4．人教B 选2-1教材P74巩固与提高8．
圆锥曲线问题中的方程思想（第二次课）
丹东市教师进修学院 宋润生
一、检查反馈
（1）近三年高考全国Ⅱ卷的第20题考了什么思想方法？ （2）检查上次课课后练习题完成情况
1．（人教B 选2-1教材P74巩固与提高7）设椭圆的方程是22
221(0)x y a b a b
+=>>，斜率
为1的直线不经过坐标原点O ，而且与椭圆相交于,A B 两点，M 为线段AB 中点，直
线AB 与OM 能否垂直？证明你的结论． 解：
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则22
1212122
2
121212
OM AB
y y y y y y k k x x x x x x +--⋅=⋅=+--．因为22
1122
22
2222
11
x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，相减得2221222212y y b x x a -=--，所以22OM AB b k k a ⋅=-． 因为0a b >>，所以2
21b a
-≠-，直线AB 与OM 不能垂直．
2．（人教B 选2-1教材P74巩固与提高8）设,A B
分别是直线y x =
和y x =上
的动点，且||AB =
O 是坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+ ，求动点P 得
轨迹方程． 解：
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)P x y ，则12
12
x x x y y y =+⎧⎨=+⎩， 221212()()20x x y y -+-=．因
为11y x =
，22y x =，所
以222
21212
)())()20
y y x x +++=，即22
542045y x +=，因此动点P 得轨迹方程是2212516
x y +=． 二、题型讲练
3．如图，等腰梯形ABCD 中，2AB DC = ，32AE EC = ，一
双曲线经过,,C D E 三点，且以,A B 为焦点，则该双曲线离
心率是 ．
解：
设双曲线方程：22
221x y a b
-=(0,0)a b >>，则(,0)A c -，根据图形可设0(,)2c C y ．由
A
23AE EC = ，得022(,)55y c E -．从而2
202222022
144412525y c a b y c a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，消去202y b ，解得227c a =，
4．过抛物线x y 2
1
2=
上一定点P )1,2(作两条直线分别交抛物线于A ，B 两点，如果直线P A 与PB 的斜率互为相反数，证明直线AB 的斜率为定值． 证明：
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2112x y =，2222x y =． 直线P A 的斜率)
1(21
22121121111+=--=--=
y y y x y k PA ，同理PB 的斜率)1(212+=y k PB ．因
为直线P A 与PB 的斜率互为相反数，即PB PA k k -=，所以221-=+y y ．因此直线AB 的斜率为4
1
)(2122212221212121-=+=--=--=
y y y y y y x x y y k AB ．
5．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且倾斜角为
4
π
的直线与抛物线交于,A B 两点，若弦AB 的垂直平分线经过点(0,2)，则p =
A ．25
B ．
23
C ．
45
D ．
43
答案：C 解：
设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意
1212
1y y x x -=-，所以122212122y y
y y p p
-=-，因此122y y p +=．由
题意直线AB ：2p y x =-
，AB 的垂直平分线方程是2y x =-，因此解出14
M p
y =-，从而22(1)4p p =-，解得4
5
p =．
思考：过抛物线2
2(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于,A B 两点，若,A B 两点关
于直线直线2y x =-对称，则p = ．
6．抛物线2
2y x =上的两点()11,A x y 、()22,B x y 关于直线m x y +=对称，若2
121-
=x x ，
那么m = A ．2
3 B ．
2
5 C ．2 D ．3
解：
由题意12
121y y x x -=--，从而
221212221x x x x -=--，所以1212x x +=-，12124x x +=-，222121212125()224y y x x x x x x +=+=+-=，AB 中点15(,)44-，代入m x y +=得2
3
=m 三、课后练习
7．（人教B 选2-1教材P70练习A3）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的一条直线与这条抛物线相交于,A B 两点，求证：这两个交点到x 轴的距离乘积是定值． 证明：
显然直线AB 斜率不为零，设:2p
AB x ky =+，把22y x p =代入得2022
y p ky p --=，
设1122(,),(,)A x y B x y ，根据韦达定理221p y y -=，这两个交点到x 轴距离乘积是定值2
p ．
思考：两个交点到y 轴的距离乘积是否也是定值，怎么证明？
8．椭圆
2217525
y x +=上总有不同的两点,P Q 关于直线1
3y x b =-+对称，求b 的取值范围． 解：
设11(,)P x y ，22(,)Q x y 为椭圆上关于直线13y x b =-
+的对称两点，则1212
3y y
x x -=-． 设弦PQ 的中点00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，又22
1122
2217525
1
7525
x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，两式相减并整理得000x y +=．又因为0013y x b =-+，所以33
(,)22
M b b -．
因为M 在椭圆22
17525y x +=内，所以2233()()2217525
b b -+<．解得b 取值范围
是b <<
．
9．已知函数2()f x x =的图象在点A 与点B 处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可
能是 A ．3
(,3)2
- B ．(0,4)- C ．(2,3) D ．1(1,)4
-
答案：D 解：
由题意设1122(,),(,)A x y B x y ，()2f x x '=，则过,A B 两点的切线斜率112k x =，222k x =，又切线互相垂直，所以121k k =-，即1214
x x =-
． 设1111:2()l y y x x x -=-，因为211y x =，所以2111:2l y x x x =-，同理2222:2l y x x x =-，联立得1212()[2()]0x x x x x --+=，因为12x x ≠，所以12
2
x x x +=
． 122x x x +=
代入1l ，解得121
4
y x x ==-，故选D ． 10．（2013全国Ⅱ卷文20，本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，己知圆P 在x
轴上截得线段长为y 轴上截得线段
长为
（Ⅰ）求圆心P 的轨迹方程； （Ⅱ）若P 点到直线y x =
，求圆P 的方程． 解：
（Ⅰ）设(,)P x y ，圆P 半径为r ，由题设222y r +=，2
2
3x r +=，从而22
23y x +=+．故
圆心P 的轨迹方程是2
2
1y x -=．
（Ⅱ）设00(,)P x y
2
=
．又点P 在双曲线22
1y x -=上，从而得0022
0||1
1x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩． 由00220011x y y x -=⎧⎪⎨-=⎪⎩得0001x y =⎧⎨=-⎩，此时圆P
半径为r =0022
0011x y y x -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩得00
01x y =⎧⎨=⎩，此
时圆P 半径为r =
故圆P 的方程是22(1)3x y ++=或22(1)3x y +-=．
11．人教B 选2-1教材P70练习A2；人教B 选2-1教材P70练习2-5A4．。