清华大学《运筹学教程》胡运权主编课后习题答案(第一章)

(x3,x5,x6)
(x4,x5,x6)
0
0
0
0
3/2
0
0
3
8
5
0
0
是
是
3
0
所有基可行解中最优解为X=(0,3,0,0,3.5,0)T和X=(0,0,1.5,0,8,0)T
(2)
min Z 5 x1 2 x2 3x3 2 x4 x1 2 x2 3x3 4 x4 7 st 2 x1 2 x2 x3 2 x4 3 x 0, ( j 1, 4) j
式中，1≤c1≤3, 4≤c2≤6, -1≤a11≤3, 2≤a12≤5, 8≤b1≤12, 2≤a21≤5, 4≤a22≤6, 10≤b2≤14,试确定目标函数最优值的下界和 上界。
17
解：上界对应的模型如下（c,b取大，a取小）
max Z 3x1 6 x2 1x1 2 x2 12 st . 2 x1 4 x2 14 x ,x 0 1 2
-1
x2
0
x3
0
x4
-M
x5
-M
x6
CB
xB
x5
x6
x4
i
-M -M 0
3 6 4
[3] 4 1
1 3 2
0 -1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0 0
1 3/2 4 3 6/5 9/5
cj zj
7M-4
1 2 3 1 0 0 0
4M-1
1/3 [5/3] 5/3
5M/3+1/3
-M
0 -1 0 -M
唯一最优解， x1 10, x 2 6 Z 16
(4)
max Z 5 x1 6 x2 2 x1 x2 2 st. 2 x1 3x2 2 x ,x 0 1 2
3
该问题有无界解
1.2
将下述线性规划问题化成标准形式。
min Z 3x1 4 x2 2 x3 5 x4 4 x1 x2 2 x3 x4 2 x x x 2 x 14 2 3 4 st 1 . 2 x1 3x2 x3 x4 2 x1 , x2 , x3 0, x4无约束
m axZ 4 x1 x 2 Mx5 Mx6 3 x1 x 2 x5 3 4 x 3 x x x 6 1 2 3 6 st x1 2 x 2 x4 4 , j 1, ,4） x j 0（
cj
-4
b
x1
0
-1/7
2/7
A2点
cj zj
5/14 25/14
所以最优解为X*=(1,3/2,0,0)T
(2)
max Z 2 x1 x2 3 x1 5 x2 15 st .6 x1 2 x2 24 x ,x 0 1 2
13
l.5 上题(1)中，若目标函数变为max Z = cx1 + dx2，讨论 c,d 的值如何变化，使该问题可行域的每个顶点依次使目标函数 达到最优。 最优值 1)c<0 d<0 d=0 d>0 d<0 d>0 O点 OA3线段 A3点 OA1线段 A3点
解：令 w Z , x4 x41 x42， 其 中 x41，x42 0, 同时引入松弛变量 x5， 剩 余 变 量 x6， 则 标 准 形 式 为 ： m axw 3 x1 4 x 2 2 x 3 5 x41 5 x42 4 x1 x 2 2 x 3 x41 x42 x x x 2x 2x x 1 2 3 41 42 5 st 2 x1 3 x 2 x 3 x41 x42 x6 x1 , x 2 , x 3 , x41 , x42 , x6 2 14 2 0
max Z 3x1 x2 2 x3 12x1 3x2 6 x3 3x4 9 8 x x 4 x 2 x 10 1 2 3 5 st 3x1 x6 0 （ , j 1, ,6） x j 0
(1)
(2)
min Z 5 x1 2 x2 3x3 2 x4 x1 2 x2 3x3 4 x4 7 st 2 x1 2 x2 x3 2 x4 3 x 0, ( j 1, 4) j
7
(1)
max Z 3x1 x2 2 x3 12x1 3x2 6 x3 3x4 9 8 x x 4 x 2 x 10 1 2 3 5 st 3x1 x6 0 （ , j 1, ,6） x j 0
8
x1
x2
x3
x4
x5
maxZ 3 x1 x2 2 x3 x1 x2 x3 6 2 x x 2 (1) 1 3 st 2 x2 x3 0 , j 1, ,3） x j 0（ 。
20
minZ 2 x1 3 x2 x3 x1 4 x2 2 x3 8 ( 2) st .3 x1 2 x2 6 x , x 0 1 2
0
0 1 0 5/4 3/4 0 0 0 0
0
0 0 0 0 0 16/3 10 3 0
-5/2
1.5 -0.5 0 0 0 -7/6 0 0 -5/2
8
0 0 3 -2 0 0 -7 0 8
0
8 0 5 0 2 0 0 7/2 0
0
0 3 0 15/4 9/4 0 0 0 0
否
是 否 是 否 是 否 否 是 否 3 9/4 0 3
第一章习题解答
1.1 用图解法求解下列线性规划问题。 并指出问题具有惟一最优解、无穷多最优解、 无界解还是无可行解。
(1) m i nZ 2 x1 3 x2 4 x1 6 x2 6 st . 3 x1 2 x2 4 x ,x 0 1 2
(2)Leabharlann Baidu
max Z 3x1 2 x2 2 x1 x2 2 st.3x1 4 x2 12 x , x 0 1 2 max Z 5 x1 6 x2 2 x1 x2 2 st. 2 x1 3x2 2 x ,x 0 1 2
x6
是否基 可行解
Z
(x1,x2,x3)
(x1,x2,x4) (x1,x2,x5) (x1,x2,x6)
0
0 0 7/4
61/3
10 3 -4
-7/6
0 0 0
0
-7 0 0
0
0 7/2 0
0
0 0 21/4
否
否 是 否 3
(x1,x3,x4)
(x1,x3,x5) (x1,x3,x6) (x1,x4,x5) (x1,x4,x6) (x1,x5,x6) (x2,x3,x6) (x2,x4,x6) (x2,x5,x6) (x3,x4,x6)
m ax Z 3 x1 2 x 2 2 x1 x 2 2 ( 2) st . 3 x1 4 x 2 12 x , x 0 1 2 该问题无可行解
2
( 3)
m axZ x1 x 2 6 x1 10x 2 120 st . 5 x1 10 5 x2 8
min Z 2 x1 2 x2 3 x3 x1 x2 x3 4 st 2 x1 x2 x3 6 x 0, x 0, x 无约束 2 3 1
4
(1)
(2)
min Z 3x1 4 x2 2 x3 5 x4 4 x1 x2 2 x3 x4 2 x x x 2 x 14 (1) 4 st 1 2 3 . 2 x1 3x2 x3 x4 2 x1 , x2 , x3 0, x4无约束
26
见下表。
m axZ 4 x1 x 2 3 x1 x 2 3 4 x 3 x x 6 ( 3) 1 2 3 st x1 2 x 2 x 4 4 , j 1, ,4） x j 0（
31
方法一：大M法 引入人工变量x6和x7,线性规划问题变为：
目标函数最优值的上界为：21
18
解：下界对应的模型如下（ c,b取小，a取大）
m axZ x1 4 x 2 3 x1 5 x 2 8 st .5 x1 6 x 2 10 x ,x 0 1 2
目标函数最优值（下界）为：6.4
19
l.7 分别用单纯形法中的大M法和两阶 段法求解下列线性规划问题，并指出属哪—类 解。
5
x2
0
x3
0
x4
CB
xB
x3
0 0 0 10 5
9 8 21/5 8/5 3/2
3 [5] 10 0 1 0 0
4 2 5 [14/5] 2/5 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 -3/5 1/5 -2
0点
x4
cj zj
x3
x1
cj zj
x2
A1点
5/14 -3/14
10
x1
1
1
0
0
x1 x2 11/2 0 x3 0 11/5 x4 0 0 是否基 可行解 否 是 43/5 Z
(x1,x2) (x1,x3)
-4 2/5
(x1,x4)
(x2,x3) (x2,x4) (x3,x4)
-1/3
0 0 0
0
1/2 -1/2 0
0
2 0 1
11/6
0 2 1
否
是 否 是 5 5
所有基可行解中最优解为X=(0,1/2,2,0)T和X=(0,0,1,1)T
10
1.4 分别用图解法和单纯形法求解下述 线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基 可行解对应图解法中可行域的哪一顶点。
max Z 10x1 5 x2 3x1 4 x2 9 st.5 x1 2 x2 8 x ,x 0 1 2
(1)
11
cj
10
b
x1
5
(2)
min Z 2 x1 2 x2 3x3 x1 x2 x3 4 st 2 x1 x2 x3 6 x 0, x 0, x 无约束 2 3 1
解：令 W Z , x11 x1 , x 31 x 32 x 3 同时引入松弛变量 x4， 则 标 准 形 式 为 ：
1
(3)
max Z x1 x2 6 x1 10x2 120 st . 5 x1 10 5 x 8 2
(4)
m i nZ 2 x1 3 x 2 4 x1 6 x 2 6 (1) st . 3 x1 2 x 2 4 x ,x 0 1 2 无穷多最优解 (蓝 色 线 段 上 的 点 都 是 优 最解 ） x1 6 1 , x2 , 是 其 中 一 个 最 优 解 5 5
0
0 0 1 0
0
1/3 -4/3 -1/3
-7M/3+4/3
-4 -M 0
x1
0
1 0 0
x6
x4
cj zj
cj
m axW 2 x11 2 x2 3 x31 3 x32 x11 x2 x31 x32 4 st 2 x11 x2 x31 x32 x4 6 x11 , x2 , x31 , x32 , x4 0
6
1.3 对下述线性规划问题找出所有基解， 指出哪些是基可行解，并确定最优解。
2)c=0
3)c>0
d<0 d=0 d>0
0
c 3 d 4
A1点 A1点 A3点
A2A3线段
3 c 5 4 d 2
c 5 d 2 c 5 d 2
c 3 d 4
A2点
A1A2线段 A1点
l.6 考虑下述线性规划问题：
max Z c1 x1 c2 x2 a11 x1 a12 x2 b1 st .a21 x1 a22 x2 b2 x1 , x2 0