大学数学(高数微积分)专题六第1讲(课堂讲解)

热点分类突破
∴骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是 360＋210＋20＝590.
“好数”共有________个．
热点分类突破
解析 (1)首先安排A有2种方法；
第二步在剩余的5个位置选取相邻的两个排B，C，有4种排
法，而B，C位置互换有2种方法；
本 讲
第三步安排剩余的3个程序，有A
3 3
种排法，共有2×4×2×A
3 3
栏 目
＝96种．
开 关
(2)当相同的数字不是1时，有C31个；
当中间数为3时，有2×3＝6种；
本 当中间数为4时，有3×4＝12种；
讲 栏
当中间数为5时，有4×5＝20种；
目 开
当中间数为6时，有5×6＝30种；
关 当中间数为7时，有6×7＝42种；
当中间数为8时，有7×8＝56种；
当中间数为9时，有8×9＝72种．
故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240种．
答案 (1)B
(2)A
热点分类突破
(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理
时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计
本 讲
数原理．
栏 目
(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图
开 关
或表格，使问题形象化、直观化．
热点分类突破
(1)在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施 6
一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元
素的一个排列．从n个不同元素中取出m个元素的排列数
本 讲 栏 目
公式是Amn ＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)或写成Amn ＝ n！
n－m！.
开 (2)组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一
关
组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n
主干知识梳理
n
②最大值：当n为偶数时，中间的一项的二项式系数
C
2 n
取得
n 1
最大值；当n为奇数时，中间的两项的二项式系数Cn2 ，
n 1
本 讲
Cn2 相等，且同时取得最大值．
栏ห้องสมุดไป่ตู้
目 ③各二项式系数的和
开
关 a．C0n＋C1n＋C2n＋…＋Ckn＋…＋Cnn＝2n；
b．Cn0＋C2n＋…＋C2nr＋…＝C1n＋Cn3＋…＋C2nr＋1＋… ＝12·2n＝2n－1.
主干知识梳理
1．分类加法计数原理和分步乘法计数原理
如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计
本
讲 数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定
栏 目
的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数
开 关
相乘．
主干知识梳理
2．排列与组合
(1)排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照
数为
()
A．240
B．204
C．729
D．920
热点分类突破
本题主要考查分类加法计数原理与分步乘法计数原
本 讲
理的简单应用，解题的关键是合理分类，正确分步．
栏
目
开
关
热点分类突破
解析 (1)无重复的三位数有：A39＋A21A29＝648个． 则有重复数字的三位数有：900－648＝252个．
(2)分8类，当中间数为2时，有1×2＝2种；
热点分类突破
考点一 两个计数原理
例1 (1)(2013·山东)用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复
本 讲
数字的三位数的个数为
()
栏 目
A．243
B．252
C．261
D．279
开 关
(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1<a2且a3<a2，则称
这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个
本 作答)
讲 栏
(2)(2013·浙江)将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，
目 开
且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有________种．(用
关 数字作答)
解析
(1)分三类：①选1名骨科医生，则有C
1 3
(C
1 4
C
3 5
＋C
2 4
C
2 5
＋C34C15)＝360(种)．
②选2名骨科医生，则有C23(C14C25＋C24C15)＝210(种)； ③选3名骨科医生，则有C33C14C15＝20(种)．
当相同的数字是1时，共有C13C13个，
由分类加法计数原理知共有“好数”C13＋C13C13＝12个．
答案 (1)C (2)12
热点分类突破
考点二 排列与组合
例2 (1)(2013·重庆)从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中
选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内
科医生都至少有1人的选派方法种数是________．(用数字
个不同元素中取出m个元素的组合数公式是 Cmn ＝nn－1n－m2！…n－m＋1 或写成Cmn ＝m！nn！ －m！.
主干知识梳理
(3)组合数的性质
①Cmn ＝Cnn－m；
②Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1.
3．二项式定理
本 讲
(1)定理：(a＋b)n＝C0nanb0＋C1nan－1b＋C2nan－2b2＋…＋
系数问题．主要考查分类与整合思想、转化与化归思想、
补集思想和逻辑思维能力.
2．排列、组合、两个计数原理往往通过实际问题进行综合考
查，一般以选择题、填空题形式出现，难度中等，还经常
本 讲
与概率问题相结合，出现在解答题的第一或第二个小题
栏 目
中，难度也为中等；对于二项式定理的考查，主要出现在
开 关
选择题或填空题中，难度为易或中等．
本 讲 栏 目 开 关
第1讲 排列与组合、二项式定理
【高考考情解读】
1．高考中对两个计数原理、排列、组合的考查以基本概念、
本 讲
基本方法(如“在”“不在”问题、相邻问题、相间问题)
栏 目
为主，主要涉及数字问题、样品问题、几何问题、涂色问
开 关
题、选取问题等；对二项式定理的考查，主要是利用通项
求展开式的特定项，利用二项式定理展开式的性质求有关
个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步，程序 B
本 和 C 实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有 ( )
讲
栏 A．24 种
B．48 种
C．96 种
D．144 种
目
开 (2)如果把个位数是 1，且恰有 3 个数字相同的四位数叫作“好
关 数”，那么在由 1,2,3,4 四个数字组成的重复数字的四位数中，
栏 目
Crnan－rbr＋…＋Cnna0bn(r＝0,1,2，…，n)．
开 关
(2)二项展开式的通项
Tr＋1＝Crnan－rbr，r＝0,1,2，…，n，其中Crn叫做二项式系数．
(3)二项式系数的性质
①对称性：与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等，
即Cn0＝Cnn，Cn1＝Cnn－1，…，Ckn＝Cnn－k，….