高中数学论 图形计算器 用CASIO—fxCG20探求函数零点的个数

辽宁省沈阳市第十五中学2013年高中数学论文 图形计算器应用能力测试
活动学生 用CASIO —fxCG20探求函数零点的个数
【原问题】 已知[]1,0,21)(∈-=x x x f ，那么函数)))(((x f f f y =零点的个数是_______
解法一：用零点分段法手工求解。

函数)))(((x f f f y =零点的个数即方程0212121=---x 解的个数。

对于该绝对值方程，采用零点分段法去绝对值，可以求得共有四个解：8
7,85,83,81，故函数的零点个数为4。

解法二：用CASIO fx -CG 20图形计算器的“解方程（组）”模块求解。

图1 图2 图3 图4
将求解范围分别锁定在区间[]25.0,0、[]5.0,25.0、[]75.0,5.0和[]1,75.0上，即可以具体求出该方程的四个解，见图1—4，即函数的零点个数为4。

不过该方法需要事先锁定方程的根所在的区间，容易漏根。

解法三：用CASIO fx -CG 20图形计算器的“图形”模块求解。

图5 图6 输入函数x y 212121---=，绘制函数图像，见图5和图6，观察发现在区间[]1,0的零点个数共4个。

【原问题的推广】 已知[]1,0,21)(∈-=x x x f ，记)),(()(),()(121x f f x f x f x f ==)),(()(23x f f x f =
…))(()(,1x f f x f n n =+，*∈N n ，探求函数)(x f y n =在[]1,0上的零点个数。

分析：
原问题相当于：当3=n 时，求函数)(x f y n =在[]1,0上的零点个数。

现在将原问题推广到一般。

于是我们先从3,2,1=n 开始，寻找结论是否可能存在一些规律。

对于3,2,1=n ，手工计算工作量还不算很大，但是从4=n 开始，如果采用零点分段法，通过手工计算寻找零点就非常繁琐了。

于是借助于CASIO fx -CG 20图形计算器的“图形”模块，利用函数的迭代，见图7，就可以非常轻松、直观地得到当⋅⋅⋅=6,5,4n 时，函数)(x f y n =图像与x 轴在[]1,0上的交点个数，即函数)(x f y n =在[]1,0上的零点个数。

当3=n 时，见图8，可得函数)(3x f y =在[]1,0上零点的个数为4；
当4=n 时，见图9，可得函数)(4x f y =在[]1,0上零点的个数为8……
图7 图8 图9
归纳：
当1=n 时，函数)(1x f y =在[]1,0上零点的个数为02；
当2=n 时，函数)(2x f y =在[]1,0上零点的个数为12；
当3=n 时，函数)(3x f y =在[]1,0上零点的个数为22；
当4=n 时，函数)(4x f y =在[]1,0上零点的个数为3
2…… 猜测： 若[]1,0,21)(∈-=x x x f ，记)),(()(),()(121x f f x f x f x f ==)),(()(23x f f x f =
…))(()(,1x f f x f n n =+，*∈N n ，则函数)(x f y n =在[]1,0上零点的个数为12-n 。

论证：
因为这是一个与自然数n 有关的命题，所以自然想到用数学归纳法来证明。

1当1=n 时，结论显然成立。

2假设当k n =时，结论成立，即函数)(x f y k =在[]1,0上零点的个数为12-k 。

事实是这12-k 个零点在开区间)1,0(上。

（说明：1)0(,,1)1())0(()0(,1)1())0(()0(,1)0(232=⋅⋅⋅=======k f f f f f f f f f f ，即
0不是函数)(x f y k =的零点；同样可得1也不是函数)(x f y k =的零点。

故在假设中的12-k 个零
点在开区间)1,0(上。

此处可用数学归纳法证明。

）
当1+=k n 时，研究方程0)(1=+x f k 根的个数。

将方程0)(1=+x f k 写成0))((=x f f k 。

令)(x f t =，则0)(=t f k 。

由假设可知，方程0)(=t f k 有12-k 个根，设它们是在区间)1,0(上的12
21,,,-⋅⋅⋅k t t t ，亦可写成)1,0(∈i t ，
12,,2,1-⋅⋅⋅=k i 。

对于形如)1,0(),(∈=i i t x f t 的12-k 个方程中的每一个方程都有两个不等的根（用“动态图” 模块，见图10—12），于是这12-k 个方程共有两两不等的k 2个根。

图10 图11 图12
故方程0)(1=+x f k 即0))((=x f f k 共有k 2个两两不等的根，即函数)(1x f y k +=的零点个数为k 2。

即当1+=k n 时，结论亦成立。

由 1 2得证。

【进一步的变式】 已知[]1,0,21)(∈-=x x x f ，记)),(()(),()(121x f f x f x f x f ==)),(()(23x f f x f =
…))(()(,1x f f x f n n =+，*∈N n ，探求方程x x f n 2
1)(=在[]1,0上有几个根？ 解析：
对于2,1=n ，采用零点分段法，手工计算工作量还不算很大。

但是从3=n 开始，如果采用零点分段法手工计算就开始繁琐了。

于是借助于CASIO fx -CG 20图形计算器的“图形”模块，仍然利用函数的迭代，就可以非常轻松、直观地得到当⋅⋅⋅=6,5,4,3n 时，函数)(x f y n =与x y 21=图像的交点个数，即方程x x f n 2
1)(=在[]1,0上根的个数。