运筹学动态规划习题
运筹学习题解答(chap8 动态规划)
第八章 动态规划一、用逆序法求解下列问题1、P237, 8.1 有600万元资金用于三个工厂的更新改造，投资数以百万元为单位取整数，已知工厂II 的投资不超过300万元，工厂I 和III 的投资均不少于100万元，又不超过400万元，已知各工厂投资更新改造后，每年可增加的效益如下表，试用动态规划方法确定投资分配方案，使预期效益为最大。
(单位：万元)解：该问题可分为3个阶段，分别为分配资金给Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个厂。
设k 为阶段变量，第k 个阶段给第k 个厂分配设备；k S 是第k 个阶段的状态变量，表示可分配给第k 个厂到第3个厂的设备数；k x 是第k 个阶段的决策变量，表示分配给第k 个厂的设备数；状态转移方程：k k k x S S -=+1，并且41=S 。
指标函数：)](),([max )(11+++=k k k k k x k k S f x s r S f k0)(44=S f下面按照逆序解法求解。
第三阶段：500400,300,200,1003，=S 万，33x S =, 第二阶段：500,400,300,2002=S 万。
223x S S -=第1阶段：6001=S 万。
112x S S -=按照与计算相反的顺序可推知有一个最优解：3001=*X ，2002=*X ，1003=*X ，最大利润为25万。
2、P237, 8.2 如图，要铺设一条从A 到E 的输油管线，箭线旁数字为各点间相应距离（km ）一个运筹学小组正研究讨论线路选择，使得总距离为最短。
甲提出用求最短距离的Dijkstra 算法求解；乙认为这个问题也可用动态规划方法求解，但丙丁认为从A 到E 经B1、D1的线路，与经B2、C1、D2的线路阶段数不等，故动态规划行不通；丙提出建立整数规划模型求解，甲乙对此持怀疑的态度；丁设想用破圈法或避圈法找出图中最小部分树，树图中A-E 的唯一链即为A 至E 铺设管道的最佳选择，对此甲和乙不同意。
运筹学习题及答案1[宝典]
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一、用动态规划方法求解下列问题某公司有资金400万元，向A，B，C三个项目追加投资，三个项目可以有不同的投资额度，相应的效益值如下表所示，问如何分配资金，才使总效益值最大？二、推导确定型存贮问题中“不允许缺货，补充需要一定时间”的数学模型。
其中包括：假设条件、库存状态变化分析图、存贮费用分析、最佳经济批量、最小存贮费用三、作图题，请写明步骤1、用避圈法找出下图的最小支撑树，并绘出最小支撑数图2、求出图中从V1~V6的最短路线；四、绘制网络图，计算时间参数，找出关键线路，若资源限量为10人/天，试用资源安排方法求出“资源有限，工期最短”的网络计划。
答案一、用动态规划方法求解下列问题1、解：1、阶段划分：按项目划分为三个阶段；2、状态变量k y ；3、决策变量k x ；4、状态转移方程：k k k x y y -=+15、阶段收益k v —查表6、指标函数：)](max[)(11+++=k k k k k y f v y f7、边界条件：04=fK=3时K=2时K=1时回溯过程：41=y 31=x 12=y 02=x 13=y 13=x万190)(11=y f二、推导确定型存贮问题中“不允许缺货，补充需要一定时间”的数学模型。
其中包括：假设条件、库存状态变化分析图、存贮费用分析、最佳经济批量、最小存贮费用(一)、假设条件：1、补充需要一定的时间；生产（供货）时间T ；速度为P ；2、生产（订购）产量：Q=P ·T3、C 1、C 3为常数，C 2=0，若缺货C 2 ∞004、需求速度：R 是一连续而均衡的常数，R ＜P ；5、补充周期t ：P tR T T P t R Q ⋅=⇒⋅=⋅= PRt T tR T P TR t R T R T P T t R T R P T t R S T R P S =⋅=⋅⋅-⋅=⋅-⋅-⋅=⋅-∴-=⋅-=)()()(;)( (二)、存贮状态变化图（边生产边向外输出）0[0，T] P －R ＞0[T ，t] S —最大库存量，S ＜Q （以一个周期内单位库存费用最小为目标）在T 区间内，库存量以P －R 的速率在增加，在t －T 区间内，库存量以R 的速率在减少，因而在T 时间内以(P －R)的速度供应产品应等于在t －T 时间内以R 的速度的需求消耗。
运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案一、单选题1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）B A.任意网络B.无回路有向网络C.混合网络D.容量网络2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）B A.非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理C.引入虚拟产地或者销地D.引入人工变量3.静态问题的动态处理最常用的方法是？B A.非线性问题的线性化技巧B.人为的引入时段C.引入虚拟产地或者销地D.网络建模4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）D A.状态变量的选取B.决策变量的选取C.有虚拟产地或者销地D.目标函数取乘积形式5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。
C A.降低的B .不增不减的C .增加的D .难以估计的6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上C A.最远B.较远C.最近D.较近7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。
D A.结点不占用时间也不消耗资源B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始C.箭线代表活动D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。
C A.1200 B.1400 C.1300 D.1700 9.在求最短路线问题中，在求最短路线问题中，已知起点到已知起点到A ，B ，C 三相邻结点的距离分别为15km ，20km,25km ，则（）。
D A.最短路线—定通过A 点B.最短路线一定通过B 点C.最短路线一定通过C 点D.不能判断最短路线通过哪一点10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )A A.存在一个圈B.存在两个圈C .存在三个圈D .不含圈11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。
C A.大于B.小于C.等于D.不一定等于600 700 300 500 400 锅炉房12 312.在计算最大流量时，我们选中的每一条路线( )。
(完整版)运筹学》习题答案运筹学答案
《运筹学》习题答案一、单选题1.用动态规划求解工程线路问题时，什么样的网络问题可以转化为定步数问题求解（）BA.任意网络B.无回路有向网络C.混合网络D.容量网络2.通过什么方法或者技巧可以把工程线路问题转化为动态规划问题？（）BA.非线性问题的线性化技巧B.静态问题的动态处理C.引入虚拟产地或者销地D.引入人工变量3.静态问题的动态处理最常用的方法是？BA.非线性问题的线性化技巧B.人为的引入时段C.引入虚拟产地或者销地D.网络建模4.串联系统可靠性问题动态规划模型的特点是（）DA.状态变量的选取B.决策变量的选取C.有虚拟产地或者销地D.目标函数取乘积形式5.在网络计划技术中，进行时间与成本优化时，一般地说，随着施工周期的缩短，直接费用是( )。
CA.降低的B.不增不减的C.增加的D.难以估计的6.最小枝权树算法是从已接接点出发，把( )的接点连接上CA.最远B.较远C.最近D.较近7.在箭线式网络固中，( )的说法是错误的。
DA.结点不占用时间也不消耗资源B.结点表示前接活动的完成和后续活动的开始C.箭线代表活动D.结点的最早出现时间和最迟出现时间是同一个时间8.如图所示，在锅炉房与各车间之间铺设暖气管最小的管道总长度是( )。
CA.1200B.1400C.1300D.17009.在求最短路线问题中，已知起点到A，B，C三相邻结点的距离分别为15km，20km,25km，则（）。
DA.最短路线—定通过A点B.最短路线一定通过B点C.最短路线一定通过C点D.不能判断最短路线通过哪一点10.在一棵树中，如果在某两点间加上条边，则图一定( )AA.存在一个圈B.存在两个圈C.存在三个圈D.不含圈11.网络图关键线路的长度( )工程完工期。
CA.大于B.小于C.等于D.不一定等于12.在计算最大流量时，我们选中的每一条路线( )。
CA.一定是一条最短的路线B.一定不是一条最短的路线C.是使某一条支线流量饱和的路线D.是任一条支路流量都不饱和的路线13.从甲市到乙市之间有—公路网络，为了尽快从甲市驱车赶到乙市，应借用（）CA.树的逐步生成法B.求最小技校树法C.求最短路线法D.求最大流量法14.为了在各住宅之间安装一个供水管道．若要求用材料最省，则应使用( )。
动态规划 运筹学 例题
动态规划运筹学例题动态规划是运筹学中常用的一种优化技术，它利用规划、三角函数和其他数学技术来解决日常生活中的各种问题，比如最优路线问题、最优资源分配问题、最优出行路线问题等。
本文将通过一个例题，来介绍动态规划的基本思想，以及如何利用动态规划来解决问题。
例题一：已知一条路线，由A点到B点，有N个途经的节点，每个节点之间的距离已知。
求从A到B的最短路线。
按照动态规划的思想，首先将该问题分解为若干个子问题，并根据子问题的解来解决原问题，这种分解和解决问题的方式称为动态规划。
对于上面的问题，可以将其分解为N个子问题，分别是从A到第1个节点、从第1个节点到第2个节点、从第2个节点到第3个节点，以此类推，最后一个子问题是从第N-1个节点到B点的最短路程。
将上面的N个子问题中，从第i个节点到B点的最短路程记为d[i]，由于从第i个节点到B点可能经过i+1、i+2、……、N-1节点，因此要找到d[i]，只需要找到经过i+1、i+2、……、N-1节点的最短路程即可，即求d[i]=Min{d[i+1]+length[i][i+1],d[i+2]+length[i][i+2],…,d[N-1]+length[i][N-1]}，其中length[i][j]是第i个节点到第j个节点的距离。
以上就是动态规划的解题步骤，它能将原问题分解成若干个子问题，并找到最优解。
对于本例来说，通过上述步骤，就可以得到从A 到B的最短路程。
这种分解和求解问题的方法是动态规划，可以用来解决许多类似的问题，如：1）最优路线问题；2）旅行推销员问题；3）硬币找零问题。
动态规划的一大特点是，他能很好地将问题分解为多个子问题，并能从子问题的解中求解出最优解。
总之，动态规划是一种很有用的优化技术，它可以有效解决各种运筹学问题。
它不仅可以帮助我们解决许多具体问题，而且还能使我们更好地理解问题及其解法。
运筹学教材编写组《运筹学》课后习题-动态规划的基本方法(圣才出品)
（1） A → B2 →C1 → D1 → E ；（2） A → B3 →C1 → D1 → E ； （3） A → B3 →C2 → D2 → E 。
8.3 计算从 A 到 B、C 和 D 的最短路线。已知各段路线的长度如图 8-2 所示。
图 8-2
解：设阶段变量 k = 1, 2,3, 4 ,依次表示 4 个阶段选择路线的过程；状态变量 sk 表示第 k 阶段初所处的位置；决策变量 xk 表示第 k 阶段初可能选择的路线；最优值函数 fk (sk ) 表示 从起点 A 到第 k 阶段状态 sk 的最短距离，则有
xn =sn
n
xn
，或 fn+1(sn+1) = 0
n
（2）设状态变量为 sk = ai xi (k = 1, 2, n) ，状态转移方程为 sk+1 = sk − ak xk ，最 i=k
n
优值函数 fk (sk ) 表示在 sk 状态下从第 k 阶段到第 n 阶段使 z = ci xi2 最小的值，则动态规 i=k
划的基本方程为：
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fk (sk )
=
min
0xk sk ak
{ck
xk2
+
f k +1 (sk
− ak xk )}
fn+1(sn − anxn ) = 0(k = n, n −1, 2,1)
8.5 用递推方法求解下列问题。
=
max {2
0x3 10
x32
+
f2 (s2 )} =
max {2
0x3 10
运筹学笔记和课后习题(含考研真题)详解_部分10
解：按月份将问题分为四个阶段，阶段变量，设状态变量为第k 月末的工人数，决策变量表示第k 月招聘或解聘的工人数（招聘为正，解聘为负），允许决策集合为，表示第k 个月所需的工人数，状态转移方程为。
为第1个月至第k 个月的最小总花费。
动态规划的基本方程为：3．某公司有资金4百万元，可向A 、B 、C 三个分公司增加投资，已知各分公司增加不同数量资金后增加的相应效益如表9-2所示，问如何分配资金可使公司总效益最大？（提示：用动态规划方法）（北京交通大学2009年研）表9-2解：将问题按分公司分为三个阶段，将A 、B 、C 三个分公司分别编号1、2、3。
设为分配给第k 个分公司至第3个分公司的投资。
为分配给第k 个分公司的投资。
表示分配给第k 个分公司的投资为后增加的效益。
表示为的投资分配给第k 个分公司至第3个分公司时所增加的最大效益。
可写出递推关系式：k=3时，，其数值计算如表9-3所示：表9-30 1 2 3 4 0 0 0 0 126 261240 40 2 358583 468 684当k=2时，，其数值计算如表9-4所示：表9-40 1 2 3 4 00 0 0 1 0+2622+026 0 2 0+40 22+2637+048 1 3 0+58 22+40 37+26 55+063 2 40+6822+5837+4055+2666+813当k=1时，，其数值计算如表9-5所示： 表9-50 1 2 3 4 40+81 21+63 35+48 50+26 60+841所以，得到最优解为：。
4．某公司有五台新设备，将有选择地分配给三个工厂，所得的收益如表9-6所示：表9-6表9-6中“—”表示不存在返样的方案。
请用动态规划求出收益最大的分配方案。
（北京理工大学2001年研） 解：将问题按工厂的个数分为3个阶段， 设表示为分配给第k 个工厂到第n 个工厂的新设备数目，表示为分配给第k 个工厂的新设备数目， 则为分配给第k+1个工厂至第n 个工厂的设备数目， 表示为个新设备分配给第k 个工厂所得的收益，表示为个设备分配给第k 个工厂到第n 个工厂时所得到的最大收益。
《运筹学》习题与答案
《运筹学》习题与答案（解答仅供参考）一、名词解释1. 线性规划：线性规划是运筹学的一个重要分支，它主要研究在一系列线性约束条件下，如何使某个线性目标函数达到最大值或最小值的问题。
2. 动态规划：动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，通过把原问题分解为相互联系的子问题来求解，对每一个子问题只解一次，并将其结果保存起来以备后续使用，避免了重复计算。
3. 整数规划：整数规划是在线性规划的基础上，要求决策变量取值为整数的一种优化模型，用于解决实际问题中决策变量只能取整数值的情形。
4. 马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程是一种随机环境下的决策模型，其中系统的状态转移具有无后效性（即下一状态的概率分布仅与当前状态有关），通过对每个状态采取不同的策略（行动）以最大化期望收益。
5. 最小费用流问题：最小费用流问题是指在网络流模型中，每条边都有一个容量限制和单位流量的成本，寻找满足所有节点流量平衡的同时使得总成本最小的流方案。
二、填空题1. 运筹学的主要研究对象是系统最优化问题，其核心在于寻求在各种（约束条件）下实现（目标函数）最优的方法。
2. 在运输问题中，供需平衡指的是每个（供应地）的供应量之和等于每个（需求地）的需求量之和。
3. 博弈论中的纳什均衡是指在一个博弈过程中，对于各个参与者来说，当其他所有人都不改变策略时，没有人有动机改变自己的策略，此时的策略组合构成了一个（纳什均衡）。
4. 在网络计划技术中，关键路径是指从开始节点到结束节点的所有路径中，具有最长（总工期）的路径。
5. 对于一个非负矩阵A，如果存在一个非负矩阵B，使得AB=BA=A，则称A为（幂等矩阵）。
三、单项选择题1. 下列哪项不是线性规划的标准形式所具备的特点？（D）A. 目标函数是线性的B. 约束条件是线性的C. 决策变量非负D. 变量系数可以为复数2. 当线性规划问题的一个基解满足所有非基变量的检验数都非正时，那么该基解（C）。
A. 不是可行解B. 是唯一最优解C. 是局部最优解D. 不一定是可行解3. 下列哪种情况适合用动态规划法求解？（B）A. 问题无重叠子问题B. 问题具有最优子结构C. 问题不能分解为多个独立子问题D. 子问题之间不存在关联性4. 在运输问题中，如果某条路线的运输量已经达到了其最大运输能力，我们称这条路线处于（A）状态。
128503-管理运筹学-习题-06-动态规划
习题6-1. 考虑下面的网络图，箭头上的数字代表相连两个节点之间的距离。
（1）用动态规划找出从节点1到节点10的最短路。
（2）从节点4到节点10的最短路呢？6-2. 从北京到上海的包机的剩余装载能力为2000kg ，某一运输公司现有4种货物需要从北京运输到上海。
每种货物的单位、单位重量和单位运输费用如下表所示。
（1）用动态规划找出包机应该运输的每种货物的单位数。
（2）假设包机同意装载另一批货物，剩余装载能力降为1800kg ，计算结果会怎样变化？6-3. 假定有一个3阶段的过程，每一阶段的产量是需要做出决策的函数。
使用数学符号，问题表述如下：Max ()()()332211d r d r d r ++ s.t.1000321≤++d d d 每个阶段的决策变量和相应的返回值如下所示：6-4. 某制造公司为一家汽车工厂提供发动机的部件，以下是3个月的生产计划的数据。
量是10单位，并且生产批量是10的倍数（例如，10,20或者30单位）。
6-5. 某物流公司雇佣了8名新员工，现决定如何把他们分配到4项作业上。
公司给出了以下每项作业分配不同的作业人员的估计利润表。
(1) 用动态规划决定每项作业应该分配的新员工数目。
(2) 如果公司只雇佣了6名新员工，应该把这些员工分配给哪些作业？6-6. 一个锯木厂采购了一批20ft 长的原木，想要把这些原木切成更短的原木，然后把切后的小原木卖给制造公司。
制造公司已经订购了一批4种尺寸的原木：l 1=3ft ，l 2=7ft ，l 3=11ft ，l 4=16ft 。
锯木厂现在有2000个长度为20ft 的原木的库存，并希望有选择地裁截原木以最大化利润。
假定锯木厂的订单是无限的，唯一的问题就是确定把现有原木裁成的类型以最大化利润。
原木的利润如下表所示：任何裁截类型的长度限制如下：201173321≤++d d d 其中，i d 是长度为i l 的类型的裁截数目，4,3,2,1=i .（1）为这个问题建立动态规划模型，并使用模型解决问题。
运筹学 动态规划-作业及答案
1
第五章 动态规划作业题及答案
1．用动态规划法求解求最短路径
从起点A 到终点E 之间各点的距离如图所示。
求A 到E 的最短路径。
B A
C B
D B C D E
C 21
23
12
31
2
5
11214
10610
41312113
96
5810
5
2
2．用动态规划法求解资源分配问题
有资金4万元，投资A 、B 、C 三个项目，每个项目的投资效益与投入该项目的资金有关。
三个项目A 、B 、C 的投资效益（万吨）和投入资金（万元）的关系见下表：
用动态规划法求解对三个项目的最优投资分配，使总投资效益最大。
3．用动态规划法求解生产库存问题
一个工厂生产某种产品，1～7月份生产成本和产品需求量的变化情况如下表：
为了调节生产生产和需求，工厂设有一个产品仓库，库容量H=9。
已知期初库存量为2，要求期末（七月低）库存量为0。
每个月生产的产品在月末入库，月初根据当月需求发货。
求七个月的生产量，能满足各月的需求，并使生产成本最低。
4．用动态规划法求解背包问题
第i 种每件价值c 1=65，c 2=85，c 3=40元; 第i 种物品每件重量为:w 1=2，w 2=3，w 3=1公斤;现有一只可装载重量为5公斤的背包，求各种物品应各取多少件放入背包，使背包中物品的价值最高。
运筹练习题及答案
运筹练习题及答案运筹学是应用数学的一个分支，它主要研究如何在有限资源下，通过合理规划和决策来达到最优效果。
以下是一些运筹练习题及答案，供学习者练习和参考。
练习题1：线性规划问题某工厂生产A和B两种产品，每种产品都需要使用机器和劳动力。
生产1单位A产品需要1小时机器时间和2小时劳动力，生产1单位B产品需要2小时机器时间和1小时劳动力。
工厂每天有10小时机器时间和15小时劳动力。
如果A产品的利润是3元，B产品的利润是5元，问如何安排生产计划以使总利润最大化？答案：设生产A产品的数量为x，B产品的数量为y。
目标函数：最大化利润 Z = 3x + 5y约束条件：1. 机器时间：x + 2y ≤ 102. 劳动力时间：2x + y ≤ 153. 非负性：x ≥ 0, y ≥ 0通过图解法或单纯形法，我们可以得到最优解为x = 4, y = 3，此时最大利润为34元。
练习题2：整数规划问题一家公司需要安排10名员工在5个不同的部门工作。
每个部门至少需要1名员工，且每个员工只能在一个部门工作。
部门A需要至少3名员工，部门B需要至少2名员工，部门C需要1名员工，部门D和E 各需要至少1名员工。
问如何分配员工以满足所有部门的需求？答案：设部门A、B、C、D、E分别分配的员工数为x1, x2, x3, x4, x5。
目标函数：满足所有部门需求，无直接利润最大化。
约束条件：1. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 102. x1 ≥ 33. x2 ≥ 24. x3 = 15. x4 = 16. x5 = 1通过枚举法或整数规划算法，我们可以得到一种分配方案为：部门A 分配3人，B分配2人，C、D、E各分配1人。
练习题3：网络流问题某公司有3个仓库和4个销售点，每个销售点每天对产品的需求量已知。
公司需要决定如何从仓库向销售点分配产品，以满足所有销售点的需求，同时使总运输成本最小。
答案：设仓库i向销售点j的运输量为x_ij，运输成本为c_ij。
运筹学动态规划习题
一、某工厂购进100台机器，准备生产A、B 两种产品。如生产产品A，每台机器每年可 收入45万元，损坏率为65%；若生产产品B， 每台机器每年可收入35万元，损坏率为 35%；估计三年后有新机器出现，旧的机 器将全部淘汰。试问每年应然后安排生产， 使在三年内收入最多？
答案： 第一年将100台机器全部生产产品B，第二年 将余下的机器生产产品B，第三年把所有的 机器生产产品A。三年的总收入为7676.25 万元。
二、某厂有100台机床，能够加工两种零件， 要安排4个月的任务，根据以往经验，用这 些机床加工第一种零件，一个月后损坏率 为1/3；加工第二种零件时，一个月后损坏 率为1/10。又已知机床加工第一种零件时一 个月的受益为10万元，机床加工第二种零 件时一个月的受益为7万元。现安排4个月 的任务，使总收益为最大。
பைடு நூலகம்
• 答案： • 设每个月为一个阶段，共4个阶段。每个阶 段可投入生产的机床数为状态变量SK，加 工第一种零件的机床数为决策变量UK，加 工第二种零件的机床数为SK-UK，阶段指标 函数为DK=7SK+3UK，SK+1=9/10SK-7/30UK。 用逆序的递推方法求解：前两月全部加工 第二种零件，后两月全部加工第一种零件。 其最大收益为2680
• 首先建立动态规划的模型 • 划分成3个阶段，每个阶段决策一个项目 的投资额，每个阶段决策的投资时可以使 用的资金作为状态变量，利润为阶段的指 标函数。 • 利用基本递推方程从第3阶段开始求解 • 给企业的投资额为 95万元 在城市购买房 地产的投资额为 105万元 • 最大利润为 681万元
三、某公司有资金200万元，打算全部参与三 个方面的投资。（1）参与一个企业投资， 当投资额为X1（万元）时，可得利润为 J1=4X1-2（万元）；（2）参与一个电视片 制作，当投资额为X2（万元）时，可得利 润为J2=1/16X2-1/5X2-2（万元）；（3）在 城市购买房地产，当投资额为X3（万元） 时，可得利润为J3=3X3-10（万元）。又知 投资额的上限为X1≤95万元；X2≤50万元。 用动态规划法决策使总利润最大？
运筹学第七章动态规划
习题七7.1 计算如图所示的从 A 到 E 的最短路线及其长度（单位：km ）：（ 1） 用逆推解法； 2 用标号法。
3 B 14D 1423C 13A2115D 21EB 2335 C 24 2 351 B 3 3D 37.2 用动态规划方法求解下列问题（ 1） max z ＝x 12 x 2x 33 x 1＋x 2＋x 3 ≤6 x j ≥0 （j ＝1,2,3）（ 2）min z ＝ 3x 12＋4x 22 ＋ x 32x x x91 2 3 ≥x j ≥ 0（j ＝1,2,3）7.3 利用动态规划方法证明平均值不等式：(x 1x 2x n )1x n ) n设i ≥， ＝ ， ，⋯，n 。
n(x 1 x 2x0i127.4 考虑一个有 m 个产地和 n 个销地的运输问题。
设a i （i ＝1，2，⋯， m ）为 产地 i 可发运的物资数，b j （j ＝1，2，⋯， n ）为销地 j 所需要的物资数。
又从产地i 到销地 j 发运 x ij 单位物资所需的费用为h ij （ x ij ），试将此问题建立动态规划的模型。
7.5 某公司在今后三年的每一年的开头将资金投入A 或B 项工程， 年末的回收及其概率如下表所示。
每年至多做一项投资，每次只能投入 1000 万元。
求出三年后所拥有的期望金额达到最大的投资方案。
投 资回 收概 率 A 00.42000 0.6 B1000 0.920000.17.6 某公司有三个工厂，它们都可以考虑改造扩建。
每个工厂都有若干种方案可供选择，各种方案的投资及所能取得的收益如下表所示 (单位：千万元 )。
现公司有资 金 5 千万元，问应如何分配投资使公司的总收益最大?m ij工厂 i ＝ l工厂 i ＝2 工厂 i ＝ 3c(投资 )R(收益 )c(投资 )R(收益 )c(投资 )R(收益 )1 0 0 0 0 0 0 215281332639——4——412——7.7某厂准备连续 3 个月生产 A 种产品，每月初开始生产。
1003运筹学复习题动态规划部分
动态规划一、填空题1．一个过程的最优策略具有这样的性质，无论其初始状态及其初始决策如何，其以后诸决策对以第一个决策所形成的状态作为初始状态而言，必须构成（ ）。
2．下列规划问题⎪⎩⎪⎨⎧=≥>==∑∑==),,1(,0)0(,.)(max 11n i x b b x t s x g z ini ini i i 的动态规划的基本方程为（ ）3．动态规划研究的是（ ）问题。
4．多阶段决策问题是指（ ）一类活动过程。
5．旅行售货员问题的动态规划问题模型是（ ）。
6．多阶段资源分配问题其递推公式是（ ）。
二、简答题1． 简述动态规划方法的基本思想。
2． 简要说出给一个实际问题建立动态规划模型要做到的几点。
3． 简要阐述动态规划和静态规划的关系。
4． 最短线路问题我们可将所在位置即顶点v 表示状态，请说出旅行售货员问题中为什么不能这样做？ 5．对于多阶段资源分配问题，当)(),(y h y g 是很复杂函数时，其解不容易找，请简要说明为什么当)(),(y h y g 为凸函数，且0)0()0(==h g 时我们能求其解。
6．简要阐述策略空间迭代法的基本思想。
三、计算题 1．设某台机床每天可用工时5小时，生产每单位产品A 或B 都需要1小时，其成本分别为4元和3元。
已知各种单位产品的售价与该产品的产量具有如下线性关系:产品A 1112x P -=产品B 22213x P -=其中x 1 ,x 2分别为产品AB 的产量.问如果要求机床每天必须工作5小时,产品A 或B 各应生产多少,才能使总的利润最大?2．有一石油输送管道网络图如下： 75设A 地为出发地，E 为目的地，B 、C 、D 分别为三个必须建立油泵加压站的地区，其中的B 1 、B 2 、B 3 、C 1 、C 2、C 3、D 1 、D 2分别为可供选择的各站站位。
图中的线段表示管道可铺设的位置，线段旁的数字表示铺设管线所需的费用。
问如何铺设才能使总费用最省？3．有一部货车每天沿着公路的四个零售店卸下6箱货物，如果各零售店因出售该货物所得的利润如下表所示，试求在各零售店各卸下几箱，能使获得总利润最大？其值是多少？4．用动态规划解下列问题⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤++=为非负整数21212121,152582.78max x x x x x x t s x x z5．某单位有资源单位100，拟分4个周期使用，在每个周期有生产任务A ，B ，把资源用于A 生产任务，每单位能获利10元，资源回收率为2/3，资源用于B 生产任务，每单位能获利7元，资源回收率为9/10，问每个周期应如何分配资源，使总收益最大？。
运筹学例题
DP1. 下列关于动态规划问题的说法不正确的是（ ）。
A ．应用推理或逆推法可能会得出不同的最优解 B ．状态变量应具有无后效性C ．动态规划模型中，阶段是按时间或空间划分的D ．问题的阶段数等于问题中的子问题的数目2. 用动态规划方法求解多阶段问题时，指标函数应满足（ ）。
A ．定义在全过程和后部子过程上的数量函数 B ．具有可分离性，满足递推关系 C ．严格单调D ．以上A 、B 、C 都是3. 下述的（ ）不能设为动态规划中的状态变量。
A ．生产企业某种产品的每月月初库存 B ．某种设备每年年末的可利用量 C ．送货车辆行驶过的路程 D ．送货车辆行驶时的速度4. 某求极大值的线性规划问题的单纯形表如下：其中d 、1a 、1c 为待定常数。
该线性规划问题无界的时候，满足下面（ ）。
A ．110,00d c a ≥<<且 B ．110,00d c a ≥=>且 C ．110,00d c a ≥><且 D ．110,00d c a <>>且一、某投资者有总数为40万元的固定资金，他可在三个不同的投资机会中投资（比如，股票、银行、土地），投资额分别为(1,2,3)i x i =。
假定他做过预测，知道从每项投资中可获得效益分别为111()g x x =，2222()g x x =，333()g x x =，问如何分配投资数额才能使从所有投资中获得的总效益最大？ 二、某公司现有资金5千万元，拟对3个分公司增加投资，已知投资所获年效益如下表所示，问公司如何应对分配资金，才能使公司总的年收益最大？（用动态规划方法求解）三、某农业种植基地有某种肥料共5单位，准备供给三块农田施用，每块农田至少需要一个单位的肥料，肥料必须按整数单位施用。
每块农田施肥数量与增产数量关系如下表所示。
试求对每块田施多少单位的肥料，才使总的增产量最多。
要求：用动态规划方法求解，有必要的求解过程。
运筹学：动态规划、图与网络优化习题与答案
一、判断题1.动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。
（）正确答案：×2.对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
（）正确答案：×3.在用动态规划解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。
（）正确答案：√4.动态规划计算中的“维数障碍”主要是由问题中阶段数的急剧增加而引起的。
（）正确答案：×二、选择题1.关于图论中图的概念，以下叙述（）正确。
A.图中的有向边表示研究对象，结点表示衔接关系。
B.图中的点表示研究对象，边表示点与点之间的关系。
C.图中任意两点之间必有边。
D.图的边数必定等于点数减1。
正确答案：B2. 关于树的概念，以下叙述（）正确。
A.树中的点数等于边数减1B.连通无圈的图必定是树C.含n个点的树是唯一的D.任一树中，去掉一条边仍为树。
正确答案：B3. 一个连通图中的最小树（）。
A.是唯一确定的B.可能不唯一C.可能不存在D.一定有多个。
正确答案：B4.关于最大流量问题，以下叙述（）正确。
A.一个容量网络的最大流是唯一确定的B.达到最大流的方案是唯一的C.当用标号法求最大流时，可能得到不同的最大流方案D.当最大流方案不唯一时，得到的最大流量应相同。
正确答案：D5. 图论中的图，以下叙述（）不正确。
A.图论中点表示研究对象，边或有向边表示研究对象之间的特定关系。
B.图论中的图，用点与点的相互位置，边的长短曲直来表示研究对象的相互关系。
C.图论中的边表示研究对象，点表示研究对象之间的特定关系。
D.图论中的图，可以改变点与点的相互位置。
只要不改变点与点的连接关系。
正确答案：C6. 关于最小树，以下叙述（）正确。
A.最小树是一个网络中连通所有点而边数最少的图B.最小树是一个网络中连通所有的点，而权数最少的图C.一个网络中的最大权边必不包含在其最小树内D.一个网络的最小树一般是不唯一的。
正确答案：B7.关于可行流，以下叙述（）不正确。
《运筹学》 第五章习题及 答案
《运筹学》第五章习题1．思考题（1）试述动态规划的“最优化原理”及它同动态规划基本方程之间的关系。
（2）动态规划的阶段如何划分？（3）试述用动态规划求解最短路问题的方法和步骤。
（4）试解释状态、决策、策略、最优策略、状态转移方程、指标函数、最优值函数、边界函数等概念。
（5）试述建立动态规划模型的基本方法。
（6）试述动态规划方法的基本思想、动态规划的基本方程的结构及正确写出动态规划基本方程的关键步骤。
2．判断下列说法是否正确（1）动态规划分为线性动态规划和非线性动态规划。
（2）动态规划只是用来解决和时间有关的问题。
（3）对于一个动态规划问题，应用顺推法和逆推法可能会得到不同的最优解。
（4）在用动态规划的解题时，定义状态时应保证各个阶段中所做的决策的相互独立性。
（5）在动态规划模型中，问题的阶段等于问题的子问题的数目。
（6）动态规划计算中的“维数障碍”，主要是由于问题中阶段数的急剧增加而引起的。
3．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题4．计算下图所示的从A 到E 的最短路问题5．计算从A 到B、C、D 的最短路线。
已知各线段的长度如下图所示。
6．设某油田要向一炼油厂用管道供应油料，管道铺设途中要经过八个城镇，各城镇间的路程如下图所示，选择怎样的路线铺设，才使总路程最短？7．用动态规划求解下列各题（1）．222211295max x x x x z -+-=；⎩⎨⎧≥≤+0,52121x x x x ；（2）．33221max x x x z =⎩⎨⎧≥≤++0,,6321321x x x x x x ；8．某人外出旅游，需将3种物品装入背包，但背包重量有限制，总重量不超过10千克。
物品重量及其价值等数据见下表。
试问每种物品装多少件，使整个 背包的价值最大？913 千克。
物品重量及其价值的关系如表所示。
试问如何装这些物品，使整个背包 价值最大？10 量和相应单位价值如下表所示，应如何装载可使总价值最大？303011 底交货量，该厂的生产能力为每月600件，该厂仓库的存货能力为300件，又 每生产100件产品的费用为1000元。
运筹学习题(期中考试试题)
紧前工 工序时 序 间/d
— a a b,c b,c c c d,e g h,i 3 4 5 7 7 8 4 2 3 2
7.(2004研)某厂每年使用某种配件,经 ABC分类法分析该配件属于A类物资,年需 要量为12500件,消耗均匀发生.该配件的 单价为每件50元,年存贮费用是平均存贮额 的20%,每次订货是费用为400元,每次订 货后货物即可随时送到,不允许发生缺货. (1)求每次的订货数量; (2) 该厂为减少占用资金,希望降低存贮量, 决定宁可使总费用超过最低费用的20%作为 存贮策略,试决定该配件的存贮策略.
产品单位 消耗 A 资源 设备 原料甲 原料乙 单位利润 1 2 0 50
2. 某公司从两个产地A1,A2将物品运往三个 销地B1,B2,B3,各产地产量和个销地销 量以及各产地运往各销地的每件物品的运输 费列表如下:
销地 B1 单位运价 产地 A1 A2 6 6
B2 4 5
B3 6 5
产 量 300 300
a) 问工厂分别生产多少A产品和 B产品才能使工厂获利最多? b) 原料甲的影子价格是多少?如 果工厂可以在市场上购得该原 料,单价为60,那么该工厂是 B 资源限制 c) 否应该购进该原料? 1 300台时 d) 若工厂想保持A产品的生产, 1 400千克 则A产品的单位利润不能低于 1 250千克 多少? e) 求保持当前最优基不变时,原 100 料乙的容许变动范围.
4. 某公司有资金400万元,向A,B,C三个 项目追加投资,三个项目可以有不同的投 资额度,相应的效益之如下表所示,问如 何分配资金,才使总效益值最大? (用动 态规划方法进行求解)
投资额 效益值 项目 A B C 0 1 2 3 4
47 49 46
动态规划 运筹学 例题
动态规划运筹学例题动态规划（DynamicProgramming）是运筹学中一种基于分析多阶段决策过程的重要算法。
它主要指用于多步决策的最优化方法，是在一定时期内，为了达到目标，从多种可能的决策中选择最优方案的过程。
它的最大特点就是将一个较大的复杂的问题分解成若干个小的子问题，将解决这些子问题的过程和结果组合起来，从而解决原问题。
下面以最常见的“背包问题”为例，来深入讲解动态规划的基本原理。
假设有一个背包，背包容量为5KG，要放入这个背包中的有：物品A（重量3kg，价值2），物品B（重量2kg，价值3），物品C（重量1kg，价值4）。
问：最多能放入背包中的最大价值是多少？动态规划会将这个问题分解成两个子问题，即：当第一个物品放入背包时，最多能放入背包中的最大价值是多少？当第二个物品放入背包时，最多能放入背包中的最大价值是多少？通过上面划分出来的2个子问题，我们就可以用动态规划来解决这个问题。
首先，定义f（i，w）表示前i个物品放入背包中，总重量不超过w的最大价值，即：f（i，w）=max{f（i-1，w），f（i-1，w-wi）+vi}其中，f（i-1，w）表示前i-1个物品放入背包中，总重量不超过w的最大价值，f（i-1，w-wi）+vi表示前i-1个物品放入背包中，总重量不超过w-wi的最大价值，再加上第i个物品的价值vi。
下面我们来解决上面所说的背包问题：对于第一个物品A，有两种情况，第一种情况：不放入背包，则背包中的最大价值f（1，5）=0；第二种情况：将物品A放入背包，则背包中最大价值f（1，2）=2。
由于5>2，所以f（1，5）=2。
第二个物品B，有两种情况，第一种情况：不放入背包，f（2，5）=2；第二种情况：将物品B放入背包，则背包中最大价值f（2，3）=2+3=5。
由于5>3，所以f（2，5）=5。
同理，有第三个物品C，有两种情况，第一种情况：不放入背包，f（3，5）=5；第二种情况：将物品C放入背包，则背包中最大价值f（3，4）=5+4=9。
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一、某工厂购进100台机器，准备生产A、B 两种产品。如生产产品A，每台机器每年可 收入45万元，损坏率为65%；若生产产品B， 每台机器每年可收入35万元，损坏率为 35%；估计三年后有新机器出现，旧的机 器将全部淘汰。试问每年应然后安排生产， 使在三年内收入最多？
答案： 第一年将100台机器全部生产产品B，第二年 将余下的机器生产产品B，第三年把所有的 机器生产产品A。三年的总收入为7676.25 万元。
• 答案： • 设每个月为一个阶段，共4个阶段。每个阶 段可投入生产的机床数为状态变量SK，加 工第一种零件的机床数为决策变量UK，加 工第二种零件的机床数为SK-UK，阶段指标 函数为DK=7SK+3UK，SK+1=9/10SK-7/30UK。 用逆序的递推方法求解：前两月全部加工 第二种零件，后两月全部加工第一种零件。 其最大收益为2680
• 首先建立动态规划的模型 • 划分成3个阶段，每个阶段决策一个项目 的投资额，每个阶段决策的投资时可以使 用的资金作为状态变量，利润为阶段的指 标函数。 • 利用基本递推方程从第3阶段开始求解 • 给企业的投资额为 95万元 在城市购买房 地产的投资额为 105万元 • 最大利润为 681万元
二、某厂有100台机床，能够加工两种零件， 要安排4个月的任务，根据以往经验，用这 些机床加工第一种零件，一个月后损坏率 为1/3；加工第二种零件时，一个月后损坏 率为1/10。又已知机床加工第一种零件时一 个月的受益为10万元，机床加工第二种零 件时一个月的受益为7万元。现安排4个月 的任务，使总收益为最大。
三、某公司有资金200万元，打算全部参与三 个方面的投资。（1）参与一个企业投资， 当投资额为X1（万元）时，可得利润为 J1=4X1-2（万元）；（2）参与一个电视片 制作，当投资额为X2（万元）时，可得利 润为J2=1/16X2-1/5X2-2（万元）；（3）在 城市购买房地产，当投资额为X3（万元） 时，可得利润为J3=3X3-10（万元）。又知 投资额的上限为X1≤95万元；X2≤50万元。 用动态规划法决策使总利润最大？