时域有限差分法在一维光子晶体数值模拟方面的研究

文章编号:100525630(2006)0420037206

时域有限差分法在一维光子

晶体数值模拟方面的研究Ξ

宋　琦1,高劲松1,王笑夷1,王彤彤1,陈　红1,郑宣鸣1,申振峰1,凌　伟2

(1.中国科学院长春光学精密机械与物理研究所光学技术研究中心,吉林长春130033;

2.海军驻长春地区航空军代表,吉林长春130033)

摘要:介绍了时域有限差分法的基本原理,并对一维光子晶体薄膜中传播的电磁场作

了模拟和分析。通过对光子晶体透射谱的研究,讨论了不同周期数和不同介电常数比对光

子晶体带隙的影响,最后通过在周期介质层状结构中引入缺陷层构造了光子缺陷态。

关键词:时域有限差分法;光子晶体;光学禁带;缺陷态

中图分类号:O 734 文献标识码:A

Study on the FD T D si m ula tion of the 1-D photon ics crysta l

SON G Q i 1,GA O J in 2song 1,W A N G X iao 2y i 1,W A N G T ong 2tong

1CH EN H ong 1,ZH EN G X uan 2m ing 1,S H EN Z hen 2f eng 1,L ing W ei

2(11Op tical T echno logy and R esearch Cen ter ,Changchun In stitu te of Op tics ,F ine M echan ics and Physics ,

Ch inese A cadem y of Sciences ,Changchun 130033,Ch ina ;

21A viati on Comm issary of N avy in Changchun ,Changchun ,130033Ch ina ) Abstract :T he p rinci p le of fin ite difference ti m e dom ain (FD TD )w as p resen ted ,and analysis of electrom agnetic field in 1D p ho ton ics crystal (PC )w as p erfo rm ed .B ased on the study of tran s m ittance of 1D PC ,influence of differen t p eri ods and dielectric con stan t rati o s on the p ho ton ics band gap w ere discu ssed .T he defect state w as fo rm ed by in troducing the defect layer in to p eri od structu re .

Key words :fin ite difference ti m e dom ain (FD TD );p ho ton ics crystal ;p ho ton ics band gap ;defect state

1　引　言

光子晶体是近年来深受关注的一个新兴研究方向[1～3]。光子晶体是由多种介电材料构成的复合结构。由于其在空间周期性排布的特殊结构与半导体材料极其相似,光子晶体也拥有与电子晶体的电子禁带相似的光子禁带(p ho ton ics band gap ,PB G ),频率落在光子禁带中的光子将被严格禁止,而在禁带中人为的引入缺陷将构造出光子的局域态,从而达到对光子的“捕获”的目的。

光子晶体的应用主要基于光子晶体的能带结构中存在的光子带隙与局域态。利用光子晶体的特殊性第28卷　第4期2006年8月 光　学　仪　器O PT I CAL I N STRUM EN T S V o l .28,N o.4

A ugu st,2006

Ξ收稿日期:2006206230

基金项目:国家自然科学基金资助项目(60478035)

作者简介:宋　琦(19802),男,辽宁省辽阳市人,硕士,主要从事光子晶体理论及现代薄膜制备方面的研究。

质可以制作高效的全反射镜、无阈值微腔激光器、滤波器、偏振器、波导、波分复用器、光开关等。时域有限差分法(FD TD )作为一种主要的电磁场时域计算方法,最早由Yee K S 在1966年提出。这种方法通过将M axw ell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解,通过建立时间离散的递进序列,在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。作为一种高效的计算电磁场的数值方法,其被广泛应用于光子晶体的模拟计算中[4～6]。利用FD TD 方法构建了一维光子晶体薄膜模型,计算了光子晶体的透射谱。讨论了不同介质周期数和不同介电常数比对光子晶体带隙的影响。

2　一维光子晶体FD T D 模型

2.1　时域有限差分法(FD TD )基本原理时域有限差分法的主要思想是把M axw ell 方程在空间、时间上离散化,用差分方程代替一阶偏微分方程,求解差分方程组,从而得出各网格单元的场值[7]

。

FD TD 空间网格单元上电场和磁场各分量的分布如图1所示

。

图1　FD TD 网格中的电磁场分量分布示意图

电场和磁场被交叉放置,电场分量位于网格单元每条棱的中心,磁场分量位于网格单元每个面的中心,每个磁场(电场)分量都有4个电场(磁场)分量环绕。这样不仅保证了介质分界面上切向场分量的连续性条件得到自然满足,而且还允许旋度方程在空间上进行中心差分运算,同时也满足了法拉第电磁感应定律和安培环路积分定律,也可以很恰当地模拟电磁波的实际传播过程。电磁场的M axw ell 旋度方程为: ×E ψ=-Λ5H ∼5t -Ρm H ∼(1) ×H ∼=Ε5E ψ5t

+Ρm E ψ(2)其中Ε和Λ分别为介质的介电常数和磁导率;Ρe 和Ρm 为电导率和等效磁导率;E ψ和H ∼为电场强度矢量和磁

场强度矢量,将其标量化,并将空间沿3个轴向分成若干网格单元,用∃x ,∃y 和∃z 分别表示每个网格单元沿3个轴向的单位长度,用∃t 表示单位时间步长。网格单元顶点坐标(x ,y ,z )可记为:∃x τ+∃y τ+∃z ο=i ∃x +j ∃y +k ∃z

任意空间与时间函数可表示成

F n (∃x ,∃y ,∃z )=F (i ∃y ,k ∃z ,n ∃t )(3)

其中:i ,j ,k 和n 为整数。由于现考虑的是一维问题,可得到电磁场场量及介电常数只与传播方向有关,故利用中心差分近似,同时利用二阶精度的中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数,即可得到一维问题的FD TD 基本差分式:

H n +12y (k )=H n -12y (k )-∃t [E n x (k +1)-E n x (k )](4)

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