第五章 定积分的换元法

例6 计算 解一 令
a
1
dx. (a 0)
0 x a2 x2
x a sin t, dx a cos tdt,
x a t , x 0 t 0,
原式 2
2
a cos t
dt
0 a sin t a2 (1 sin2 t)
2 0
cos t dt sin t cos t
o
0
等于圆周的第一象限部分的面积
a 2
4
解2 a2 x2dx x a2 x2 a2 arcsin x C
a
故
2
a2 x2dx a 2
2
a
0
4
解3 令 x a sin t dx acos t
x0t0 xat
2
a
2
a2 x2dx a2 cos2 tdt
0
0
a2
2
(1 cos 2t)dt
1 2
2 0
1
cos t sin t
sin cos
t t
dt
1 2
2
1 lnsin
2
t
cos
t
2 0
. 4
解二
接解一
对 2 cos t dt
0
sin
t
cos
t
2
令 I
cos t
dt
0 sin t cos t
2
J
cos t
dt
0 sin t cos t
则
2
I J dt
0
2
I
为方便计
将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 x
b
f ( x) ( x)dx f (t )dt
这说明可用
a
t ( x) 引入新变量
但须注意如明确引入新变量，则必须换限 如没有明确引入新变量，而只是把 整体视为新变量，则不必换限
t (x)
例4 计算
sin3 x sin5 xdx.
相应的改变.
（2） 求出 f [ (t )] (t)的一个原函数(t)后，不
必象计算不定积分那样再要把(t ) 变换成原 变量x 的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t ) 然后相减就行了.
a
例2 计算 a2 x2dx
0
解1 由定积分的几何意义
y a2 x2
xa
a
a2 x2dx
2
dx tdt
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
( dt 1 0) dx 2x 1
于是
4 x 2 dx 1 3 (t 2 3)dt 22
0 2x 1
21
3
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
f [ (t)] (t)dt .
证 设F( x)是 f ( x)的一个原函数，
b
a f ( x)dx F(b) F(a),
(t) F[(t)],
(t) dF dx f ( x)(t) f [(t)](t),
dx dt
(t)是 f [(t)](t)的一个原函数.
f
[(t )](t )dt
②
f
(
x
)
为奇函数，则
a
a
f
( x)dx
0.
证
a
0
a
a f ( x)dx a f ( x)dx 0 f ( x)dx,
在 0 a
f
( x)dx 中令x
t ,
0 a
f ( x)dx
0
a
f
(
t
)dt
a
0
f (t)dt,
sin
x
5
2
5
2
4. 5
例5 计算
解 原式
3
e4
e
3
e4
dx
e
x
. ln x(1 ln x)
3
e4
e
d(ln x) ln x(1 ln x)
d(ln x)
3
e4
ln x (1 ln x) 2 e
d ln x 1 ( ln x)2
2 arcsin(
3
ln x )
e4 e
. 6
定积分的换元法
上一节我们建立了积分学两类基本问题 之间的联系——微积分基本公式，利用这 个公式计算定积分的关键是求出不定积分 ，而换元法和分部积分法是求不定积分的 两种基本方法，如果能把这两种方法直接 应用到定积分的计算，相信定能使得定积 分的计算简化，下面我们就来建立定积分 的换元积分公式和分部积分公式。
a2
20
4
解4 令 x acost
仍可得到上述结果
例3 计算 解令
2 cos5 x sin xdx. 0
t cos x, dt sin xdx,
x t 0, 2
2 cos5 x sin xdx 0
0 t 5dt t 6 1
Leabharlann Baidu
1
6
0
x0
1. 6
t 1,
注 定积分的换元积分公式也可以反过来使用
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
假设
（1） f ( x)在[a,b]上连续；
（2）函数 x (t)在[ , ]上是单值的且有连续
导数；
（3）当t 在区间[ , ]上变化时， x (t ) 的值
在[a,b]上变化，且 ( ) a、 ( ) b ，
则
有 b a
f
(
x
)dx
J
2 0
cos t sin tdt sin t cos t
ln(sin t
cos t) 2 0
0
I J
4
例 7 当 f ( x)在[a, a]上连续，则有
a
a
f ( x)dx f ( x) f ( x)dx
a
0
① f (x)为偶函数，则
且有
a
a
f
( x)dx
a
20
f
( x)dx；
先来看一个例子
例1 4 x 2 dx 0 2x 1
换元求不定积分 令 t
2x 1
则 x 1 (t 2 1)
2
x 2 dx
2x 1
1t2 1t 2 2 2 dt
t
1t3 3t C 62
1
(
2
x
1)
3 2
3
(
2
x
1
1) 2
C
6
2
故
4 x 2 dx 22
0 2x 1
3
尝试一下直接换元求定积分 为去掉根号 令 t 2x 1 则 x t2 1
0
3
解 f ( x) sin3 x sin5 x cos x sin x2
sin3 x sin5 xdx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
0
2
cos
xsin
3
x 2 dx
cos
x
sin
x
3
2
dx
0
2
3
2 sin x2 d sin x
sin
x
3
2
d
sin
x
0
2
2
sin
5
x2
2
5
0
2
()
(),
( ) a 、 ( ) b ,
( ) ( ) F[( )] F[( )] F(b) F(a),
b
a f ( x)dx F(b) F(a)
( ) ( ) f [(t)](t)dt.
注意 当 时，换元公式仍成立.
应用换元公式时应注意:
（1） 用 x (t )把变量x 换成新变量t 时，积分限也