集合优秀课件

集合的概念
∈ ：表示元素与集合的属于关系.
xA(x属于A): x是A的元素 xA(x不属于A): x不是A的元素 例如，N表示自然数集合，2∈N，而1.5不属于N, 写成
1.5N.
无穷集:元素个数无限的集合 有穷集(有限集):元素个数有限的集合. |A|:A中元素个数 例如，A={1,2,3}, 则|A|=3. k元集:k个元素的集合, k 0
凡是在我们的感觉或思维中可以明确区分的对象物, 把它 们看成是一个整体, 这个整体, 我们就称它是集合(Set), 其 中的”物”就称为这个集合的”成员”或”元 素”(Element). 常用集合: 自然数集N, 整数集Z, 正整数集Z+,—有—理G数.C集anQt,or 非零有理数集Q*, 实数集R, 非零实数集R*, 复数集C, 区间 [a,b],(a,b)等.
集合论
第3章 集合 第4章 关系 第5章 函数 第6章 集合的基数*
第3章 集合
集合及其表示法 包含(子集)与相等 特殊集合（空集，全集，幂集） 集合运算(,, , ~ , ) 基本集合恒等式 包含与相等的证明方法
集合的概念
集合是数学中最基本的概念,没有严格的定义 理解成某些个体组成的整体, 常用A,B,C等表示 元素:集合中的个体
AB ={0,2,5,7,9}, A ={4,5,6,7,8,9}, B ={0,2,4,6,8}
说明:1. 只使用圆括号 2. 运算顺序: 优先级别为(1)括号, (2)和幂集, (3)其他. 同级别的按从左到右运算
基本集合恒等式
1. 幂等律 AA=A, AA=A 2. 交换律 AB=BA, AB=BA 3. 结合律 (AB)C=A(BC)
(AB)C=A(BC) 4. 分配律 A(BC)=(AB)(AC)
A(BC)=(AB)(AC) 5. 德摩根律
绝对形式 (BC)=BC, (BC)=BC 相对形式 A(BC)=(AB)(AC)
不包含
A ⊈ B x (xA xB)
相等
A=BABBA
不相等
ABA⊈BB⊈A
真包含(真子集) A B A B A B
例如, A={1,2,3}, B={ x | xR|x|1 }, C={ x | xRx2=1 }, D={1,1}, C B, C B, C ⊈ A, A ⊈ B, B ⊈ A, C = D
性质 (1) A A (2) A B B C A C
例 设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值.
(1) {a}∈A
(2) {a} ⊈ A
(3) c∈A
(4) {a}{{a,b},c}
(5) {{a}}A
(6) {a,b}∈{{a,b},c}
(6) {{a,b}}A
定理3.2 如果 |A| = n，则 |P(A)| = 2n
证 |P(A)|Cn0Cn1Cnn
(11)n2n
集合的文氏图(Venn Diagram)表示 文氏图: 平面上的n个圆或椭圆, 使得
任何可能的相交部分, 都是非空的和连 通的.
John Venn(18341923)
E AB
集合运算
并 交 相对补 对称差 绝对补
(7) {a,b}{{a,b},c}
(9) {c}{{a,b},c}
特殊集合
空集: 不含任何元素的集合, 记作 . 例如, { x | x2<0xR }=
定理3.1 空集是任何集合的子集（对于任何集合A, 都有 ΦA.）
推论 空集是惟一的. 证明 假设有两个空集Φ1 , Φ2 , 则 因为Φ1是空集, 则由性质1得 Φ1 Φ2 . 因为Φ2是空集, 则由性质1得 Φ2 Φ1 . 所以Φ1=Φ2 .
AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = { x | xA xB } AB = (AB)(BA) = (AB)(AB) A = EA= { x | xA }
例如 设E={0,1, … ,9}, A={0,1,2,3}, B={1,3,5,7,9}, 则 AB ={0,1,2,3,5,7,9}, AB ={1,3}, AB ={0,2},
例如,
A Φ {a} {a,b}
P(A) {Φ} {Φ,{a}} {Φ,{a},{b},{a,b}}
例如, 设A={a,b,c}
A的0元子集:
A的1元子集: {a}, {b}, {c}
A的2元子集:{a,b},{a,c},{b,c} A的3元子集: {a,b,c}
P(A) ={, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}}
A={人, 石头, 1, B}, (4)集合中的元素也可以是集合, 如{a, {a,b},c}
包含与相等
包含(子集)
A B x (xA xB)
A,B是集合, 如果A中元素都是B中元素, 则称B包含A, A包含 于B, 也称A是B的子集. 记作A B.
例如, N是自然数集合, R是实数集合, 则N R.
全集: 在所讨论或关注的范围内所有元素所组成的集合称为 全集, 记为E. 相对性 由于讨论的问题不同, 全集也不同.所以全集不唯一. 例如, 若讨论数, 可以把实数集看成全集. 若讨论人, 可以把人 类看成全集.
幂集: A是集合, 由A的所有子集构成的集合, 称之为A的幂 集. 记作P(A)或2A. P(A)={B| BA}
集合
Байду номын сангаас
集合论(Set Theory)
19世纪数学最伟大成就之一 集合论体系
朴素(naive)集合论 公理化(axiomatic)集合论 创始人康托(Cantor) 德国数学家, 集合论创始人
Georg Ferdinand Ludwig Phillip Cantor (1845-1918)
集合的表示法
列举法 如 A={ a, b, c, d }, N={0,1,2,…} 描述法 { x | P(x) } 如N={ x | x是自然数 }
说明: (1) 集合中的元素各不相同. 如, {1,2,3}={1,1,2,3} (2) 集合中的元素没有次序. 如, {1,2,3}={3,1,2}={1,3,1,2,2} (3)对集合中的元素无任何限制, 例如令