应用2 统计量的计算和箱线图【精选】

未分组数据：
S 2
(Xi X )2 , S S 2
N
变形一
变形二
S
2

1 N2
N
X
2 i

(
Xi )2
S 1 N N
X
2 i

(
Xi )2
S 2

1 N

Xi2 (
X N
i
)2

S 1 N
Xi2 (
Xi )2 N
在中位数位置画一条竖线。这个箱子包含了50%的数据。 ② 在箱子左右两侧各引一条水平线，分别至最小值和最
大值，每条线段包含25%的数据。
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语言研究中的统计学
箱线图
箱线图可以对样本数据的分布形状进行大致的判断。
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语言研究中的统计学
箱线图
箱线图可以对样本数据的分布形状进行大致的判断。
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语言研究中的统计学
（六）（绝对）平均差(AD)
定义：
AD
Xi X
N
分组数据平均差的求法：
AD fi X i X
N
注意到：
(Xi X) 0
所以我们需要取绝对值。
其中称右式为离均差： X i X
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语言研究中的统计学
（七）方差与标准差
其中Xc为
N为总次数，i为组距。
A的确定：取总次数一半的累积次数所对应的那一组的组 中值，因为它更接近真正的平均值。
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语言研究中的统计学
离中趋势量的比较
极差可以在一定程度上反映数据的差异情况，为数据 分组提供依据；
四分差比两级差稳定可靠，常与中位数结合使用； 平均差优于两级差和四分差，用数值离开平均值的平 均距离来反映数据的离散程度，但不适合微分运算； 方差和标准差是最理想的差异量：概念易于理解，适 合代数运算和微分运算，能反映所有数据的差异情况，不 易受抽样的影响。
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语言研究中的统计学
平均数、中位数和众数的比较
6、极端值 样本中过大或过小的数值称为极值 平均值不能体现极端值的信息，从而不能很好地反映分布的信 息，有时中数和众数更好一点。 7、数据分布 对于对称分布，三数非常接近，特别是正态分布时三数相等； 对偏态分布，三数差异较大，一般地：
Md
L (N
2 F
fL) i
L i (N F
2
fL)
或
Md
U (N
2 F
fU ) i
L —中位数所在组下限 U —中位数所在组上限 fL —L以下各组总次数 fU —U以上各组总次数 F —中数所在组次数 i —中数所在组组距
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语言研究中的统计学
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语言研究中的统计学
练习
Weighted Average(Definitio V1 n 1) Tukey's Hinges V1
Percentiles
Percentiles
5
10 25 50 75 90 95
9.00 10.00 14.00 19.00 26.00 44.00 49.90
14.00 19.00 26.00
-2.33
1
2.33
99
-1.64
5
-0.52 30
0.52
70
1.54
95
-1.28 10 -0.39 35
0.39
65
1.28
90
-1.04 15 -0.25 40
0.25
60
1.04
85
-0.84 20 -0.13 45
0.13
55
0.84
80
-0.67 25
0
50
0.67
75
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② 一组分数的标准分之平均值为0，即 Z 0 ； ③ 一组分数的标准分之标准差为1，即 SZ 1； ④ 标准分具有对称性。 标准分的应用： 比较不同质（不同分布）的分数； 将不同质的多个分数合成后再比较。
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语言研究中的统计学
标准分与百分位对照表
标准分 百分位 标准分 百分位 标准分 百分位 标准分 百分位
正偏或右偏时，众数<中位数<平均数 负偏或左偏时，平均数<中位数<众数
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语言研究中的统计学
平均数、中位数和众数的比较
正偏或右偏 众数<中位数<平均数
正态分布，三数相同
三数各有优缺点，平均数用得比较多。
负偏或左偏 平均数<中位数<众数
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语言研究中的统计学
（四）极差
19.93 24.81
5% Trimmed Mean
21.42
Median
19.00
Variance
150.943
Std. Deviation
12.286
Minimum
6
Maximum
58
Range
52
Interquartile Range
12
Skewness
1.246 .241
Kurtosis
.791 .478
Mo 3 Md 2 M
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语言研究中的统计学
平均数、中位数和众数的比较
1、灵敏度 平均数的计算涉及到每个样本值，所以对数值的变化比较敏感。 2、稳定性 对同一总体而言，均值比较稳定，受抽样影响较小。 3、信息量 平均数既反映了数值的顺序关系，又体现了所有样本的值，同 时又稳定，所以它所提供的信息量最大。 4、运算 平均数适合代数运算，且比较简单。
V1
100
100.0%
0
.0%
100 100.0%
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语言研究中的统计学
练习
V1
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Descriptives Mean
Statistic
Std. Error
22.37 1.229
95% Confidence Lower Bound Interval for Mean Upper Bound
成绩为：
Mw

2085 30 75 4080 20 30 40

79.4
例2 综合测评成绩的计算：单科学单分科学单分科成绩
注意：权大小的确定要有一定的依据。 特别地：如果所有权的和为1，则称为标准权。
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4
语言研究中的统计学
（二）中位数
顺序样本中间位置的数， 即样本容量（总次数）N的50%位置的数。 1、对未分组数据求中位数 2、根据分组频数分布表求中位数
由次数分布表来求更简单一些。略
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语言研究中的统计学
（七）方差与标准差（续）
由分组次数分布表：

S2 i

fd 2 N
fd 2
N


式中：
f为组频数； d为各组数据的假定平均离均差，d Xc A
i 各组组中值，A为估计平均值。
k i 1
fi Xi
，N
N
fi
根据分组频数分布表 X
k i 1
fi
X
' i
N
，X i'为第i组组中值
2、加权平均
Mw
Wi X i Wi
，Wi称为权
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3
语言研究中的统计学
加权平均数例子
例1 有3个班，人数分别为20、30和40，在某次考试中的
平均成绩分别为85，75，80，那么这三个班的加权总平均
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语言研究中的统计学
五数概括与箱线图
对有序样本，容易计算以下五个值（五数）： 最小观测值Xmin；最大观测值Xmax；中位数m0.5=Q2； 第一个四分位数Q1= m0.25；第三个四分位数Q3= m0.75；
箱线图(Box plot)，又称箱须图(Box-whisker Plot) 、盒形 图、箱图、盒子图。作法如下： ① 画一个箱子，其两侧恰为第一4分位数和第三4分位数，
27.00
1 . 555566666667777778888899999
18.00
2 . 000001112222333444
9.00
2 . 566667899
1.00
3. 4
4.00
3 . 5679
6.00
4 . 000444
8.00 Extremes (>=47)
Stem width: 10
Each leaf: 1 case(s)
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语言研究中的统计学
箱 线 图
奇异值用‘o’表示。 表示数值与矩形框 的上边（下边）的 距离是四分位极差 的1.5倍—3倍；
极端值用‘*’表示。
表示数值与矩形框 的上边（下边）的 距离是四分位极差 的3倍以上；
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28
语言研究中的统计学
语言研究中的统计学
（Ⅱ） 2009 年 3 月
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1
语言研究中的统计学
基本统计量
统计量
集中趋势量
离中趋势量
平
中
众
均 数
位
数
数
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标
极
四
平
准
分
均
差
差
差
差
方
差
2
语言研究中的统计学
（一）平均数（样本均值）
1、算术平均 X X i N
根据频数分布表 X
极差又称两极差，是样本值中最大值和最小值之间的差。
Xmin
25%
两极差
25%
Xmax
Q1
Q2
Q3
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11
语言研究中的统计学
（五）四分差
定义：
Q Q3 Q1 2
分组数据四分点的求法：
Q1
Lb
N
4 Fb fQ1
i
Q3

Lb

3N
4 Fb fQ3
i
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16
语言研究中的统计学
标准化
一个分数在一组分数中的位置是参照该组分数的典型
分数来确定的，也就是说，一个分数可以描述为在典型分
之上还是之下或者是等于典型分，以及它离开典型分有多
远。这个典型分数用平均分表示，离开典型分的距离用标
准差表示，这样我们就可以是“某个分数离开平均分多少
个标准差单位”，同时用正负号表示该分数处于平均分之
例：以下是100个英语句子的长度。
6
10
13
15
17
19
21
24
29
44
8
11
13
16
17
19
21
24
34
44
8
11
13
16
17
19
22
25
35
47
ຫໍສະໝຸດ Baidu
8
12
14
16
17
19
22
26
36
48
9
12
14
16
18
20
22
26
37
48
9
12
14
16
18
20
22
26
39
50
9
12
14
16
18
20
23
26
40
51
上还是之下。
这实际上就是把原始分数转换为标准差单位数，或以
标准差为单位来表示一个分数与平均数的差，此过程称为
标准化过程
Z X X X
S

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语言研究中的统计学
标准分
一个分数离开平均分的“标准差单位数”称为标准分或Z 分，常用Z表示。 标准分的性质：
① 一组分数的标准分的和为零，即 Z 0 ；
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语言研究中的统计学
直 方 图
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26
语言研究中的统计学
Stem-and-Leaf Plots
V1 Stem-and-Leaf Plot
Frequency Stem & Leaf
8.00
0 . 68889999
19.00
1 . 0001122222233334444
（三）众数
一组数据中出现次数最多的数值 注意：
1、如组中各数都相同，则没有众数； 2、也可能出现两个以上的众数； 3、称含有两个众数的次数分布为双众数分布。
求法： 从顺序样本中找，样本容量大的，先做频数统计表。
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6
语言研究中的统计学
平均数、中位数和众数的关系
皮尔逊经验公式（P40） 众数=3*中位数-2*平均数
9
12
15
16
18
20
23
27
40
55
10
12
15
17
18
20
23
28
40
56
10
13
15
17
19
21
24
29
44
58
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练习
Case Processing Summary
Cases
Valid
Missing
Total
N
Percent
N
Percent
N
Percent