1对流_弥散方程显式差分法稳定性分析方法的初探

。
建立水动力弥散问题的差分方程组对其弥散项 取显式差分法时, 其对流项可以采用前向、 后向和中
收稿日期 : 2009 12 11; 修回日期 : 2010 01 04 作者简介 : 马 荣 ( 1982 ) , 男 , 陕西延安人 , 在读博士生 , 研究方向 : 地下水数值模拟。
第1期
马 荣 , 等 : 对流 - 弥 散方程显式差分法稳定性分析方法的初探
2
: 0 1 ( 4) ( 5)
1-
2D l t ( 1- 2 ) u t + 2 x ( x) 因为 al
可以证明稳定性准则要求 1 即 t ( 13) ( 14)
D l = ua l , al 为纵向弥撒度 由式 ( 4) 可得 : 由式 ( 5) 可得 : 2D l t ( 1- 2 ) u t + 2 x ( x) 1 ( 6) x
( 8)
故显式对流 - 弥散方程的稳定性要求如下: al x t al u 1
( 9) ( 10)
3
研究步骤
现在以一维对流弥散方程为例进行讨论 [ 4] : c c c = Dl 2 - u t x x
2
易知当 分别取 0、 1/ 2、 1 时 , 分别对应的是对流 ( 1) 项取后项差分、 中心差分与前项差分 , 其稳定性见表 1。 由表 1 可以看出对于对流项取不同的差分格式其 稳定性的优劣情况 , 其稳定性的评价主要是 以 t 、 x 的限定范围为依据, 其范围越大, 稳定性就越好。
1
前 言
20 世纪 60 年代以前, 地下水运动的研 究多偏
解在离散点上的近似值。在有限差分法中 , 用差商 代替微商时 , 把泰勒级数的余项舍弃掉了 , 使得差分 方程与微分方程之间存在着截断误差, 然而在求解 差分方程问题时一般会出现两种误差: 一种是由于 计算机只能保存有限位数字 , 在一定位数之后就要 四舍五入, 这称为舍入误差 ; 另一种是在确定初始条 件或边界条件时引入的误差 , 称为测量误差 [ 2] , 用差 分法求解地下水不稳定流动问题时是由初始时刻开 始 , 利用初始条件及边界条件, 一个一个时阶逐步计 算渗流区各离散点的水头值 , 如果在某个时阶某个 离散点出现误差后 , 在以后各个时刻的计算中, 该误 差是如何传播 ? 是逐渐缩小或限制在某个范围内, 还是无限制扩大, 使得计算结果面目全非 , 这是一个 十分重要的问题, 属于前者的我们说这种差分格式 是稳定的而后者是不稳定的
Dl t 2D l 即 x = 2 al 2 u ( x) 将式( 14) 代入式( 13) 可得 : t
2 ( x ) = 2 al 2D l u
( 15)
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水资源与水工程学报
2010 年
x 4. 2
2D l = 2a l u
( 16)
5
结
语
,从
对流项取后向差分 C i, n+ 1 - C i, n C i+ 1, n - 2C i, n + Ci- 1, n = Dl 2 t ( x) uC 解得
1, 由地下水动力学可知 C i- 1, n 、 C i, n 与 C i+ 1, n 又 因 为
的 系 数 必 须 是 非 负 的,
u t ( 1 - ) 是恒正的 , 故在此只讨论 c n n i+ 1 与 ci 的系 x 数, 所以其稳定性要满足 Dl t u t ( x )2 ( x )
[ 5]
Abstract: T he diff er ence f orm of convect ive part has an im po rt hant role in convect ive div erg ent e quat ion. T he t raditio nal met ho d is t o analy ze every diff erence f orm, the pro cess and result are to o com plex i. Based o n full analysis for t he convect ive divergent equat ion, w e intr oduced t he weight coef ficient in t he equat ion t hat could make the stable equat ion m ore unif orm. T he results show ed that t he best st abilit y dif ference f orm is backw ard; consequent ly the convect ive diver g ence is m ost easily converged, w it ch is in accord w ith the t radit ion analy sis result . Key words: f init e dif ference; convect ive diverg ent equation; st abilit y; w eig ht coef ficient
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4. 1
与传统稳定性分析方法的比较
对流项取中心差分 C i, n+ 1 - C i, n C i+ 1, n - 2C i, n + C i- 1, n = Dl t ( x)2 u C i+ 1, n - C i- 1, n 2 x ( 11)
式中 : C 为溶质浓度; 0
长; D l 为纵向弥散系数 ; u 为流速 ;
第21 卷第 1期 20 10来自百度文库年 2 月
水资源与水工程学报 Journal of W at er Resources & W at er Engineering
V o l. 21 N o . 1 Feb . , 2 01 0
对流- 弥散方程显式差分法稳定性分析方法的初探
马 荣 , 石建省, 张翼龙
i, n i- 1, n ) C - C x
( 2)
0 1/ 2
后项 中心 前项
Ci, n+ 1 = Ci+ 1, n Ci- 1, n
+ ) + ( 3) x 为空间步 为权重系数 , Dl t + ( x )2
D l t + u t ( 1( x )2 x
1
Ci, n 1 -
2D l t u t 2 - (1- 2 ) x ( x) t 为时间步长;
( 中国地质科学院 水文地质环境地 质研究所 , 河北 石家庄 050803) 摘 要 : 在对流 - 弥散方程显式差分法中 , 对流项的差分格式对方程的稳定性有着重要的影响 , 传统的稳定性分析
方法 是对每种差分格式进行单独分析 , 其过程与结 果均过 于繁琐。本 文在对 其对流 项全面 分析的 基础上 , 在误 差 分析 中引入权重系数 , 从而使得其稳定性讨论公 式统一 化 , 有利于其 稳定性 的进一 步分析 与应用。分 析结果 表 明 : 在对流 - 弥散方程中 , 对流项取后项差分格式其稳定 性最好 , 方 程最易达 到收敛 , 这 与传统的 分析结 果也是 相 一致的。 关键词 : 差分法 ; 对流 - 弥散方程 ; 稳定性 ; 权重系数 中图分类号 : X171. 1 文献标识码 : A 文章编号 : 1672 643X( 2010) 01 0132 03
[ 3]
重含水层中地下水的水头和流量的计算, 解题的方 法多采用解析法 , 近二三十年来, 随着我国经济的发 展、 环境污染的预测和防治、 新能源的开发和利用、 核废料的贮存等 , 使地下水运动的研究深入到更广 阔的范围。不仅要计算地下水的水头和流量, 还要 计算污染物随地下水的运移, 由于计算科学的进步 和计算机的广泛应用, 在解决实际的生产问题时愈 来愈多的采用了数值方法
[ 1] 薛禹群[ M ] . 地下水数 值模拟 . 北 京 : 科 学出版 社 , 2007: 12- 13. [ 2] 陈崇希 , 唐 仲华 . 地下 水流 动问题 数值 方法 [ M ] . 武汉 : 中国地质大学出版社 , 2002: 18- 18. [ 3] 陈崇希 . 地 下 水数 值计 算 方法 [ M ] . 北 京地 质 出版 社 ,
程中关于其对流项的稳定性, 借鉴于差分方程中加 权六点格式法的思路, 在对流 - 弥散方程中对对流 项引入权重系数 , 从而使得其稳定性的讨论更加统 一与直观易懂, 由于在差分方程中隐式法式无条件 稳定的, 故在此是以显式法的前提条件下进行讨论 的。 所以
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l u a ( 1 - 2 ) + 2a l u
Discussion of the Stable Analysis Method by Explicit Difference Equation of the Convective divergent
MA Rong, SHI Jian sheng, ZHANG Yi long
( I ns titute of H y d rog eology and Envir onmental Geo logy , CA GS , S hij iaz huang 050803 , China)
[ 1]
。
有限差分法是一种古典的数值计算方法, 其基 本思想是 : 用渗流区内有限个离散点的集合代替连 续的渗流区, 在这些离散点上用差商近似地代替微 商, 将微分方程及其定解条件化为以未知函数在离 散点上的近似值为未知量的代数方程 ( 称之为差分 方程 ) , 然后求解差分方程 , 从而得到微分方程的
i, n
本文在全面讨论了传统的弥散 - 对流方程中 关于对流项稳定性的基础上 , 引入了权重系数 ( 17) 而使得其稳定性具有统一的分析公式, 摒弃了原来 要对其三种形式分别计算的繁琐性, 从而使得我们 在溶质运移计算方面更加简单易懂。由表 1 可以看 出在对流- 弥散方程中 , 其对流项取后项差分格式 其稳定性最好, 中心差分法次之 , 而前项差分的稳定 性最差。 20 世纪 60 年代后 发展起 来的地 下水数 值模 拟 , 在国内外由于其自身应用上的优越性、 实用性, ( 19) 受到各国水文地质工作者的广泛关注和重视 , 各国 学者探索研究出多种模拟理论和计算方法 , 都先后 用于实际的地下水数值模拟中, 并相继取得了满意 的结果 。然而, 各种理论和方法仍都不是尽善尽 美的, 对自然界实地存在的复杂的地下水流系统的 ( 20) 模拟理论及计算方法仍需进一步的探索和研究 [ 7] 。 参考文献:
式中仅有一个未知数 C i, n+ 1 , 解得 C i, n+ 1 = Dl t u t + C i- 1, n + ( x )2 2 x 2D l t C i, n + ( x )2 2D l t ( x )2 u t 2 x Di t - u t C i+ 1, n ( 12) ( x )2 2 x ( x) 2D l
表1 对流项差分格式 稳定性对比表 t al = x u u 2a l 2 al u al u x al ! ∀ a 一般 al 较差 稳定性 较好
因其孔隙率 n 为常数, 故在此将其省去。 其显式 差分方程为: C i, n+ 1 - C i, n C i+ 1, n - 2C i- 1, n = Dl t ( x )2 u C i+ 1, n - C i, n + ( 1 x Dl t u t ( x )2 x
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心差分 3 种不同的差分格式, 进而使得其稳定性的 限制有不同的要求。
t = 又 u
( x )2 u( 1 - 2 ) x + 2D l ( x) u( 1 - 2 ) + 2al u al
2
2
研究的基本理论与方法
本文重点讨论的是有限差分法在对流- 弥散方
( 7)
( x )2 是增函数且 x x ( 1 - 2 ) + 2a l u al t = al u
[ 6]
- Ci- 1, n x
Ci, n+ 1 =
Dl t u t C i- 1, n + 2 + x ( x) Dl t Dl t 1- u t - 2 2 Ci, n + 2 C i+ 1, n x ( x) ( x) 稳定性要求 : t< x x ! Dl u 2 + u x
( 18)
4. 3 对流项取前向差分 C i, n+ 1 - C i, n C i+ 1, n - 2C i, n + C i- 1, n = Dl 2 t ( x) uC 解得 Dl t u t C i+ 1, n + Ci, n+ 1 = 2 x ( x) Dl t Dl t 1+ u t - 2 2 C i, n + 2 C i- 1, n x ( x) ( x) ( 21) 稳定性要求: x < al t< ( x) 2D l - u x