数学与其他学科的关系

数学与其他科学的关系
顾雄伟
（法政学院法学112班 学号11050225)
摘要：本文讲述的是数学与其他科学的关系。

众所周知，数学在学校里面是一门基础学科，在学术上是一门基础科学。

数学有着如此重要的地位，原因是数学贯穿了所有的自然科学，任何一自然科学的研究都不能脱离数学而自由存在。

数学作为一种方法，给自然科学的研究提供了途径；数学作为一种思维，为自然科学的深入发展带来可能。

所以，我将借助这次就会为大家展示一下数学与其他科学之间的具体联系。

关键词：数学 建模 物理 化学
数学到底是什么？很多人曾经尝试过，但没有一个人成功的定义了数学，因为人们总是不能通过一个简单的定义就去包含数学这样一个包含了事物万象的学科。

人们普遍认为数学就是处理数字和图形，处理模式、关系与运算，涉及公理、证明、引理和定理的形式化程序。

这些只是数学展现在人们面前的表现形式。

人，是一种有着思想和智慧的动物，人脑也因其特有的可产生逻辑思维的特殊性而造就了数学。

也就是说，数学是一种思维，这种思维任何可思考的动物都有，只不过因人类的衍化，把数学提炼了出来，赋予了数学一种外在表现形式。

正因为这种思维的普遍性和特殊性，也就解释了为什么数学可其他科学的不可分割性。

本篇文章就是建立在这个认知基础上的具体讲述数学和物理与化学的联系。

物理？什么是物理？物体的道理即物理。

看到一个物体，然后研究这个物体的内外部基本结构、相互作用和物质最基本、最普遍的运动形式以及相互转化的共有规律，这就是物理学。

从这个定义可以看到，物理的存在就相当于为数学赋予了其客观性，简言之，物理是数学的衣服，物理的内部核心是数学。

因此，物理学的发展和进步都离不开数学。

什么是化学？你能相信一个杯子能喝掉一杯水吗？你能相信不同颜色的盐加入装有水玻璃的结晶皿中，水中就可以出现各种五颜六色的“珊瑚”吗？你能相信一杯溶液加一杯粉末放在一个杯子里就可以变出一块草莓蛋糕吗？你能想象两种透明的液体同时倒入一个高脚杯中，溶液在透明、蓝色、棕黄色之间来回迅速的转化，时而像雪碧，时而像啤酒吗？这就是化学。

可以说，化学研究的起点是现象，然后通过数学必要的内部解释而产生化学。

通过初步地对数学、物理和化学的漫谈，现在我具体说一下数学和物理、化学之间的联系。

一、数学和物理
数学是囊括宇宙奥秘的基础学科，它是所有自然科，甚至是社会科学的工具，所有自然现象、社会现象都可以抽象、概括成一个数学模型，这就叫数学建模，这种方法在物理学研究中最为明显。

物理也是和数学关系最密切的学科，可以说，物理模型抽取概念就是数学：而数学如果赋予起物理概念、规律就变成了物理。

这个见证可以从以往的物理学家都是数学家看出。

因此，物理的研究一定要有坚实的数学建模能力基础。

列举如下：
1、函数方法。

在数学中。

若是有两个变量，一本变量的改变，另一个变量按照一定的规律也进行变化，我们说这就是函数了。

这个函数思想可以在物理中体现出来。

例题如下： 例题一：水平面上放一个处于静止状态的物体，物体与水平面之间的动摩擦因数为μ＝33，
现对物体施加一恒力Ｆ，求Ｆ与水平面成多大角度时，物体的加速度最大？ 解：设恒力Ｆ与水平面成θ时，物体的加速度ａ最大。

根据牛顿第二定律，得：
ma F mg F =--)sin (cos θμθ 化简得：
ma mg F =-++)sin(12ϕθμ )31(tan ==
μϕ 所以根据求三角函数的最值性质得：当ϕ＝60 时，即θ＝
30 时，物体的加速度ａ最大。

这道物理题目运用的三角函数的求最值原理，通过这个数学方法，相对于直接用物理方法，把题目简化了许多。

2、几何图形法
几何图形在物理里面的运用十分常见，尤其是在电磁场、受力分析、光学等领域中，几何图形的运用是解题的必须方法，包括图形的建立、识别和计算，都是一种数学思维在物理里面的运用。

例题如下：
例题二：
如图一所示，将小球从距地面ｈ的高台边缘以某速率
v 0抛出。

求当抛射角θ多大时，小球 的落地水平位移最大？
解：在这个斜抛运动中，初速度v 0、末速度
v B 及速度变化量V ∆如图二所示构成矢量
三角形，其中V ∆＝gt （ｔ表示物体运动的
时间），令三角形面积为S ，得：
Ｓ＝θcos 2
10v gt 水平位移θcos 0
t x v =，故： gx S 2
1= 又根据三角形面积公示，S 可表示成：
gx S v v B 2
1)sin(210=+=αθ 故当90 =+αθ时，
g gh g x v v v v x B m 202
00+=== 由图可知：θ应满足gh
v v
v v o B o 20tan 2+==θ
在这道题目中，运用的三角形的面积求法，三角函
数的最值求法，最最关键的是明白初末速度与速度变化
量之间的关系，画出图二所示的三角形，通过几何方法
求解。

3、归纳法
众所周知，在数学中有一种解题方法叫做归纳法，就是在面对一群庞大的数据群的时候，运用归纳的方法求解，具体可以表现为通过归纳法求数列的通项公式、求概率、数学归纳法等。

然后我们都知道，物理里面的重复性是物理问题的一个难点。

每一个周期的重复都会产生很多数据，直接面对这些数据将会无从着手，这个时候运用归纳的方法就可以将题目简化，达到事半功倍的效果。

例题如下：
例题三：如图三所示，质量为m 的由绝缘材料做成
的与质量为M 的金属球并排悬挂。

现将绝缘球拉至与
竖直方向成60
=θ的位置自由释放，下摆后在最低点处与金属球发生弹性碰撞。

再平衡位置附近存在垂
直纸面的磁场。

由于已知磁场的阻尼作用，金属球将
于再次碰撞前停在最低点处，求经过几次碰撞后绝缘
球偏离竖直方向的最大角度小于45
？ 解：设在第n 次碰撞前绝缘球的速度为
v n 1-，碰撞后绝缘球、金属球的速度分别为v n 、V n ，由于碰撞过
程中动量守恒、碰撞前后动能相等，设速度向左为正，则：
v V v n n n m M m
-=-1 ① v V v n m n M n m 2222
121121+=- ② 由 ①、②两式及m M 19=得：
v v n n 1
109-= ③ v V n n 110
1-= ④ 第n 次碰撞后绝缘球的动能为：
E v E n n n m 0281.02
1== ⑤ E 0为第一次碰撞前的动能，即初始能量。

绝缘球在θ
θ0=
60 =与45 =θ处的势能之比为： 586.0)cos 1()cos 1(00=--=θθmgl mgl E E
⑥ 根据⑤式，经n 次碰撞后， n n
E E )81.0(0= ⑦
容易得到：
656.0)81.0(2= 531.0)81.0(3=
因此，经过３次碰撞后，θ将小于 45。

这道题目的数据经过几次计算之后会显得十分麻烦，数字也十分庞大，容易出错。

但是经过使用数学的归纳方法之后，通过开始的几个过程利用数学归纳法写出通式，借助于此通式解决就非常简单了，简化了解题步骤，减少篇幅。

在物理大题中，尤其是反复的具有周期性的运动过程，数学归纳法是一个绝佳的方法，而这就需要我们有强大的数学建模能力，具有成熟的数学思维。

二、数学与化学
在化学的世界里，事物的变化堪比任何一个学科。

如此纷繁的世界给了数学一个用武之地。

数学建模更是在化学里体现的淋漓尽致，不论是用数学方法在科技和生产领域解决哪类实际问题，还是与其它学科相结合形成交叉学科，首要的和关键的一步是建立研究对象的数学模型，并加以计算求解。

数学建模和计算机技术在知识经济时代的作用可谓是如虎添翼。

通过构建数学思维模型，把复杂的化学问题抽象为简洁的函数关系，空间模型等。

反映了数学这一基础学科在自然科学中的基本应用，是化学解题过程中一种重要的思维方法。

化学里的数学建模类型有商余法、数学归纳法、立体几何、换元法、待定系数法等。

下面我们做一些简单的介绍。

例题一：4CH 分子为正四面体结构，若4CH 中的H 原子能被Cl 、F 、Br 、I 四种卤原子取代，那么所得的卤代烃有多少种？
A:68 B:69 C:70 D:71
解析：这是一道有机题目，考察取代物的数量，通过题目的意思了解，不难发现，这是一体考数学里面的排列组合问题。

题目中的能被取代不等于全部被取代，所以应该有Cl 、F 、Br 、I 等五种原子可能存在于这个排列组合中。

根据化学反应原理，得到的取代种类有：4XA 、B XA 3、22B XA 、BC XA 2、XABCD 五种。

现在开始分类讨论。

1、4XA 型：4115=-C ；2、B XA 3：201415=C C （从五种元素中选出Ａ，５种可能；剩下４种选出Ｂ，一共2045=⨯种）；3、B A K 22：301025=-C （同2，但是选出的A 、B 互换位置是
重复的，应该除以2）4、BC K A 2：302415=C C （五种元素中选出A ，五种可能，剩下
四种选会重复BC ，所以同3，为234÷⨯；5、KABCD ：54
5=C 。

所以答案是B 。

这道题目中其实从本质上来说是一道数学的排列组合的题目，考察的是知识点是定序问题消序的问题。

也就是说在第三第四的类型之中，卤元素的的效果是一样的，但是在前面算的时候视作不一样的效果来计算的，所以在最有一步中需要用除法来消掉这个“序”，这就是排列组合的定序问题消序法的应用，而这也是排列组合的重难点之一，也就是说没有强烈的数学功底，想要解出这道题目除了穷举就别无他法了。

所以，在化学中，尤其是在有机化学中，数学是一项非常重要的基本功，上面所说的排列组合是一个例子，还有立体几何的思想，在同分异构体，判断分子结构等方面的问题上有着根本性的作用。

当然有机中的取代问题也可以设计数列的问题，随着主链上碳原子的增加，可取代物的数量也呈有规律增长，这
就是数列，求一个通项公式解决在任何一个数量的碳原子的前提下得到可取代物的总数。

以上仅仅是数学方法和数学建模在化学中的应用，其实更重要的是，虽然化学，和物理一样，同数学是俩俩不同类型的科学，但是为什么像上面提到过的一样，只有数学才被国家教育局定为从开始上学起就作为必修科目，因为数学本质是一中思维，在以后的学习中都有着举足轻重的作用，理科是如此，文科类亦如此。

虽说数学在每一门科学中都有着其不同大小的作用，但是，从科学的内部性质来说，物理和数学是最有相关性的，不管是物理学家和数学，还是物理和数学。

其实像一些更加具体的数学领域中，例如概率论中，像爱因斯坦这样的知名物理学家，甚至在数学家之前便开创了确定的新领域。

信息论和信息熵的思想以及它们在一般连续介质中的作用源自像斯基拉德这样的物理学家和工程师仙农，而不是来自纯粹的数学家。

然而数学家能够而且应当在物理学家和工程家之前完成这些事情。

还有“熵”是一个气的一个性质，描述的是气分布的混乱度，最早是热力学里面的一个专业术语，后来被用于物理对象，也就是说其意义被扩大至描述所有物体的混乱度。

但是斯基拉德和仙农对一般数学系统定义了这样一个概念。

诚然，后来也确实有一些数学家把“熵”的概念推广，并应用于纯数学中。

在以前，也有很多数学家懂得很多物理。

就我所知道的，冯诺依曼懂得很多物理，但是我知道，它不具备物理学家对实验追索的自然感觉，因为当量子力学可能被数学化的时候，他对量子力学的基础是感兴趣的。

因为量子力学是一门具有特殊美丽的物理分支。

它起源于把能量量子化，这是前所未有的思想，而事实就是，能量只能一量子形式存在才能解释自然现象，因此，随着后来更多实验现象和规律的发现总结，慢慢的建立了量子力学，可以说任何一个从事科学研究的人来说，量子力学足以吸引每个人，包括我。

但是也因为量子力学的如此高抽象性，决定了量子力学理论研究和发展不得不建立在数学的基础之上了。

每个量子力学家都会有能力当一名数学家。

对物理学而言，物理理论的公理化途径正如语法对于语言。

另一方面，物理学里面的多数工具以及某些个思想先导来自于纯数学。

被黎曼预言性设想过的，对后来的物理学极为重要的一般非欧几何产生于相对论之前。

还有，众所周知，爱因斯坦曾在相对论之中提出了光速不变原理。

我们知道，物体的运动是相对的，因此物体的速度也是相对的，一切都取决于我们在研究该物体时定了什么为参考物和参考系。

换言之，参考系不同，物体的运动也不同。

光速不变原理指出，光在任何参考系中的速度都相同，为光速s m c /5108⨯=。

而这些理论的提出也是因为各种假设的提
出（还未能证实，我们暂且说为假设。

），包括公式2mc E =。

从数学上说，光的不变形直
接导致了洛仑兹变换群这样一个用数学表现出来的用于解释物理理论的方程组。

因此，数学和物理的相关性已经毋庸置疑，数学和其他科学的相关性也是不容置喙，我们应该看到数学在科学研究的领域中地位和重要性以及其相关性。

参考文献：Ulam S . 《数学与科学随想》
季兰芬 《数学方法在物理学中的应用》
屠魏 《化学竞赛中的数学建模思想》。