正弦稳态交流电路 例题

解:
i(t)
1H 1F
1Ω 1H
R * jω L ω2 ω 1 1 Z = jω L − j + = + j (ω − + ) 2 2 ωC R + jω L 1 + ω ω 1+ ω
如果 v(t ) 和 i (t ) 同相, 则I m ( Z ) = 0.
ω 或ω − + = 0 ⇒ ω = 0.7861rad / s. 2 ω 1+ ω
1
例题 已知： 已知： L = 0.25 m H、R = 25 、C = 85pF 试求： 试求：ω
O
、Q、Z 0
ɺ I
解： = ω0
0.25 × 85 × 10 = 6.86 × 10 6 rad/s
1 = LC
1
− 15
+
R
ɺ U
XC
ɺ IC
ɺ XL I1
-
ω 0 L 6.86 × 10 6 × 0.25 × 10 − 3 Q= = = 66.67 R 25 Z0 L 0.25 × 10 = = = 117K -12 RC 25 × 85 × 10
ɺ ɺ U = IR
电阻电路
ɺ ɺ ɺ ɺ U = I( j XL) U = I(−j XC)
电感电路 电容电路
例题 有两个阻抗 Z1 = 6.16 + j9 Z 2 = 2.5 − j4 ɺ 它们串联接在 U = 220 30° V 的电源 的电源; ɺ ɺ ɺ 并作相量图。 求: I 和 U 1 、U 2 并作相量图。 -
R
R 1
ɺ ɺ I1 I2 - jXC jXL
-
ɺ (1) Z1 、Z2 → Z → I → i ɺ ɺ ɺ (2) I → I 、I → i ,i
1 2 1 2
解：用相量法计算
ɺ I
ɺ U = 220 0° V Z1 = R 1+ j X L = (100 + j1200)
Z2 = −jXC = −j 140
已知: 已知 R = 30 , L = 127mH, C = 40µ F
u = 220 2 sin ( 314 t + 20 )V
电流的有效值I与瞬时值 求:(1)电流的有效值 与瞬时值 i ;(2) 各部分电压的 电流的有效值 有效值与瞬时值； 有功功率P、无功功率Q和 有效值与瞬时值；(3) 有功功率 、无功功率 和 视在功率S。 视在功率 。 解：
小 结
1.
电路参数
单一参数电路中的基本关系
R
基本关系 复阻抗
u = iR
R
ɺ I
ɺ U
Uɺ
电路参数
L
基本关系 复阻抗
jX L = jω L
du i=C dt
Uɺ
di u=L dt
Iɺ Iɺ
电路参数
C
基本关系
1 复阻抗 − jX C = − j ωC
2. 单一参数电路中相量形式的欧姆定律 欧姆定律的相量形式
U ≠ U R + U L + UC
ɺ ɺ ɺ ɺ 而是 U = UR +UL +UC
(3) P = UI cosϕ = 220 × 4.4 × cos ( −53° )W
= 580.8W
或 P = U R I = I 2 R = 580.8W
Q = UI sinϕ = 220 × 4.4 × sin ( −53°)var = -774.4var
= 239.8 55.6°V ɺ 同理： 同理：ɺ2 = Z2I = (2.5 − j4) × 22V = 103.6 − 58°V U
或利用分压公式： 或利用分压公式：
ɺ I
+
Z1 U1
ɺ U
ɺ = Z1 U = 6.16 + j9 × 220 30°V ɺ U1 + Z1 + Z2 8.66 + j5 ɺ
10×10 C= (tan18 ° − tan0 °)F = 213.6 µF 2 314× 220
3
可见 : cos ϕ≈1时再继续提高，则所需电容值很大 ϕ≈1时再继续提高， 不经济），所以一般不必提高到1 ），所以一般不必提高到 （不经济），所以一般不必提高到1。
通过计算可看出： 通过计算可看出：
ɺ ɺ U R = IR = 4.4 73° × 30V = 132 73°V ɺ ɺ U L = jIX L = j4.4 × 40 73°V = 176 163°V
ɺ ɺ U C = − jIX C = − j4.4 × 80 73°V = 352 - 17°V
例1: 一感性负载 其功率 一感性负载,其功率 其功率P=10kW, cosϕ1 = 0.6 ， 接在电压U=220V , ƒ=50Hz的电源上。 的电源上。 接在电压 的电源上 （1）如将功率因数提高到 cosϕ = 0.95,需要 ） 需要 并多大的电容C,求并 求并C前后的线路的总电流 并多大的电容 求并 前后的线路的总电流 。2）如将 cosϕ 从0.95提高到 ，试问还需并多 提高到1， （ ） 提高到
5
V
ɺ ɺ ɺ 因为 I = I 1 + I 2 = 10 0 ° A ɺ ɺ 所以 U L = I ( j10 )V = j100 V
ɺ ɺ ɺ U = U L + U AB = 100 + j100V = 100 2 45 ° V
∴ V 读数为141V 读数为141V
例题 图示电路中已知: 图示电路中已知 u = 220 2 sin 314t V i1 = 22 sin (314t − 45°) A i2 = 11 2 sin (314t + 90°) A 试求: 试求 各表读数及参数 R、L 和 C。 、 。 i 解：求各表读数
ɺ I1
j10
ɺ I
A
A
ɺ I2
C1
j5
B
5
V 分析：已知电容支路的电流、 分析：已知电容支路的电流、电压和部分参数 求总电流和电压
ɺ I1
j10
ɺ I
A
A
ɺ I2
C1
j5
B
已知： 已知：I1= 10A、 、 UAB =100V， ， 求：A、V 的读数 、
5
V
用相量法计算 设： ɺ AB为参考相量， ：ɺ AB = 100 0 ° V 即 U 为参考相量， U
求并C 求并C前后的线路总电流
P 10 × 10 并C前: I 1 = 前 A = 75.6 A = Ucosϕ 1 220 × 0.6 P 10 × 10 3 A = 47.8 A = 并C后: I = 后 Ucosϕ 220 × 0.95
3
(2) cosϕ 从0.95提高到1时所需增加的电容值 0.95提高到 提高到1时所需增加的电容值
30°
例题 已知: 已知 u = 220
阻抗混联
2 sin ω t V
, X L = 200
+
ɺ U
R = 50
, R1 = 100
, X C = 400
ɺ I
求: i i 1 , i 2 分析题目： 分析题目： 已知电源电压和电路参数， 已知电源电压和电路参数， 电路结构为串并联。 电路结构为串并联。求电流的瞬 时值表达式。 时值表达式。 一般用相量法计算: 一般用相量法计算:
+ 50 100 ɺ U j200
ɺ ɺ I1 I2 - j400
所以 i = 0.5 2 sin (ωt − 33°)A i1 = 0.89 2 sin (ωt − 59.6°)A i2 = 0.5 2 sin (ωt + 93.8°)A
例题 下图电路中已知： =10A、 =100V， 下图电路中已知：I1=10A、UAB =100V， 的读数。 求：总电压表和总电流表 的读数。
Q = (UL - UC )I = I 2 ( X L − XC ) = -774.4var 或
例题
R
L
+
节目， 应配多大？ 若要收听 e1 节目，C 应配多大？ 已知： 已知：L = 0.3m H、R = 16
f 1 = 640kH z
f1 C f2
e1 e2 e3
uC
-
解： f 0 = f 1 =
u
-
V
R L
i1 C
i2
∴ R = X L = 10
XL L= 2π f
= 0.0318 H
所以X C = 20
ɺ U 220 0 ° Z2 = ɺ = Ω = 20 − 90° I2 11 90° 1 1 C= = = 159 µ F ω X C 314 × 20
例题
串联交流电路中， 在RLC串联交流电路中， 串联交流电路中
X L = ω L = 314 × 127 × 10 Ω = 40
−3
,
,
1 1 XC = = Ω = 80 -6 ω C 314 × 40 × 10
相量运算
ɺ U = 220 20 °V
Z = R + j ( X L − X C ) = ( 30 − j40)Ω = 50 − 53°
ɺ U 220 20° ɺ I= = A = 4.4 73° A Z 50 - 53°
A
相量法计算
+
U = 220 V R u V 22 I1 = = 15.6 A i1 C i 2 2 L I 2 = 11 A ɺ ɺ ɺ I = I1 + I 2 = 15.6 − 45 ° + 11 90 ° A = 11 A
所以 I = 11 A
A1பைடு நூலகம்
A2
求参数 R、L、C
A
i
A1 A2
+
ɺ U 220 0° Z1 = = Ω ɺ I1 15.6 − 45° = 14.1 45 °Ω = 10 + j10
1 2π LC
f3
1 则：C = 2 (2 π f0 ) L
C =
(2 π × 640 × 10 ) × 0.3 × 10
3 2
1
−3
= 204pF
结论： 结论：当 C 调到 204 pF 时，可收听到
的节目。 e1 的节目。
例题 同相时, 求当v(t)与i(t)同相时, v(t) 角频率ω为多大? 角频率ω为多大?
−3
ɺ 则： 2 = [100 /( 5 + j5 )]A = 10 2 − 45 ° A I
ɺ I 1 = 10 90 ° A = j10 A ɺ ɺ ɺ 所以A 10安 I = I 1 + I 2 = 10 ∠ 0 ° A 所以A读数为 10安
ɺ I1
j10
ɺ I
A
A
ɺ I2
C1
j5
B
已知： 已知：I1=10A、 、 UAB =100V， ， 求：A、V 的读数 、
+ 50 100 ɺ U j200
ɺ ɺ I1 I2 - j400
(100+ j200)(− j400) Z = [50 + ]Ω = (50 + 320+ j 240) = 440 33° Ω 100+ j200 − j400 ɺ U 220 0° ɺ I= = A = 0.5 − 33°A Z 440 33°
-
ɺ I1 =
Z2 ɺ − j400 × 0.5 − 33°A I= Z1 + Z2 100 + j200− j400
= 0.89 - 59.6°A
同理： 同理：
ɺ I
ɺ I2 =
Z1 ɺ I Z1 + Z2
100+ j200 = × 0.5 − 33°A 100+ j200− j400 = 0.5 93.8°A
P 解： (1) C = (tan ϕ 1 − tan ϕ ) 2 ωU cosϕ1 = 0.6 即 ϕ1 = 53° cosϕ = 0.95 即 ϕ = 18° 3 10×10 所以 = C (tan53 ° − tan18 °) F = 656 µF 2 314× 220
大的电容C。 大的电容 。
ɺ I
+
+ ɺ Z Z1 U1 解： = Z1 + Z2 + ɺ Z2 U2
= (6.16 + 2.5) + j(9 − 4)
ɺ U
= 8.66 + j5 = 10 30°
ɺ U 220∠30° ɺ I= = = 22 0°A Z 10∠30° ɺ ɺ U1 = Z1I = (6.16 + j9) × 22V = 10.9 55.6° × 22V
-
+ ɺ Z2 U2
= 239.8 55.6°V
-
ɺ - U2 =
ɺ U1
Z2 ɺ = 2.5 − j4 × 220 30°V U Z1 + Z2 8.66 + j5 = 103.6 − 58°V
58° ɺ U2 ɺ U
ɺ I
相量图
55.6°
ɺ ɺ 注意： ɺ 注意： U = U 1 + U 2
U ≠ U1 + U 2