中考数学压轴题专项汇编专题22直角三角形的存在性

专题 直角三角形的存在性

破解策略

以线段AB 为边的直角三角形构造方法如右图所示：

A B

A

B E

C

E

F

A

B

C

直角三角形的另一个顶点在以A 在以AB 为直径的圆上，或过A 、B 且与AB 垂直的直线上（A ，B 两点除外）．

解直角三角形的存在性问题时，若没有明确指出直角三角形的直角，就需要进行分类讨论．通常这类问题的解题策略有：

（1）几何法：先分类讨论直角，再画出直角三角形，后计算．

如图，若∠ACB ＝90°．过点A 、B 作经过点C 的直线的垂线，垂足分别为E 、F ．则△AEC ∽△CF B ．从而得到线段间的关系式解决问题．

（2）代数法：先罗列三边长，再分类讨论直角，根据勾股定理列出方程，然后解方程并检验．

有时候将几何法和代数法相结合．可以使得解题又快又好！ 例题讲解

例1 如图，抛物线l ：y ＝ax 2

＋2x －3与r 轴交于A ，B （3，0）两点（点A 在点B 的左侧）．与y 轴交于点C （0，3）．已知对称轴为x ＝1． （1）求抛物线的表达式；

（2）设点P 是抛物线l 上任意一点，点Q 在直线x ＝－3上，问：△PBQ 能否成为以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P 的坐标；若不能，请说明理由．

x

y C

B A

O

l

x

y

C

M

N

A

B

O

Q

l

P x

y

l

Q

A O N

B P

M

解：（1）由题意可得点A 的坐标为（1，0）．

所以抛物线表达式可变为y ＝a （x －3）（x ＋1）＝ax 2

－2ax －3a 由点C 的坐标可得－3a ＝3，a ＝－1

所以抛物线的表达式为y ＝－x 2

＋2x ＋3．

（2）如图，过点P 作PM 垂直于直线l ，垂足为M ．过点B 作BN 垂直于直线PM ．垂足为N ．

若△PBQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形，

无论点P 在BQ 的上方或下方，由“弦图模型”均可得△PQM ∽△BPN ． 所以PM ＝BN ．

设点P 的坐标为（m ，H ，－m 2＋2m ＋3）．则PM ＝|m ＋3|，BN ＝|－m 2

＋2m ＋3|，所以|m ＋3|＝|－m 2

＋2m ＋3|．解得m 1＝0，m 2＝1，m 3＝3+33，m 4＝333

－ 所以点P 的坐标为（0，3（1，4（

3+13，33－9－（333－，3+3－9）

例2 如图，一次函数y ＝－2x ＋10的图象与反比例函数y ＝k

x

（k ＞0）的图象相交于A 、

B 两点（点A 在点B 的右侧分别交x 轴．y 轴于点E ，F ．若点A 的坐标为（4，2）．问：反比例函数图象的另一支上是否存在一点P ．使△PAB 是以AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由，

x

y B A

F

P

O E

x

y O

P

E

B

F

A

解：将点A （4，2）代入反比例函数表达式，得k ＝8， 所以反比例函数为y ＝

8

x

， 联立方程纽组8210

y x y x ⎧

=

⎪⎨⎪=-+⎩ ， 解得1142x y =⎧⎨

=⎩，2218x y =⎧⎨=⎩ 所以点B 的坐标为（1，8）．

由题意可得点E ．F 的坐标分剐为（5，0（0，10 以AB 为直角迎的直角三角形有两种情况：

如图1，当∠PAB ＝90°时，

连结OA ，则OA 2242+25

而AE 2212+5，OE ＝5，所以OA 2

＋AE 2

＝OE 2

， 即OA ⊥A B ．所以A ，O ，P 三点共线． 由O 、A 两点的坐标可得直线AP 的表达式为y ＝

1

2

x ．

联立方程组

8

1

2

y

x

y x

⎧

=

⎪⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

解得1

1

4

2

x

y

=

⎧

⎨

=

⎩

，2

2

4

2

x

y

=-

⎧

⎨

=-

⎩

所以点P的坐标为（－4，－2）．

②如图2，当∠PBA＝90°时，记BP与y轴的交点为G．

易证△FBC∽△FOE，所以FB FO FG FE

=，

而FO＝10．FE

FB

可求得FG＝5

2

，所以点G的坐标为（0，

15

2

）．由B，G两点的坐标可得直线BP的表达式

为y＝1

2

x＋

15

2

，

联立方程组

115

22

8

y x

y

x

⎧

⎪⎪

⎨

⎪

⎪⎩

＝＋，

＝，

解得1

1

1

8

x

y

⎧

⎨

⎩

＝，

＝；

2

2

16

1

2

x

y

⎧

⎪

⎨

⎪⎩

＝－，

＝－.

所以点P的坐标为（－16，－1

2

）；

综上可得，满足条件的点P坐标为（－4，－2）或（－16，－1

2

）．

图2

例3 如图，抛物线C1：y＝a（x－2）2－5的顶点为P，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧点A的横坐标是－1．D是x轴负半轴上的一个动点，将抛物线C1绕点D旋转180°后得到抛物线C2．抛物线C2的顶点为Q，与x轴相交于E，F两点（点E在点F的左侧）．当以点P，Q，E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点Q的坐标．