平面向量中的最值问题

第4讲 平面向量中的最值问题

【复习指导】

本讲复习时，应结合平面向量数量积的定义及其几何意义，将有关的量表示出来，代数或几何方法求解最值与取值范围．

基础梳理

求最值的方法小结 ㈠．几何方法

⑴．平面几何方法：

两点之间线段最短、点到直线的距离最短、与圆有关的最值； ⑵．解析几何方法

利用截距、斜率、两点之间的距离等几何意义求最值； 先求轨迹，后求最值

㈡．代数方法

⑴．函数方法：

首先分析要求的量的变化和什么因素有关，从而选定变量，建立函数关系式，利用函数有关知识求解最值问题，另外有些问题需结合导数知识求解；

⑵．利用基本不等式求解； ⑶．利用三角函数求解．

双基自测

㈠．求模的最值或范围 1．平几法求最值

【例1】已知向量OA 和OB 的夹角为

3

π

，||4OA =，||1OB =，若点M 在直线OB 上，则

||OA OM -的最小值为________．23

【练习1】[11大纲]设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，1

2

a b ⋅=-，,60a c b c <-->=，则||c 的最大值等于________．

【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，||c 最大．

【解】如图，构造AB a =，AD b =，AC c =，120BAD ∠=，60BCD ∠=，故A ，B ，C ，D 四点共圆，分析可知当线段AC 为直径时，||c 最大，最大值为2．

【例2】[08浙江]已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足

()0b a b ⋅-=，则||b 的取值范围是

________ ．

【解一】由()0b a b ⋅-=得，2||0b a b ⋅-=，即2

||||cos ||0b a b θ-=，故||cos b θ=，即||b 的

取值范围是[0,1]．

【解二】也可以借助于几何意义求解，当0b =时，||0b =；当a b =时，||1b =．当0b ≠且a b ≠时，b 与a b -互相垂直，0||1b <<，即||b 的取值范围是[0,1]．

【练习2】[08浙江]已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足：

()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值是___________．

【解一】由()()0a c b c -⋅-=可得，2

||()||||cos c a b c a b c θ=+⋅=+(其中θ为a b +与c 的夹

角)，即||()||cos 2cos 2c a b c a b θθ=+⋅=+=≤，故||c 的最大值是2．

【解二】作四边形OABC ，设,,OA a OB b OC c ===，则由已知得，

90AOB ∠=，90ACB ∠=，故O ，A ，B ，C 四点共圆，故||c 最大为圆的直径为2．

【练习2】已知a ，b 是平面内两个单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值是 ．

【解】不妨设(cos ,sin )a OA αα==，(cos ,sin )(02)b OB βββαπ==≤≤<，(,)c OC x y ==，

则点C 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其圆心M 的坐标为cos cos sin sin (

,)22

αβαβ

++，则原

点到圆心的距离OM ==

|cos

|2

αβ

-=，半径

r sin

2

αβ

-==，故

|||cos |sin 22c OM r αβαβ--≤+=+．若0αβπ≤-≤，则||2sin()24c αβπ

-≤+≤当

且仅当2παβ-=时取“=”，此时a b ⊥；若2παβπ<-<，则||2sin()24c αβπ

-≤-≤当

且仅当32

π

αβ-=时取“=”，此时a b ⊥．故||c ．

2．代数法求最值

⑴．通过线性运算求最值

【例3】[10浙江理]已知平面向量α，(0,)βααβ≠≠满足：||1β=，并且α与βα-的夹角为

120，则||α的取值范围是____________．

【解一】易知在ABC ∆中，60,1ABC AC ∠==．设ACB ϕ∠=，由正弦定理得，

||||

sin sin 60

αβϕ=

，

故||

33a ϕϕ=

=≤

||a 的取值范围是． 【解二】由正弦定理得，

OAC OC OCA OA ∠=∠sin sin ，即||1sin sin 60OCA α=∠︒，故1||sin 60α=⨯︒

sin sin

OCA OCA ∠=∠，因︒<∠<︒1200OCA ，故1sin 0≤∠

【解三】如图中圆的半径为||1β=，当︒=∠90OCA 时，max 1||sin 60OA α===︒如图1)，

当C B →时，||0a →(如图2)．

【练习3】已知G 为ABC ∆的重心，若120A =，2AB AC ⋅=-，则||AG 的最小值为 ．

【解】由120A =，2AB AC ⋅=-得，||||4AB AC =，由平几知识可知，1

()3

AG AB AC =+，故

2222211114

||[()][()](||2||)(||||)33999AG AB AC AB AC AB AB AC AC AB AC =+⋅+=+⋅+=+-

14844(2||||)99999AB AC ≥-=-=，即||AG 的最小值为2

3

，不等式当且仅当||||2AB AC ==时取得最小值2

3

．

【例4】[11辽宁]若a ，b ，c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则||a b c +-的

最大值为____________．

【解一】由()()10a c b c a b b c a c -⋅-=⋅-⋅-⋅+≤可得，即()1a b c +⋅≥，而

22||||a b c a b +-=+- 22()||32()a b c c a b c +⋅+=-+⋅，由()1a b c +⋅≥可知，||1a b c +-≤，

故||a b c +-的最大值为1．

【解二】(建系)(1,0)a =，(0,1)b =，(cos ,sin )c θθ=，由()()0a c b c -⋅-≤得，cos sin 1θθ+≥，

而2

2

||(1cos )(1sin )32(cos sin )a b c θθθθ+-=-+-=-+，故||1a b c +-≤．

【解三】a b +表示以a ，b 为邻边的正方形的对角线，而c 的终点在以O 为圆心，1为半径的圆夹在a ，b 之间的四分之一圆周上，||a b c +-表示上述对角线的终点与c 的终点连线的距离，易知||1a b c +-≤．

【练习4】[09安徽]给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若

OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值是____________．