平面向量中的最值问题

第4讲 平面向量中的最值问题
【复习指导】
本讲复习时，应结合平面向量数量积的定义及其几何意义，将有关的量表示出来，代数或几何方法求解最值与取值范围．
基础梳理
求最值的方法小结 ㈠．几何方法
⑴．平面几何方法：
两点之间线段最短、点到直线的距离最短、与圆有关的最值； ⑵．解析几何方法
利用截距、斜率、两点之间的距离等几何意义求最值； 先求轨迹，后求最值
㈡．代数方法
⑴．函数方法：
首先分析要求的量的变化和什么因素有关，从而选定变量，建立函数关系式，利用函数有关知识求解最值问题，另外有些问题需结合导数知识求解；
⑵．利用基本不等式求解； ⑶．利用三角函数求解．
双基自测
㈠．求模的最值或范围 1．平几法求最值
【例1】已知向量OA 和OB 的夹角为
3
π
，||4OA =，||1OB =，若点M 在直线OB 上，则
||OA OM -的最小值为________．23
【练习1】[11大纲]设向量a ，b ，c 满足||||1a b ==，1
2
a b ⋅=-，,60a c b c <-->=，则||c 的最大值等于________．
【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，||c 最大．
【解】如图，构造AB a =，AD b =，AC c =，120BAD ∠=，60BCD ∠=，故A ，B ，C ，D 四点共圆，分析可知当线段AC 为直径时，||c 最大，最大值为2．
【例2】[08浙江]已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足
()0b a b ⋅-=，则||b 的取值范围是
________ ．
【解一】由()0b a b ⋅-=得，2||0b a b ⋅-=，即2
||||cos ||0b a b θ-=，故||cos b θ=，即||b 的
取值范围是[0,1]．
【解二】也可以借助于几何意义求解，当0b =时，||0b =；当a b =时，||1b =．当0b ≠且a b ≠时，b 与a b -互相垂直，0||1b <<，即||b 的取值范围是[0,1]．
【练习2】[08浙江]已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足：
()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值是___________．
【解一】由()()0a c b c -⋅-=可得，2
||()||||cos c a b c a b c θ=+⋅=+(其中θ为a b +与c 的夹
角)，即||()||cos 2cos 2c a b c a b θθ=+⋅=+=≤，故||c 的最大值是2．
【解二】作四边形OABC ，设,,OA a OB b OC c ===，则由已知得，
90AOB ∠=，90ACB ∠=，故O ，A ，B ，C 四点共圆，故||c 最大为圆的直径为2．
【练习2】已知a ，b 是平面内两个单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值是 ．
【解】不妨设(cos ,sin )a OA αα==，(cos ,sin )(02)b OB βββαπ==≤≤<，(,)c OC x y ==，
则点C 的轨迹是以线段AB 为直径的圆，其圆心M 的坐标为cos cos sin sin (
,)22
αβαβ
++，则原
点到圆心的距离OM ==
|cos
|2
αβ
-=，半径
r sin
2
αβ
-==，故
|||cos |sin 22c OM r αβαβ--≤+=+．若0αβπ≤-≤，则||2sin()24c αβπ
-≤+≤当
且仅当2παβ-=时取“=”，此时a b ⊥；若2παβπ<-<，则||2sin()24c αβπ
-≤-≤当
且仅当32
π
αβ-=时取“=”，此时a b ⊥．故||c ．
2．代数法求最值
⑴．通过线性运算求最值
【例3】[10浙江理]已知平面向量α，(0,)βααβ≠≠满足：||1β=，并且α与βα-的夹角为
120，则||α的取值范围是____________．
【解一】易知在ABC ∆中，60,1ABC AC ∠==．设ACB ϕ∠=，由正弦定理得，
||||
sin sin 60
αβϕ=
，
故||
33a ϕϕ=
=≤
||a 的取值范围是． 【解二】由正弦定理得，
OAC OC OCA OA ∠=∠sin sin ，即||1sin sin 60OCA α=∠︒，故1||sin 60α=⨯︒
sin sin
OCA OCA ∠=∠，因︒<∠<︒1200OCA ，故1sin 0≤∠<OCA ，故230||3α<≤．
【解三】如图中圆的半径为||1β=，当︒=∠90OCA 时，max 1||sin 60OA α===︒如图1)，
当C B →时，||0a →(如图2)．
【练习3】已知G 为ABC ∆的重心，若120A =，2AB AC ⋅=-，则||AG 的最小值为 ．
【解】由120A =，2AB AC ⋅=-得，||||4AB AC =，由平几知识可知，1
()3
AG AB AC =+，故
2222211114
||[()][()](||2||)(||||)33999AG AB AC AB AC AB AB AC AC AB AC =+⋅+=+⋅+=+-
14844(2||||)99999AB AC ≥-=-=，即||AG 的最小值为2
3
，不等式当且仅当||||2AB AC ==时取得最小值2
3
．
【例4】[11辽宁]若a ，b ，c 均为单位向量，且0a b ⋅=，()()0a c b c -⋅-≤，则||a b c +-的
最大值为____________．
【解一】由()()10a c b c a b b c a c -⋅-=⋅-⋅-⋅+≤可得，即()1a b c +⋅≥，而
22||||a b c a b +-=+- 22()||32()a b c c a b c +⋅+=-+⋅，由()1a b c +⋅≥可知，||1a b c +-≤，
故||a b c +-的最大值为1．
【解二】(建系)(1,0)a =，(0,1)b =，(cos ,sin )c θθ=，由()()0a c b c -⋅-≤得，cos sin 1θθ+≥，
而2
2
||(1cos )(1sin )32(cos sin )a b c θθθθ+-=-+-=-+，故||1a b c +-≤．
【解三】a b +表示以a ，b 为邻边的正方形的对角线，而c 的终点在以O 为圆心，1为半径的圆夹在a ，b 之间的四分之一圆周上，||a b c +-表示上述对角线的终点与c 的终点连线的距离，易知||1a b c +-≤．
【练习4】[09安徽]给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若
OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值是____________．
【解一】设AOC α∠=，则,OC OA xOA OA yOB OA OC OB xOA OB yOB OB
⎧⋅=⋅+⋅⎪⎨⋅=⋅+⋅⎪⎩，即1cos ,2
1cos(120)2
x y x y αα⎧
=-⎪⎪⎨⎪-=-+⎪⎩，
故2[cos cos(120)]cos 2sin()26
x y π
ααααα+=+-=+=+≤．
【
解
二
】
22
2
2
2
2
2
2
3()()()()3()44x y x y OC xOA yOB x y xy x y xy x y ++=+=+-=+-≥+-=
，故
2
()14
x y +≤，故x y +的最大值是2． ⑵．通过向量的坐标运算求解最值
【例5】在ABC ∆中，90A ∠=︒，1AB AC ==，点P 在边BC 上，则|2|PB PC +的最大值为 ． 【解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则
(0,0)A ，(1,0)B ，(0,1)C ，易知BC 的方程为1x y +=，故可设(,1)0,1P t t t -≤≤，易知(1,1)PB t t =--，(,)PC t t =-，则2(13,31)PB PC t t +=--
，故|2|231|[0,PB PC t +=-∈，即|2PB + |PC 的最大值为22．
【练习5】[11天津]已知直角梯形ABCD 中，//AD BC ，90ADC ∠=︒，2AD =，1BC =，P 是腰DC 上的动点，则|3|PA PB +的最小值为 ．
【解一】以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，建立如图的直角坐标系．由题设，(2,0)A ，设(0,)C c ，(0,)P y ，则(1,)B c ．(2,)PA y =-，(1,)PB c y =-．3PA PB +=
(5,34)c y -．2|3|55PA PB +=≥，
当且仅当34c y =时，等号成立，于是，当34
c
y =时，|3|PA PB +有最小值5．
【解二】以相互垂直的向量DP ，DA 为基底表示PB PA 3+，得
33PA PB DA DP PC +=-++ 5
3(3)2
CB DA PC DP =
+-．又
P F
是腰DC 上的动点，即PC 与DP 共线，于是可设DP PC λ=，有
DP DA PB PA )13(253-+=
+λ．故222255
|3|||[(31)](31)42
PA PB DA DP λλ+=+-+⨯- DA DP ⋅，即222225
|3|||[(31)]25|(31)|4
PA PB DA DP DP λλ+=+-=+-．由于P 是腰DC 上
的动点，显然当31=λ，即DP PC 3
1
=时，故|3|PA PB +有最小值5．
【解三】如图，3PB PF =，设E 为AF 的中点，Q 为AB 的中点，则1
2QE BF PB ==，PA +
32PB PA PF PE =+=，①因PB PQ PE +=，PB PQ QB -=．则22
||||PB PQ PB PQ ++-=
22222||2||||||PB PQ PE QB +=+②．(实际上，就是定理：“平行四边形的对角线的平方和等于
各边的平方和”)设T 为DC 的中点，则TQ 为梯形的中位线，13
()22TQ AD BC =
+=．
设P 为CT 的中点，且设,CP a PT b ==，则22||1PB a =+，229||4PQ b =+，22
1||()4
QB a b =++，代入
式②得2222||2||2(1)PB PQ a +=+ 222
912()||()44
b PE a b ++=+++，于是
222525
||()44
PE a b =+-≥
，于是2||5PE ≥，当且仅当a b =时，等号成立．由①式，|3|2||5PA PB PE +=≥，故|3|PA PB +有最小值5．
小结：问题12---17中，首先要结合图形和已知条件选择几何方法(视为几何图形中的某些量)或者代数方法来表示向量的模，然后选择适当的解决范围或最值问题！
㈡．求角的最值或取值范围
【例6】[11浙江]若平面向量a ，b 满足：||1a =，||1b ≤，并且以向量,a b 为邻边的平行四边形的面积为
1
2
，则a 与b 的夹角θ的取值范围是 ． 【解】由平行四边形的面积为
1
2知，则1||||sin ||sin 2S a b b θθ===，故1sin 2||
b θ=，由||1
b ≤知，1sin 2θ≥，故a 与b 的夹角θ的取值范围是5[,
]66
ππ
． 练习6：
㈢．求数量积的最值
⑴．通过线性运算求最值
①．基本不等式求最值
【例7】[05江苏]在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若2AM =，则()OA OB OC ⋅+的最小值是_________．
【解】()(2)22||||(1)2||||2(OA OB OC OA OM OA OM OA OM OA OM ⋅+=⋅=⋅=⨯-=-≤-
2
||||)22
OA OM +=-．
②．函数法求最值
练习7．[09全国I ]设a ，b ，c 是单位向量，且0a b ⋅=，则()()a c b c -⋅-的最小值为___________．
【解】因a ，b ，c 是单位向量，故2
()()()1||||12a c b c a b a b c c a b c -⋅-=⋅-+⋅+=-+=-
cos ,12a b c <+>≥-．【例8】已知菱形ABCD 中，对角线3AC =1BD =，P 是AD 边上的动点，则PB PC ⋅的最小值为 ____ ．
【解一】由已知可知，菱形ABCD 的边长为1，3
BAD π
∠=
，故()()PB PC AB AP AC AP ⋅=-⋅-=
222311
||||2||(||1)222
AB AC AC AP AB AP AP AP AP AP ⋅-⋅-⋅+=-+
=-+≥，故PB PC ⋅的最小值为
1
2
． 【解二】以AC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则1
3(0,),(
22
B C -，0)，易知AD 所在直线的方程为3132y x =
+，故设313(,),0322
P t t t +-≤≤，则(PB t =-，33311),(,)3232PC t -
-=---，故2411
322
PB PC t ⋅=+≥，当且仅当0t =即点P 与点D 重合时，PB PC ⋅的最小值为
1
2
． 12．在R t △ABC 中，CA ＝CB ＝2，M ，N 是斜边AB 上的两个动点，且MN ＝2，则CM →·CN →
的取值范围为 ▲ ．
解析：以CA 、CB 所在直线为x 、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设M(x,y)，则x ＋y ＝2，y ＝2－x ，即M(x, 2－x)，又MN ＝2，所以点N 坐标为(x ＋1，2－x －1)，即N(x ＋1，1－x)，于是CM CN ⋅＝x(x ＋1)＋(2－x) (1－x)＝2x 2－2x ＋2＝2132()22x -+
(0≤x ≤1)，故x ＝12
时
A
C
B
Q
P
D
CM CN ⋅取最小值3
2
，x ＝0或1时CM CN ⋅取最大值2，故CM CN ⋅的取值范围为⎣⎡⎦⎤32，2． 练习8：如图ABC ∆为正三角形，边长为2，以点A 为圆心，1为半径作圆，PQ 为圆A 的任意一条直径．
⑴．若1
2
CD DB =
，求||AD ； ⑵．求CP BQ ⋅的最小值．
⑶．判断CQ BP ⋅＋CP BQ ⋅的值是否会随点P 的变化而变化，请说明理由．
【解】⑴．因
1
3
AD CD CA CB CA =-=-，故
221
||()3
AD CB CA =-
221242128
224939329
CB CB CA CA =-⋅+=-⨯⨯⨯+=
，故27||3AD =． ⑵．设PAB θ∠=，则120CAQ θ∠=︒-，()()BQ CP AQ AB AP AC AQ AB ⋅=-⋅-=⋅-
1
112cos(120)12cos 221cos 2AQ AC AB AP AB AC θθθ=--⨯⨯︒--⨯⨯+⨯⨯=⋅-⋅+⋅--
312sin()6πθθ=-+，当sin()16πθ+=时，即2,3
k k Z π
θπ=+∈时，CP BQ ⋅有最小值
为1-．
⑶．BP CQ BQ CP ⋅+⋅的值不随点P 的变化而变化！
因()()1cos 312sin()6
BP CQ BA AP CA AQ π
θθθ⋅=+⋅+=+=++
，
由⑵知，BQ CP ⋅= 12sin()6
π
θ-+，故2BP CQ BQ CP ⋅+⋅=，故BP CQ BQ CP ⋅+⋅的值不随点P 的变化而变化．
注：本题也可以建立平面直角坐标系来解决！取点A 为坐标原点，过点A 与BC 平行的直线为x 轴建立平面直角坐标系！
⑵．通过向量的坐标运算求解最值
①．通过线性规划求最值
【例9】在正方形ABCD 中，已知2AB =，M 为BC 的中点，若N 为正方形内(含边界)的任意一点，则AM AN ⋅的最大值_ __．
【解】以A 为原点，以AB 所在的为x 轴，因正方形ABCD 的边长为2，则(0,0)A ，(2,0)B ，
(0,2)D ，设(,)N x y ，则(2,1),(,)AM AN x y ==，则,x y 满足条件(*)：02,
02x y ≤≤⎧⎨
≤≤⎩
，则2AM AN x y ⋅=+，由(*)知，AM AN ⋅的取值范围是[0,6]．
【练习9】已知中心为O 的正方形ABCD 的边长为2，点M ，N 分别为线段BC ，CD 上的两个不同点，且||1MN ≤，则OM ON ⋅的取值范围是 ________ ．
【解】以A 为原点，以AB 所在的直线为x 轴，因正方形ABCD 的边长为2，则(1,1)O ，设(2,)M s ，
(,2)N t ，则(1,1)OM s =-，(1,1)ON t =-，则由已知条件可知，s ，t 满足条件(*)：2202,
02,
(2)(2)1s t t s ⎧≤≤⎪
≤≤⎨⎪-+-≤⎩
(2s =与2t =不能同时成立！)，则2OM ON s t ⋅=+-，由(*)知，OM ON ⋅的取值范围是[22 2)-，
． ②．函数法求最值
【例10】[12上海]在平行四边形ABCD 中，3
A π
∠=
，边AB ，AD 的
长分别为2，1．若M ，N 分别是边BC ，CD 上的点，且满足||||
||||
BM CN BC CD =
，则AN AM ⋅的取值范围是_______________．
【解】如图建系，则1353
(0,0),(2,0),(),(22A B D C ．设||||[0,1]||||
BM CN t BC CD ==∈，则||,||2BM t CN t ==，故3(2,)22t M t +， 53(2,22N t -，故53
(2)(2)222t AM AN t ⋅=+-+
⋅ 223
25(1)6()t t t f t =--+=-++=，因[0,1]t ∈，故()f t 递减，故max ()(0)AM AN f ⋅== min 5,()(1)2AM AN f ⋅==．
[评注]当然从抢分的战略上，可冒用两个特殊点:M 在B (N 在C )和M 在C (N 在D )，而本案恰是在这两点处取得最值，蒙对了，又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面子了!
x
y A
B
C D
M
N
练习10．如图，半径为1圆心角为
2
3π
圆弧AB 上有一点C ． ⑴．当C 为圆弧AB 中点时，D 为线段OA 上任一点，求||OD OC +的最小值．
⑵．当C 在圆弧AB 上运动时，D ，E 分别为线段OA ，OB 的中点，求CE DE ⋅的取值范围． 【解】⑴．以O 为原点，以OA 为x 轴正方向，建立如图坐标系，设22
(,0)(01),(,)22
D t t C ≤≤-，故22(,)22OC OD t +=-
+，故22211||221(01)22
OC OD t t t t t +=-++=-+≤≤，当22t =时，最小值为22．
⑵．设3(cos ,sin )(0)2
OC π
ααα=≤≤，故CE OE OC =-
11(0,)(cos ,sin )(cos ,sin )22αααα=--=---，又1(,0)2
D ，
1(0,)2E -，故11(,)22DE =--，故1
(cos sin )2
CE DE αα⋅=+
21sin()244πα=++，因7444
πππα≤+≤，故1212[,]4242CE DE ⋅∈-+． 【例11】如图，在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的
任意一点，设向量AC DE AP λμ=+，则λμ+的最小值为________________． 考点：平面向量的基本定理及其意义．
分析：建立坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，求出向量AC DE AP λμ=+=，
(cos ,sin )(1,1)2
λ
μθλμθ+-+=，用cos θ，sin θ表示λ和μ，根据cos θ，sin θ的取值范围， 求出32sin 2cos 2cos sin θθ
λμθθ
+-+=+的最小值．
【解】以A 为原点，以AB 所在的为x 轴，建立坐标系，设正方形ABCD 的边长为1，则1
(,1)2E ，
(1,1)C ，(0,1)D ，(0,0)A ，
设(cos ,sin )P θθ，则(1,1)AC =．再由向量(2
AC DE AP λ
λμ=+=+ cos ,sin )μθλμθ-+，故cos 12λμθ+=，sin 1λμθ-+=，故2sin 2cos 2cos sin θθ
λθθ
-=
+，μ= 32cos sin θθ+，故32sin 2cos 2cos sin θθλμθθ+-+=+．由题意得，02
π
θ≤≤，故0cos 1θ≤≤，
0sin θ≤1≤，当cos θ取最大值1时，同时，sin θ取得最小值0，这时λμ+取最小值1
2
．
练习11：如图在Rt ABC ∆中，E 为斜边AB 的中点，CD AB ⊥，1AB =，则()()CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是 ．
B
A E D C
B
【解一】记A θ∠=，则()()[cos (cos sin )sin ]CA CD CA CE θθθθ⋅⋅=
422223111122
(cos cos )cos sin cos cos (2sin )()2244327
θθθθθθθ==≤=
，故()()CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是2
27
．
或设2sin t θ=，易知(0,1)t ∈，则42
1()()cos sin 2
CA CD CA CE θθ⋅⋅==
23211(1)(2)22t t t t t -=-+，记321()(2)2f t t t t =-+，则'211
()(341)(31)(22
f t t t t t =-+=-- 1)，由导数知识易知，max 12()()327f t f ==
，故()()CA CD CA CE ⋅⋅的最大值是2
27
． 【解二】以C 为原点，以CA 所在的直线为x 轴，因1AB =，则(0,0)C ，设A θ∠=，则(cos A θ，
11
0),(cos sin sin ,cos sin cos ),(cos ,cos )22
D E θθθθθθθθ，则2()()(cos CA CD CA CE θ⋅⋅=⋅
224211
sin )(cos )cos sin 22
θθθθ=(下略)．
【例12】如图，点P 是单位圆在第一象限上的任意一点，
点(1,0)A -，点(0,1)B -，PA 与y 轴交于点N ，PB 与
x 轴交于点M ，设PO xPM yPN =+，(,)x y R ∈，
(cos ,sin )P θθ．
⑴．求点M 、点N 的坐标，(用θ表示)； ⑵．求x y +的取值范围． 【解】⑴．cos (
,0)1sin M θθ+，sin (0,)1cos N θ
θ
+．
⑵．由已知得，
cos sin cos (cos ,sin ),(cos,sin )(,sin )1sin 1sin PO PM θθθ
θθθθθθ
-=--=--=-++，
sin sin cos (cos ,sin )(cos ,)1cos 1cos PN θθθ
θθθθθ
-=--=-++，代入PO xPM yPN =+得，cos θ-
sin cos (cos )1cos x y θθθθ=-+-+，整理得，sin (1sin )1sin x y θθθ++=+，sin sin x y θθ-=--⋅
sin cos 1cos θθ
θ
+，整理得，(1cos )cos 1cos x y θθθ++=+，将上两式相加可以得到：x y +=
2sin cos 11
111sin cos 1sin cos 12)4
θθπθθθθθ++=+=+
+++++，由02πθ<<可知，2sin(2θ<+ )14
π
≤，故1+
2)(2,12]4πθ+∈+，即1[1)212
x y +∈+
++，故3
[2,)2x y +∈． 练习12．[10全国I 文理]已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为两切点，
那么PA PB ⋅的最小值为 ．
小结：首先要选择合适的形式表示数量积，然后是如何选
择适当的量来表示数量积，再次是如何解决范围或最值问题！
【解一】如图所示：设(0)PA PB x x ==>，
APO α∠=，则2APB α∠=
，PO =
sin α=22422
2
22(1)||||cos 2(12sin )11x x x x PA PB PA PB x x x αα--⋅==-==++，令y PA PB =⋅，则4221
x x y x -=+，即42(1)0x y x y -+-=，由2x R ∈，故2[(1)]41y ∆=-+-⨯⨯
()0y -≥，
即2
610y y ++≥，
故3y ≤--
3y ≥-+
则min ()3PA PB ⋅=-+此
时x =
或：设2
1t x =+，则4221x x y x -=+
可变形为2(1)(1)2
33t t y t t t
---=
=+-≥
，当且仅当t =
，即x =
min ()3PA PB ⋅=-+
【解二】设,0APB θθπ∠=<<，则222
cos 12||||cos (
)cos (1tan
sin 2
2
PA PB PA PB θθθθ
θ
⋅===
-
2222(1sin )(12sin )
222sin )2sin 2
θθ
θθ--=
，设2sin 2x θ=，则01x <≤，故(1)(12)x x PA PB x --⋅==
1
233x x
+-≥．
【解三】建系得，圆的方程为22
1x y +=，设11110(,),(,),(,0)A x y B x y P x -，则10(,PA PB x x ⋅=-
222110111001)(,)2y x x y x x x x y ⋅--=-+-，又OA PA ⊥，故11101(,)(,)0x y x x y ⋅-=，即2110x x x -+
210y =，故101x x =，故22222222110011011022(1)23PA PB x x x x y x x x x x ⋅=-+-=-+--=+-≥
3．
③．轨迹法求最值
【例13】在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅的取值范围是_______________． 【解】易知点P 在以MN 为焦点，长轴的长为10的椭圆上，以MN 所在直线为x 轴，线段MN 的
中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，则(3,0),(3,0)M N -，设(,)P x y ，则
22
12516x y +=，那么(3,)PM x y =+，(3,)PN x y =-，故22
2
2
2
169916972525
x x PM PN x y x ⋅=+-=+--=+，由已知可知2
[0,5)x ∈，故PM PN ⋅的取值范围是[7,16)．
【练习13】[09安徽]给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为90．如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动．若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的最大值是_____． 【解】以O 为原点，以OA 为x 轴正方向，建立如图坐标系，设(0,0)O ，(1,0)A ，(0,1)B ，
设(,)C x y ，则已知2201,
01,1x y x y ⎧≤≤⎪
≤≤⎨⎪+=⎩
，则由(,)OC xOA yOB x y =+=，由可行域可知，x y +
．
变题：2
2)1(y x +-的最大值为 ．[0,2]．
④．放缩法求最值
【例14】在平面直角坐标系xOy 中，设A ，B ，C 是圆2
2
1x y +=上相异三点，若存在正实数λ，
μ，使得OC OA OB λμ=+，则22(3)λμ+-的取值范围是 ．
【解一】设向量OA 与OB 的夹角为θ，则由OC OA OB λμ=+得，22
2cos 1λλμθμ++=，由
,λμ为正实数及|cos |1θ<得，22
1112λμλμ
---<
<，即1λμ+>且||1λμ-<，作出可行域(不包括边界)，则2
2
(3)λμ+-表示点(0,3)到这一区域的点的距离的平方，而点(0,3)到1λμ-=的
，故22
(3)λμ+-的取值范围是(2,)+∞．(亦可由OC OA OB λμ=+构成的平行四边
形中的一个三角形三边长分别为1，λ，μ，则由两边之和大于第三边，即两边之差小于第三边得到1λμ+>且||1λμ-<)
【解二】由存在正实数λ，μ，使得OC OA OB λμ=+，故向量OA 与向量OB 的夹角的范围是
(0,)π，则向量OB 与向量OC 的夹角θ的范围是(0,)π，由OC OA OB λμ=+可知，
OA OC λμ=- OB ，故
2222222||()||2||12cos OA OC OB OC OB OC OB λμμμμμθ=-=-⋅+=+-，则
22222(3)22(3cos )1028102(4)22λμμμθμμμ+-=-++>-+=-+≥，故22(3)λμ+-的
取值范围是(2,)+∞．
【练习14】在面积为2的ABC ∆中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则
PC PB ⋅+ 2
BC 的最小值是______________．
分析：根据ABC ∆的面积为2，可得PBC ∆的面积为1，从而可得2
||||sin PB PC BPC
=
∠，故
2cos ||||cos sin BPC
PB PC PB PC BPC BPC
∠⋅=∠=
∠，由余弦定理得，
222||||||2||BC BP CP BP =+- ||cos CP BPC ∠，进而可得，2||2||||2||||cos BC BP CP BP CP BPC ≥-∠，从而PC PB ⋅+
2
4cos
sin BPC BC BPC -∠≥
∠，易得4cos sin BPC
BPC
-∠∠的最小值为从而可得2PC PB BC ⋅+的最小值
为
【解】因E ，F 分别是AB ，AC 的中点，故PBC ∆的面积为1，又PBC ∆的面积为：1
||||2
BP PC
sin BPC ∠，则2||||sin BP PC BPC =
∠．即2cos ||||cos sin BPC
PB PC PB PC BPC BPC
∠⋅=∠=∠，由余弦定理得，222
||||||2||||cos BC BP CP BP CP BPC =+-∠．显然，||BP ，||PC 都是正数，
故22||||2||||BP PC BP CP +≥，即2
||2||||2||||cos BC BP CP BP CP BPC ≥-∠，则PC PB ⋅
2
4cos ||||cos 2||||2||||cos sin BPC
BC BP PC BPC BP PC BP PC BPC BPC
-∠+≥∠+-∠=
∠，令y =
4cos
sin BPC BPC -∠∠，易得4cos sin BPC
y BPC
-∠=∠的最小值为2PC PB BC ⋅+的最小值为
作业
1．设向量(1,0),(sin θ,cos θ),0θπa b ，则||a b 的取值范围是 _______． 【解】易知(1sin ,cos )a
b
，则||
2
2cos
[0,2]a
b ．
2．已知O 为坐标原点，A ，B 是圆22
1x y +=分别在第一、四象限的两个点，(5,0)C 满足：
3OA OC ⋅=，4OB OC ⋅=，则()OA tOB OC t R ++∈模的最小值为________．
【解】设(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B ββ，则(cos ,sin )OA αα=，(cos ,sin )OB ββ=，由
OA OC ⋅= 3及4OB OC ⋅=知，3cos 5α=
，4
cos 5
β=，因A ，B 分别为在第一、四象限的两个点，故4sin 5α=，3cos 5β=-，即34(,)55OA =，43
(,)55
OB =-，则OA tOB OC ++=
42843
(,)55
t t +-，故2||OA tOB OC t ++==≥．
3．已知两个单位向量a 与b 的夹角为︒120，若||1a b λ+<，则实数λ的取值范围是 ．
【解】因a 与b 是两个夹角为︒120的单位向量，则由||1a b λ+<知，222
||2()||1a a b b λλ+⋅+<，
即2
11λλ-+<，故实数λ的取值范围是)1,0(．
4．若正方形ABCD 边长为1，点P 在线段AC 上运动，则()AP PB PD ⋅+的取值范围是 ． 【解】以A 为坐标原点，以AB 所在的直线为x 轴，因正方形ABCD 的边长为1，则(0,0)A ，
(1,0)B ，(0,1)D ，设(,)P t t ，则(,)AP t t =，(1,)PB t t =--，(,1),[0,1]PD t t t =--∈．故()AP PB PD ⋅+ 224t t =-，由01t ≤≤知，()AP PB PD ⋅+的取值范围是1[2]4
-，．
5．已知平面向量a ，b ，c 满足|1a =|，|2b =|，a ，b 的夹角等于π3，且()()0a c b c -⋅-=，则||
c 的取值范围是 ．
【解】设CA a =，CB b =，CD c =，由|1a =|，|2b =|，a ，b 的夹角等于π3
及正弦定理可知，
2
CAB π
∠=
，设BAD θ∠=，则||3cos BD θ=，由余弦定理得，22
||13cos c θθ=+-
3535
cos()1(1cos 2)cos cos 22)
22222πθθθθθθθϕ+=++=++=+
，其中sin ϕ=
,cos 77ϕ=，故2
55||[22
c -+∈，即||c 的取值范围是
．
6．已知A 为单位圆与x 轴正半轴的交点，点P 在单位圆上，(0)AOP θθπ∠=<<，OQ =。